Regularne właściwości trapezu. Trapez. Właściwości trapezu. III. Wyjaśnienie nowego materiału

30.07.2023

Definicja

Trapez jest czworokątem $A B C D$, którego dwa boki są równoległe, a pozostałe dwa nie są równoległe (ryc. 1).

Nazywa się równoległe boki trapezu ($B C$ i $A D$). podstawy trapezowe, nie równoległe ($A B$ i $C D$) - boki. Prostopadłość ($B H$) poprowadzona z dowolnego punktu jednej podstawy do drugiej podstawy lub jej przedłużenia nazywana jest wysokością trapezu.

Własność trapezu

Suma kątów przylegających do boku bocznego wynosi 180^(\circ)$:

$\angle A+\angle B=180^(\circ), \angle C+\angle D=180^(\circ)$ (Rysunek 1)

Odcinek łączący środki bocznych boków trapezu nazywa się linią środkową trapezu. Linia środkowa trapezu jest równoległa do podstaw i równa ich połowie sumy:

$$M N=\frac(A D+B C)(2)$$

Spośród wszystkich trapezów można wybrać dwie specjalne klasy trapezów: trapezy prostokątne i równoramienne.

Definicja

Prostokątny nazywa się trapezem, w którym jeden z kątów jest prosty.

Isoslateralny zwany trapezem, którego boki są równe.

Właściwości trapezu równoramiennego

W trapezie równoramiennym kąty przy podstawie są równe parami i wynoszą $\angle A=\angle D, \angle B=\angle C$.
Przekątne trapezu równoramiennego są równe $A C=B D$.

Znaki trapezu równoramiennego

Jeżeli kąty u podstawy trapezu są równe, to trapez jest równoramienny.
Jeśli przekątne trapezu są równe, to jest to równoramienny.

Powierzchnia trapezu:

$$S=\frac(a+b)(2) \cdot h$$

gdzie $a$ i $b$ to podstawy trapezu, a $h$ to jego wysokość.

Przykłady rozwiązywania problemów

Przykład

Ćwiczenia. Wysokość trapezu równoramiennego narysowanego pod kątem rozwartym dzieli podstawę na odcinki o długości 5 cm i 11 cm. Oblicz obwód trapezu, jeśli jego wysokość wynosi 12 cm.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 3)

$ABCD$ - trapez równoramienny, $BH$ - wysokość, $BH = 12$ cm, $AH = 5$ cm, $HD = 11$ cm.

Rozważmy $\Delta A B H$, jest on prostokątny ($\angle H=90^(\circ)$). Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

$$A B=\sqrt(B H^(2)+A H^(2))$$

zastępując oryginalne dane, otrzymujemy

$A B=\sqrt(12^(2)+5^(2))$

$A B=\sqrt(144+25)=\sqrt(169) \Strzałka w prawo A B=13$ (cm)

Ponieważ trapez $A B C D$ jest równoramienny, jego boki są równe: $A B=C D=13$ cm Większa podstawa trapezu jest równa: $A D=A H+H D$, $A D=5+11=16. $ (cm). Mniejsza podstawa trapezu będzie równa: $B C=A D-2 A H, B C=16-2 \cdot 5=6$ (cm). Obwód trapezu wynosi:

$P_(A B C D)=A B+B C+C D+A D$

$P_(A B C D) = 13 + 6 + 13 + 16 $

$P_(A B C D) = 48 $ (cm)

Odpowiedź.$P_(A B C D) = 48 $ cm

Przykład

Ćwiczenia. W trapezie prostokątnym dwa mniejsze boki mają długość 2 dm, a jeden z kątów ma miarę 45 $^(\circ)$. Znajdź obszar trapezu.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 4)

$K L M N$ - trapez prostokątny, $K L=L M=2$ dm, $L K \perp K N$, $\angle M L K=45^(\circ)$. Z wierzchołka $M$ obniżamy wysokość $MP$ do podstawy $KN$. Rozważmy $\Delta M N P$, jest on prostokątny ($\angle M P N=90^(\circ)$). Zatem $\kąt M L K=45^(\circ)$

$\kąt N M P=180^(\circ)-\kąt M P N-\kąt M L K$

$\kąt N M P=180^(\circ)-90^(\circ)-45^(\circ)=45^(\circ)$

Zatem $\kąt M L K=\kąt N M P$ i $\Delta M N P$ również są równoramienne. Zatem $M P=P N$. Ponieważ $L K=M P=2$ dm, zatem $P N=2$ dm. Im większa podstawa $K N=K P+P N$, ponieważ $L M=K P$, otrzymamy $K N=2+2=4$ (dm).

Pole trapezu obliczamy ze wzoru:

$$S=\frac(a+b)(2) \cdot h$$

W naszym przypadku będzie to miało postać:

$$S_(K L M N)=\frac(L M+K N)(2) \cdot M P$$

Zastępując znane wartości, otrzymujemy

$S_(K L M N)=\frac(2+4)(2) \cdot 2=6$ (dm 2)

Odpowiedź.$S_(K L M N)=6 $ dm 2

Rozważmy podstawowe problemy dotyczące trójkątów podobnych w trapezie.

I. Punkt przecięcia przekątnych trapezu jest wierzchołkiem trójkątów podobnych.

Rozważmy trójkąty AOD i COB.

Wizualizacja ułatwia rozwiązywanie takich problemów. Dlatego podkreślamy podobne trójkąty w trapezie różnymi kolorami.

1) ∠AOD= ∠ COB (w pionie);

2)∠DAO= ∠ BCO (jako wewnętrzny poprzeczny leżący w AD ∥ BC i sieczna AC).

Dlatego trójkąty AOD i COB są podobne ().

Zadanie.

Jedna z przekątnych trapezu ma długość 28 cm i dzieli drugą przekątną na odcinki o długości 5 cm i 9 cm. Znajdź odcinki, na które punkt przecięcia przekątnych dzieli pierwszą przekątną.

AO=9 cm, CO=5 cm, BD=28 cm BO =?, DO- ?

Udowodniliśmy podobieństwo trójkątów AOD i COB. Stąd

Wybierz wymagane relacje:

Niech BO=x cm, następnie DO=28-x cm. Zatem

BO=10 cm, DO=28-10=18 cm.

Odpowiedź: 10 cm, 18 cm.

Zadanie

Wiadomo, że O jest punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD (AD ∥ BC). Znajdź długość odcinka BO jeśli AO:OC=7:6 i BD=39 cm.

Podobnie udowadniamy podobieństwo trójkątów AOD i COB oraz

Niech BO=x cm, następnie DO=39-x cm Zatem.

Odpowiedź: 18 cm.

II. Przedłużenia boków trapezu przecinają się w jednym punkcie.

Podobnie rozważmy trójkąty AFD i BFC:

1) ∠ F - ogólny;

2)∠ DAF=∠ CBF (jako odpowiednie kąty w BC ∥ AD i sieczna AF).

Dlatego trójkąty AFD i BFC są podobne (pod dwoma kątami).

Z podobieństwa trójkątów wynika, że odpowiadające im boki są proporcjonalne:

W materiałach różnych testów i egzaminów można je bardzo często spotkać Problemy z trapezem, którego rozwiązanie wymaga znajomości jego właściwości.

Dowiedzmy się, jakie ciekawe i przydatne właściwości ma trapez do rozwiązywania problemów.

Po przestudiowaniu nieruchomości linia środkowa trapezoidy można formułować i udowadniać właściwość odcinka łączącego środki przekątnych trapezu. Odcinek łączący środki przekątnych trapezu jest równy połowie różnicy podstaw.

MO jest środkową linią trójkąta ABC i jest równa 1/2BC (ryc. 1).

MQ jest środkową linią trójkąta ABD i jest równa 1/2AD.

Wtedy OQ = MQ – MO, zatem OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Rozwiązując wiele problemów na trapezie, jedną z głównych technik jest narysowanie w nim dwóch wysokości.

Rozważ następujące zadanie.

Niech BT będzie wysokością trapezu równoramiennego ABCD o podstawach BC i AD, gdzie BC = a, AD = b. Znajdź długości odcinków AT i TD.

Rozwiązanie.

Rozwiązanie problemu nie jest trudne (ryc. 2), ale pozwala uzyskać właściwość wysokości trapezu równoramiennego narysowanego z wierzchołka kąta rozwartego: wysokość trapezu równoramiennego narysowana od wierzchołka kąta rozwartego dzieli większą podstawę na dwie części, z których mniejsza jest równa połowie różnicy podstaw, a większa jest równa połowie sumy podstaw .

Badając właściwości trapezu, należy zwrócić uwagę na taką właściwość, jak podobieństwo. Na przykład przekątne trapezu dzielą go na cztery trójkąty, a trójkąty sąsiadujące z podstawami są podobne, a trójkąty sąsiadujące z bokami są równej wielkości. To stwierdzenie można nazwać właściwość trójkątów, na które trapez jest podzielony przez przekątne. Co więcej, pierwszą część twierdzenia można bardzo łatwo udowodnić poprzez znak podobieństwa trójkątów pod dwoma kątami. Udowodnijmy druga część wypowiedzi.

Trójkąty BOC i COD mają wspólną wysokość (ryc. 3), jeśli za podstawy przyjmiemy segmenty BO i OD. Wtedy S BOC /S COD = BO/OD = k. Zatem S COD = 1/k · S BOC .

Podobnie trójkąty BOC i AOB mają wspólną wysokość, jeśli za podstawy przyjmiemy odcinki CO i OA. Wtedy S BOC /S AOB = CO/OA = k i S A O B = 1/k · S BOC .

Z tych dwóch zdań wynika, że S COD = S A O B.

Nie rozwodźmy się nad sformułowanym stwierdzeniem, ale znajdźmy związek między polami trójkątów, na które trapez jest podzielony przez jego przekątne. Aby to zrobić, rozwiążmy następujący problem.

Niech punkt O będzie punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD z podstawami BC i AD. Wiadomo, że pola trójkątów BOC i AOD są równe odpowiednio S 1 i S 2. Znajdź obszar trapezu.

Ponieważ S COD = S A O B, to S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

Z podobieństwa trójkątów BOC i AOD wynika, że BO/OD = √(S₁/S 2).

Dlatego S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), co oznacza S COD = √(S 1 · S 2).

Wtedy S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√ S 1 + √ S 2) 2.

Udowodniono to za pomocą podobieństwa właściwość odcinka przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych trapezu równoległych do podstaw.

Rozważmy zadanie:

Niech punkt O będzie punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD z podstawami BC i AD. BC = a, AD = b. Znajdź długość odcinka PK przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych trapezu równoległych do podstaw. Jakie odcinki dzieli PK przez punkt O (ryc. 4)?

Z podobieństwa trójkątów AOD i BOC wynika, że AO/OC = AD/BC = b/a.

Z podobieństwa trójkątów AOP i ACB wynika, że AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

Stąd PO = BC b / (a + b) = ab/(a + b).

Podobnie z podobieństwa trójkątów DOK i DBC wynika, że OK = ab/(a + b).

Stąd PO = OK i PK = 2ab/(a + b).

Zatem sprawdzoną właściwość można sformułować w następujący sposób: odcinek równoległy do podstaw trapezu, przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych i łączący dwa punkty po bokach, dzieli się na pół przez punkt przecięcia trapezu przekątne. Jego długość jest średnią harmoniczną podstaw trapezu.

Następny czteropunktowa nieruchomość: w trapezie punkt przecięcia przekątnych, punkt przecięcia kontynuacji boków, środki podstaw trapezu leżą na tej samej prostej.

Trójkąty BSC i ASD są podobne (ryc. 5) i w każdym z nich środkowe ST i SG dzielą kąt wierzchołkowy S na równe części. Zatem punkty S, T i G leżą na tej samej prostej.

Podobnie punkty T, O i G leżą na tej samej prostej. Wynika to z podobieństwa trójkątów BOC i AOD.

Oznacza to, że wszystkie cztery punkty S, T, O i G leżą na tej samej prostej.

Możesz także znaleźć długość odcinka dzielącego trapez na dwa podobne.

Jeśli trapezy ALFD i LBCF są podobne (ryc. 6), wówczas a/LF = LF/b.

Zatem LF = √(ab).

Zatem odcinek dzielący trapez na dwa podobne trapezy ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw.

Udowodnijmy właściwość odcinka dzielącego trapez na dwa równe pola.

Niech obszar trapezu będzie S (ryc. 7). h 1 i h 2 są częściami wysokości, a x jest długością żądanego odcinka.

Wtedy S/2 = godz. 1 (a + x)/2 = godz. 2 (b + x)/2 i

S = (godz. 1 + godz. 2) · (a + b)/2.

Stwórzmy system

(godz. 1 (a + x) = godz. 2 (b + x)
(godz. 1 · (a + x) = (godz. 1 + godz. 2) · (a + b)/2.

Rozwiązując ten układ, otrzymujemy x = √(1/2(a 2 + b 2)).

Zatem, długość odcinka dzielącego trapez na dwie równe części jest równa √((a 2 + b 2)/2)(średni kwadrat długości podstaw).

Zatem dla trapezu ABCD o podstawach AD i BC (BC = a, AD = b) udowodniliśmy, że odcinek:

1) MN, łączący środki bocznych boków trapezu, jest równoległy do podstaw i równy ich połowie sumy (średnia arytmetyczna liczb a i b);

2) PK przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu równoległych do podstaw jest równy
2ab/(a + b) (średnia harmoniczna liczb aib);

3) LF, który dzieli trapez na dwa podobne trapezy, ma długość równą średniej geometrycznej liczb a i b, √(ab);

4) EH, dzieląc trapez na dwie równe części, ma długość √((a 2 + b 2)/2) (średnia kwadratowa liczb a i b).

Znak i własność trapezu wpisanego i opisanego.

Własność trapezu wpisanego: trapez można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoramienny.

Właściwości opisywanego trapezu. Trapez można opisać wokół okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości podstaw jest równa sumie długości boków.

Przydatne konsekwencje faktu wpisania koła w trapez:

1. Wysokość opisanego trapezu jest równa dwóm promieniom okręgu wpisanego.

2. Bok opisywanego trapezu jest widoczny ze środka okręgu wpisanego pod kątem prostym.

Pierwsze jest oczywiste. Aby udowodnić drugi wniosek, należy ustalić, że kąt ChZT jest prosty, co również nie jest trudne. Ale znajomość tego wniosku pozwala używać trójkąta prostokątnego przy rozwiązywaniu problemów.

Określmy wnioski dla trapezu opisanego równoramiennego:

Wysokość trapezu opisanego równoramiennego jest średnią geometryczną podstaw trapezu
h = 2r = √(ab).

Rozważane właściwości pozwolą głębiej zrozumieć trapez i zapewnią sukces w rozwiązywaniu problemów wykorzystując jego właściwości.

Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązać problemy trapezowe?
Aby skorzystać z pomocy korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Powiązane definicje

Elementy trapezowe

Nazywa się boki równoległe powodów trapezoidy.
Pozostałe dwie strony są nazywane boki.
Odcinek łączący środki boków nazywa się linią środkową trapezu.
Odległość między podstawami nazywa się wysokością trapezu.

Rodzaje trapezów

Trapez prostokątny

Trapez równoramienny

Nazywa się trapez, którego boki są równe równoramienny Lub równoramienny.
Nazywa się trapez, który ma po bokach kąty proste prostokątny.

Właściwości ogólne

Linia środkowa trapezu jest równoległa do podstaw i równa ich połowie.
Odcinek łączący środki przekątnych jest równy połowie różnicy podstaw.
Linie równoległe przecinające boki kąta odcinają proporcjonalne odcinki z boków kąta.
W trapez można wpisać okrąg, jeżeli suma podstaw trapezu jest równa sumie jego boków.

Właściwości i znaki trapezu równoramiennego

Linia prosta przechodząca przez środki podstaw jest prostopadła do podstaw i stanowi oś symetrii trapezu.
Wysokość obniżona od góry do większej podstawy dzieli ją na dwa odcinki, z których jeden jest równy połowie sumy podstaw, drugi - połowie różnicy podstaw.
W trapezie równoramiennym kąty przy każdej podstawie są równe.
W trapezie równoramiennym długości przekątnych są równe.
Jeżeli trapez można wpisać w okrąg, to jest on równoramienny.
Okrąg można opisać wokół trapezu równoramiennego.
Jeżeli przekątne trapezu równoramiennego są prostopadłe, to wysokość jest równa połowie sumy podstaw.

Okrąg wpisany i opisany

Kwadrat

Wzory te są takie same, ponieważ połowa sumy podstaw jest równa linii środkowej trapezu.

W tym artykule postaramy się jak najpełniej odzwierciedlić właściwości trapezu. W szczególności omówimy ogólne cechy i właściwości trapezu, a także właściwości trapezu wpisanego i okręgu wpisanego w trapez. Dotkniemy także właściwości trapezu równoramiennego i prostokątnego.

Przykład rozwiązania problemu z wykorzystaniem omawianych właściwości pomoże Ci uporządkować go w miejsca w głowie i lepiej zapamiętać materiał.

Trapez i wszystko-wszystko

Na początek przypomnijmy sobie krótko, czym jest trapez i jakie inne pojęcia są z nim związane.

Zatem trapez jest figurą czworoboczną, której dwa boki są do siebie równoległe (są to podstawy). I te dwa nie są równoległe - to są boki.

W trapezie wysokość można obniżyć - prostopadle do podstaw. Rysowana jest linia środkowa i przekątne. Możliwe jest również narysowanie dwusiecznej z dowolnego kąta trapezu.

Porozmawiamy teraz o różnych właściwościach związanych ze wszystkimi tymi elementami i ich kombinacjami.

Własności przekątnych trapezowych

Aby było to jaśniejsze, podczas czytania naszkicuj trapez ACME na kartce papieru i narysuj w nim przekątne.

Jeśli znajdziesz środki każdej z przekątnych (nazwijmy te punkty X i T) i połącz je, otrzymasz odcinek. Jedną z właściwości przekątnych trapezu jest to, że odcinek HT leży na linii środkowej. A jego długość można uzyskać, dzieląc różnicę podstaw przez dwa: ХТ = (a – b)/2.
Przed nami ten sam trapez ACME. Przekątne przecinają się w punkcie O. Przyjrzyjmy się trójkątom AOE i MOK utworzonym z odcinków przekątnych wraz z podstawami trapezu. Te trójkąty są podobne. Współczynnik podobieństwa k trójkątów wyraża się stosunkiem podstaw trapezu: k = AE/KM.
Stosunek pól trójkątów AOE i MOK opisuje współczynnik k 2 .
Ten sam trapez, te same przekątne przecinające się w punkcie O. Tylko tym razem rozważymy trójkąty, które utworzyły odcinki przekątnych razem z bokami trapezu. Pola trójkątów AKO i EMO są równej wielkości - ich pola są takie same.
Inną właściwością trapezu jest konstrukcja przekątnych. Tak więc, jeśli będziesz kontynuować boki AK i ME w kierunku mniejszej podstawy, to prędzej czy później przetną się w pewnym punkcie. Następnie narysuj linię prostą przez środek podstaw trapezu. Przecina podstawy w punktach X i T.
Jeśli teraz przedłużymy linię XT, to połączy ona ze sobą punkt przecięcia przekątnych trapezu O, punkt, w którym przecinają się przedłużenia boków i środki podstaw X i T.
Przez punkt przecięcia przekątnych narysujemy odcinek, który połączy podstawy trapezu (T leży na mniejszej podstawie KM, X na większej AE). Punkt przecięcia przekątnych dzieli ten odcinek w następującym stosunku: TO/OX = KM/AE.
Teraz przez punkt przecięcia przekątnych narysujemy odcinek równoległy do podstaw trapezu (a i b). Punkt przecięcia podzieli go na dwie równe części. Długość odcinka można znaleźć za pomocą wzoru 2ab/(a + b).

Właściwości linii środkowej trapezu

Narysuj środkową linię trapezu równolegle do jego podstaw.

Długość linii środkowej trapezu można obliczyć, dodając długości podstaw i dzieląc je na pół: m = (a + b)/2.
Jeśli przeciągniesz dowolny odcinek (na przykład wysokość) przez obie podstawy trapezu, środkowa linia podzieli go na dwie równe części.

Właściwość dwusiecznej trapezu

Wybierz dowolny kąt trapezu i narysuj dwusieczną. Weźmy na przykład kąt KAE naszego trapezu ACME. Po samodzielnym wykonaniu konstrukcji łatwo sprawdzić, czy dwusieczna odcina od podstawy (lub jej kontynuacji na linii prostej poza samą figurą) odcinek o tej samej długości co bok.

Właściwości kątów trapezowych

Niezależnie od tego, którą z dwóch par kątów przylegających do boku wybierzesz, suma kątów w parze wynosi zawsze 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0.
Połączmy środki podstaw trapezu z odcinkiem TX. Przyjrzyjmy się teraz kątom u podstaw trapezu. Jeżeli suma kątów któregokolwiek z nich wynosi 90 0, długość odcinka TX można łatwo obliczyć na podstawie różnicy długości podstaw podzielonej na pół: TX = (AE – KM)/2.
Jeśli przez boki kąta trapezowego poprowadzono równoległe linie, podzielą one boki kąta na proporcjonalne odcinki.

Właściwości trapezu równobocznego

W trapezie równoramiennym kąty przy każdej podstawie są równe.
Teraz zbuduj ponownie trapez, aby łatwiej było sobie wyobrazić, o czym mówimy. Przyjrzyj się uważnie podstawie AE - wierzchołek przeciwnej podstawy M jest rzutowany do pewnego punktu na linii zawierającej AE. Odległość wierzchołka A od punktu rzutu wierzchołka M i linii środkowej trapezu równoramiennego są równe.
Kilka słów o własności przekątnych trapezu równoramiennego - ich długości są równe. A także kąty nachylenia tych przekątnych do podstawy trapezu są takie same.
Okrąg można opisać tylko wokół trapezu równoramiennego, ponieważ suma przeciwnych kątów czworoboku wynosi 180 0 - jest to warunek wstępny.
Właściwość trapezu równoramiennego wynika z poprzedniego akapitu - jeśli w pobliżu trapezu można opisać okrąg, jest to równoramienny.
Z cech trapezu równoramiennego wynika właściwość wysokości trapezu: jeśli jego przekątne przecinają się pod kątem prostym, wówczas długość wysokości jest równa połowie sumy podstaw: h = (a + b)/2.
Ponownie narysuj odcinek TX przez środki podstaw trapezu - w trapezie równoramiennym jest on prostopadły do podstaw. Jednocześnie TX jest osią symetrii trapezu równoramiennego.
Tym razem obniż wysokość z przeciwnego wierzchołka trapezu na większą podstawę (nazwijmy to a). Otrzymasz dwa segmenty. Długość jednego można obliczyć, dodając długości podstaw i dzieląc je na pół: (a + b)/2. Drugą otrzymamy, gdy od większej podstawy odejmiemy mniejszą i uzyskaną różnicę podzielimy przez dwa: (a – b)/2.

Właściwości trapezu wpisanego w okrąg

Ponieważ mówimy już o trapezie wpisanym w okrąg, zastanówmy się nad tym zagadnieniem bardziej szczegółowo. W szczególności, gdzie środek okręgu znajduje się w stosunku do trapezu. Tutaj również zaleca się poświęcenie czasu na chwycenie ołówka i narysowanie tego, co zostanie omówione poniżej. W ten sposób szybciej zrozumiesz i lepiej zapamiętasz.

Położenie środka okręgu wyznacza kąt nachylenia przekątnej trapezu na jego bok. Na przykład przekątna może rozciągać się od góry trapezu pod kątem prostym do boku. W tym przypadku większa podstawa przecina środek okręgu opisanego dokładnie w środku (R = ½AE).
Przekątna i bok mogą również spotykać się pod kątem ostrym - wtedy środek okręgu znajduje się wewnątrz trapezu.
Środek okręgu opisanego może znajdować się na zewnątrz trapezu, poza jego większą podstawą, jeśli między przekątną trapezu a jego bokiem istnieje kąt rozwarty.
Kąt utworzony przez przekątną i dużą podstawę trapezu ACME (kąt wpisany) jest połową odpowiadającego mu kąta środkowego: MAE = ½MOE.
Krótko o dwóch sposobach wyznaczania promienia opisanego okręgu. Metoda pierwsza: przyjrzyj się uważnie swojemu rysunkowi – co widzisz? Łatwo zauważyć, że przekątna dzieli trapez na dwa trójkąty. Promień można obliczyć ze stosunku boku trójkąta do sinusa przeciwnego kąta pomnożonego przez dwa. Na przykład, R = AE/2*sinAME. Wzór można zapisać w podobny sposób dla dowolnego boku obu trójkątów.
Metoda druga: znajdź promień opisanego koła przez obszar trójkąta utworzonego przez przekątną, bok i podstawę trapezu: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Właściwości trapezu opisanego na okręgu

Można zmieścić okrąg w trapezie, jeśli spełniony jest jeden warunek. Przeczytaj więcej na ten temat poniżej. Razem ta kombinacja liczb ma wiele interesujących właściwości.

Jeśli w trapez wpisano okrąg, długość jego linii środkowej można łatwo obliczyć, dodając długości boków i dzieląc otrzymaną sumę na pół: m = (c + d)/2.
Dla trapezu ACME opisanego na okręgu suma długości podstaw jest równa sumie długości boków: AK + ME = KM + AE.
Z tej właściwości podstaw trapezu wynika stwierdzenie odwrotne: w trapezoid, którego suma podstaw jest równa sumie jego boków, można wpisać okrąg.
Punkt styczny okręgu o promieniu r wpisanego w trapez dzieli bok na dwa odcinki, nazwijmy je a i b. Promień okręgu można obliczyć korzystając ze wzoru: r = √ab.
I jeszcze jedna nieruchomość. Aby uniknąć nieporozumień, sam również narysuj ten przykład. Mamy stary, dobry trapez ACME opisany wokół okręgu. Zawiera przekątne przecinające się w punkcie O. Trójkąty AOK i EOM utworzone przez odcinki przekątnych i boki boczne są prostokątne.
Wysokości tych trójkątów, obniżone do przeciwprostokątnych (tj. bocznych boków trapezu), pokrywają się z promieniami okręgu wpisanego. A wysokość trapezu pokrywa się ze średnicą wpisanego koła.

Właściwości trapezu prostokątnego

Trapez nazywamy prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów jest prosty. I z tej okoliczności wynikają jego właściwości.

Trapez prostokątny ma jeden bok prostopadły do podstawy.
Wysokość i boczny bok trapezu przylegającego do prosty kąt, są równe. Pozwala to obliczyć pole prostokątnego trapezu (wzór ogólny S = (a + b) * godz/2) nie tylko przez wysokość, ale także przez bok przylegający do kąta prostego.
W przypadku trapezu prostokątnego istotne są ogólne właściwości przekątnych trapezu opisane już powyżej.

Dowody na niektóre właściwości trapezu

Równość kątów u podstawy trapezu równoramiennego:

Prawdopodobnie już zgadłeś, że tutaj znów będziemy potrzebować trapezu AKME - narysuj trapez równoramienny. Narysuj linię prostą MT z wierzchołka M, równoległą do boku AK (MT || AK).

Powstały czworobok AKMT jest równoległobokiem (AK || MT, KM || AT). Ponieważ ME = KA = MT, ∆ MTE jest równoramienne, a MET = MTE.

AK || MT, zatem MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Gdzie AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

co było do okazania

Teraz, bazując na własności trapezu równoramiennego (równość przekątnych), udowodnimy to trapez ACME jest równoramienny:

Najpierw narysujmy linię prostą MX – MX || KE. Otrzymujemy równoległobok KMHE (podstawa – MX || KE i KM || EX).

∆AMX jest równoramienne, ponieważ AM = KE = MX i MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, zatem MAE = MXE.

Okazało się, że trójkąty AKE i EMA są sobie równe, ponieważ AM = KE i AE są wspólnymi bokami obu trójkątów. A także MAE = MXE. Możemy stwierdzić, że AK = ME i z tego wynika, że trapez AKME jest równoramienny.

Przejrzyj zadanie

Podstawy trapezu ACME mają długości 9 cm i 21 cm, bok KA równy 8 cm tworzy z mniejszą podstawą kąt 150 0. Musisz znaleźć obszar trapezu.

Rozwiązanie: Z wierzchołka K obniżamy wysokość do większej podstawy trapezu. Zacznijmy patrzeć na kąty trapezu.

Kąty AEM i KAN są jednostronne. Oznacza to, że w sumie dają 180 0. Zatem KAN = 30 0 (na podstawie właściwości kątów trapezowych).

Rozważmy teraz prostokątną ∆ANC (uważam, że ten punkt jest oczywisty dla czytelników bez dodatkowych dowodów). Z niego znajdziemy wysokość trapezu KH - w trójkącie jest to noga leżąca naprzeciwko kąta 30 0. Dlatego KN = ½AB = 4 cm.

Pole trapezu obliczamy ze wzoru: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Posłowie

Jeśli dokładnie i starannie przestudiowałeś ten artykuł, nie byłeś zbyt leniwy, aby narysować trapezy dla wszystkich podanych właściwości ołówkiem w dłoniach i przeanalizować je w praktyce, powinieneś dobrze opanować materiał.

Oczywiście informacji jest tu mnóstwo, różnorodnych, a czasem wręcz zagmatwanych: nietrudno pomylić właściwości opisywanego trapezu z właściwościami wpisanego. Ale sam widziałeś, że różnica jest ogromna.

Teraz masz szczegółowy zarys wszystkich ogólnych właściwości trapezu. A także specyficzne właściwości i cechy trapezów równoramiennych i prostokątnych. Jest bardzo wygodny w użyciu w celu przygotowania się do sprawdzianów i egzaminów. Wypróbuj sam i udostępnij link swoim znajomym!