\[(\විශාල(\පෙළ (ත්‍රිකෝණවල සමානතාව)))\]

අර්ථ දැක්වීම්

ත්‍රිකෝණ දෙකක් සමාන ලෙස හැඳින්වේ, ඒවායේ කෝණ පිළිවෙලින් සමාන නම් සහ එක් ත්‍රිකෝණයක පැති අනෙක් පැත්තේ සමාන පැතිවලට සමානුපාතික වේ.
(සමාන කෝණවලට විරුද්ධ නම් පැති සමාන ලෙස හැඳින්වේ).

(සමාන) ත්‍රිකෝණවල සමානතා සංගුණකය මෙම ත්‍රිකෝණවල සමාන පැතිවල අනුපාතයට සමාන සංඛ්‍යාවකි.

අර්ථ දැක්වීම

ත්‍රිකෝණයක පරිමිතිය යනු එහි සියලුම පැතිවල දිගවල එකතුවයි.

ප්රමේයය

සමාන ත්රිකෝණ දෙකක පරිමිතියෙහි අනුපාතය සමානතා සංගුණකයට සමාන වේ.

සාක්ෂි

\(ABC\) සහ \(A_1B_1C_1\) පැති \(a,b,c\) සහ \(a_1, b_1, c_1\) පිළිවෙලින් ත්‍රිකෝණ සලකා බලන්න (ඉහත රූපය බලන්න).

ඉන්පසු \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)

ප්රමේයය

සමාන ත්‍රිකෝණ දෙකක ප්‍රදේශ වල අනුපාතය සමානතා සංගුණකයේ වර්ගයට සමාන වේ.

සාක්ෂි

ත්‍රිකෝණ \(ABC\) සහ \(A_1B_1C_1\) සමාන වීමට ඉඩ දෙන්න, සහ \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). අපි මෙම ත්‍රිකෝණවල ප්‍රදේශ පිළිවෙලින් \(S\) සහ \(S_1\) අකුරු වලින් දක්වමු.

\(\angle A = \angle A_1\) සිට , එවිට \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(සමාන කෝණ සහිත ත්‍රිකෝණවල ප්‍රදේශ වල අනුපාතය මත ප්‍රමේයය මගින්).

නිසා \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), එම \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), ඔප්පු කළ යුතු දේ විය.

\[(\Large(\text(ත්‍රිකෝණවල සමානතාවයේ සලකුණු)))\]

ප්‍රමේයය (ත්‍රිකෝණවල සමානතාවයේ පළමු ලකුණ)

එක් ත්‍රිකෝණයක කෝණ දෙකක් පිළිවෙලින් තවත් ත්‍රිකෝණයක කෝණ දෙකකට සමාන නම්, එවැනි ත්‍රිකෝණ සමාන වේ.

සාක්ෂි

\(ABC\) සහ \(A_1B_1C_1\) \(\angle A = \angle A_1\) , \(\angle B = \angle B_1\) ත්‍රිකෝණ වේවා. ඉන්පසුව, ත්‍රිකෝණයක කෝණවල එකතුව මත ප්‍රමේයය මගින් \(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1 = \angle C_1\), එනම්, ත්‍රිකෝණයේ කෝණ \(ABC\) පිළිවෙලින් ත්‍රිකෝණයේ කෝණවලට සමාන වේ \(A_1B_1C_1\) .

\(\angle A = \angle A_1\) සහ \(\angle B = \angle B_1\) , පසුව \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)සහ \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).

මෙම සමානාත්මතා වලින් එය අනුගමනය කරයි \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).

ඒ හා සමානව, එය ඔප්පු කර ඇත \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(සමානතා භාවිතා කරමින් \(\angle B = \angle B_1\) , \(\angle C = \angle C_1\) ).

එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, ත්‍රිකෝණයේ පැති \(ABC\) ත්‍රිකෝණයේ සමාන පැතිවලට සමානුපාතික වේ \(A_1B_1C_1\), එය ඔප්පු කිරීමට අවශ්‍ය වේ.

ප්‍රමේයය (ත්‍රිකෝණවල සමානතාවය සඳහා දෙවන නිර්ණායකය)

එක් ත්‍රිකෝණයක පැති දෙකක් තවත් ත්‍රිකෝණයක පැති දෙකකට සමානුපාතික නම් සහ මෙම පැති අතර කෝණ සමාන නම්, ත්‍රිකෝණ සමාන වේ.

සාක්ෂි

\(ABC\) සහ \(A"B"C"\) ත්‍රිකෝණ දෙකක් සලකා බලන්න \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\angle BAC = \angle A"\) අපි \(ABC\) සහ \(A"B"C"\) ත්‍රිකෝණ සමාන බව ඔප්පු කරමු. ත්රිකෝණවල සමානතාවයේ පළමු ලකුණ සැලකිල්ලට ගනිමින්, \(\කෝණය B = \angle B"\) බව පෙන්වීමට ප්රමාණවත් වේ.

\(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) සමඟ ත්‍රිකෝණයක් \(ABC""\) සලකා බලන්න. ත්‍රිකෝණ \(ABC""\) සහ \(A"B"C"\) ත්‍රිකෝණවල සමානතාවයේ පළමු නිර්ණායකයට අනුව සමාන වේ, පසුව \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).

අනෙක් අතට, කොන්දේසිය අනුව \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). අවසාන සමානතා දෙකෙන් එය අනුගමනය කරන්නේ \(AC = AC""\) .

ත්‍රිකෝණ \(ABC\) සහ \(ABC""\) පැති දෙකකින් සමාන වන අතර ඒවා අතර කෝණය, එබැවින්, \(\angle B = \angle 2 = \angle B"\).

ප්‍රමේයය (ත්‍රිකෝණවල සමානතාවයේ තුන්වන ලකුණ)

එක් ත්‍රිකෝණයක පැති තුනක් තවත් ත්‍රිකෝණයක පැති තුනකට සමානුපාතික නම්, එම ත්‍රිකෝණ සමාන වේ.

සාක්ෂි

\(ABC\) සහ \(A"B"C"\) ත්‍රිකෝණවල පැති සමානුපාතික වීමට ඉඩ දෙන්න: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). \(ABC\) සහ \(A"B"C"\) ත්‍රිකෝණ සමාන බව අපි ඔප්පු කරමු.

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ත්රිකෝණවල සමානත්වය සඳහා වන දෙවන නිර්ණායකය සැලකිල්ලට ගනිමින්, \(\angle BAC = \angle A"\) බව ඔප්පු කිරීමට ප්රමාණවත් වේ.

\(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) සමඟ ත්‍රිකෝණයක් \(ABC""\) සලකා බලන්න.

ත්‍රිකෝණ \(ABC""\) සහ \(A"B"C"\) ත්‍රිකෝණවල සමානතාවයේ පළමු නිර්ණායකයට අනුව සමාන වේ, එබැවින්, \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).

සමානාත්මතා සහ කොන්දේසි වල අවසාන දාමයෙන් \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\)එය පහත දැක්වෙන්නේ \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) .

ත්‍රිකෝණ \(ABC\) සහ \(ABC""\) පැති තුනකින් සමාන වේ, එබැවින්, \(\angle BAC = \angle 1 = \angle A"\).

\[(\Large(\text(Thales' Theorem)))\]

ප්රමේයය

ඔබ කෝණයක එක් පැත්තක සමාන කොටස් සලකුණු කර ඒවායේ කෙළවර හරහා සමාන්තර සරල රේඛා අඳින්නේ නම්, මෙම සරල රේඛා අනෙක් පැත්තෙන් සමාන කොටස් කපා දමයි.

සාක්ෂි

අපි මුලින්ම ඔප්පු කරමු lemma:\(\ත්‍රිකෝණය OBB_1\) හි සරල රේඛාවක් \(a\සමාන්තර BB_1\) \(OB\) පැත්තේ මැද \(A\) හරහා ඇදී ඇත්නම්, එය \(OB_1\) පැත්තද ඡේදනය වේ මැද.

\(B_1\) ලක්ෂ්‍යය හරහා අපි \(l\සමාන්තර OB\) අඳින්නෙමු. අපි \(l\cap a=K\) . එවිට \(ABB_1K\) යනු සමාන්තර චලිතයකි, එබැවින් \(B_1K=AB=OA\) සහ \(\angle A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1\); \(\angle AA_1O=\angle KA_1B_1\)සිරස් වගේ. ඉතින්, දෙවන ලකුණට අනුව \(\ත්‍රිකෝණය OAA_1=\ත්‍රිකෝණය B_1KA_1 \Rightarrow OA_1=A_1B_1\). ලෙම්මා ඔප්පු කර ඇත.

අපි ප්‍රමේයයේ සාධනය වෙත යමු. ඉඩ දෙන්න \(OA=AB=BC\) , \(a\parallel b\parallel c\) සහ අපට \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) බව ඔප්පු කිරීමට අවශ්‍ය වේ.

මේ අනුව, මෙම lemma අනුව \(OA_1=A_1B_1\) . අපි ඔප්පු කරමු \(A_1B_1=B_1C_1\) . අපි \(B_1\) ලක්ෂ්‍යය හරහා \(d\සමාන්තර OC\) සරල රේඛාවක් අඳිමු, සහ \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) . එවිට \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) සමාන්තර චලිත වේ, එබැවින්, \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . මේ අනුව, \(\angle A_1B_1D_1=\angle C_1B_1D_2\)සිරස් වගේ \(\angle A_1D_1B_1=\angle C_1D_2B_1\)කුරුස මෙන් වැතිර සිටින අතර, එබැවින්, දෙවන සංඥාව අනුව \(\ත්‍රිකෝණය A_1B_1D_1=\ත්‍රිකෝණය C_1B_1D_2 \Rightarrow A_1B_1=B_1C_1\).

තේල්ස් ප්‍රමේයය

සමාන්තර රේඛා කෝණයක පැතිවල සමානුපාතික කොටස් කපා.

සාක්ෂි

සමාන්තර රේඛා ඉඩ දෙන්න \(p\parallel q\parallel r\parallel s\)එක් පේළියක් කොටස් වලට බෙදා ඇත \(a, b, c, d\) . එවිට දෙවන සරල රේඛාව පිළිවෙලින් \(ka, kb, kc, kd\) කොටස් වලට බෙදිය යුතුය, එහිදී \(k\) යනු නිශ්චිත සංඛ්‍යාවක් වන අතර එම කොටස්වල සමානුපාතිකත්ව සංගුණකය වේ.

අපි \(A_1\) ලක්ෂ්‍යය හරහා \(p\parallel OD\) රේඛාවක් අඳිමු (\(ABB_2A_1\) යනු සමාන්තර චලිතයකි, එබැවින්, \(AB=A_1B_2\) ). ඉන්පසු \(\ත්‍රිකෝණය OAA_1 \sim \triangle A_1B_1B_2\)කොන් දෙකකින්. එබැවින්, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Rightarrow A_1B_1=kb\).

ඒ හා සමානව, අපි \(B_1\) හරහා සරල රේඛාවක් අඳින්නෙමු \(q\parallel OD \Rightarrow \triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc\)ආදිය

\[(\Large(\text(ත්‍රිකෝණයේ මැද රේඛාව)))\]

අර්ථ දැක්වීම

ත්‍රිකෝණයක මධ්‍ය රේඛාව යනු ත්‍රිකෝණයේ ඕනෑම පැති දෙකක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන කොටසකි.

ප්රමේයය

ත්රිකෝණයේ මැද රේඛාව තුන්වන පැත්තට සමාන්තර වන අතර එය අඩකට සමාන වේ.

සාක්ෂි

1) මධ්‍ය රේඛාවේ පාදයට සමාන්තරගත වීම ඉහත ඔප්පු කර ඇති දෙයින් පහත දැක්වේ lemmas.

2) අපි \(MN=\dfrac12 AC\) බව ඔප්පු කරමු.

ලක්ෂ්‍යය හරහා \(N\) අපි \(AB\) ට සමාන්තරව රේඛාවක් අඳින්නෙමු. මෙම රේඛාව \(K\) ලක්ෂ්‍යයේ \(AC\) පැත්ත ඡේදනය වීමට ඉඩ හරින්න. එවිට \(AMNK\) යනු සමාන්තර චලිතයකි ( \(AM\parallel NK, MN\parallel AK\)පෙර කරුණට අනුව). ඉතින්, \(MN=AK\) .

නිසා \(NK\parallel AB\) සහ \(N\) යනු \(BC\) හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය වේ, පසුව තේල්ස් ප්‍රමේයය අනුව \(K\) යනු \(AC\) හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය වේ. එබැවින්, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .

ප්රතිවිපාකය

ත්‍රිකෝණයේ මැද රේඛාව \(\frac12\) සංගුණකය සමඟ ලබා දී ඇති එකට සමාන ත්‍රිකෝණයක් එයින් කපා දමයි.

පැති දෙකක් පමණක් සමාන්තර වන චතුරස්රයක් ලෙස හැඳින්වේ trapezoid.

trapezoid හි සමාන්තර පැති එහි ලෙස හැඳින්වේ හේතු, සහ සමාන්තර නොවන එම පැති කැඳවනු ලැබේ පැති. පැති සමාන නම්, එවැනි trapezoid isoscelles වේ. පාද අතර දුර trapezoid උස ලෙස හැඳින්වේ.

මැද රේඛා Trapezoid

මැද රේඛාව යනු trapezoid හි පාර්ශ්වීය පැතිවල මැද ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන කොටසකි. trapezoid හි මැද රේඛාව එහි පාදවලට සමාන්තර වේ.

ප්රමේයය:

එක් පැත්තක මැද හරස් වන සරල රේඛාව trapezoid හි පාදවලට සමාන්තර වේ නම්, එය trapezoid හි දෙවන පැත්ත දෙකට බෙදයි.

ප්රමේයය:

මැද රේඛාවේ දිග එහි පාදවල දිගෙහි අංක ගණිත මධ්යන්යයට සමාන වේ

MN || AB || ඩීසී
AM = MD; BN=NC

MN මැද රේඛාව, AB සහ CD - භෂ්ම, AD සහ BC - පාර්ශ්වීය පැති

MN = (AB + DC)/2

ප්රමේයය:

trapezoid වල මැද රේඛාවේ දිග එහි පාදවල දිගෙහි අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයට සමාන වේ.

ප්රධාන කාර්යය: trapezoid හි මධ්‍ය රේඛාව trapezoid හි පාදවල මැද පිහිටි කොටසකට බෙදෙන බව ඔප්පු කරන්න.

ත්රිකෝණයේ මැද රේඛාව

ත්‍රිකෝණයක පැති දෙකක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන කොටස ත්‍රිකෝණයේ මැද රේඛාව ලෙස හැඳින්වේ. එය තුන්වන පැත්තට සමාන්තර වන අතර එහි දිග තුන්වන පැත්තේ දිග අඩකට සමාන වේ.
ප්රමේයය: ත්‍රිකෝණයක එක් පැත්තක මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය ඡේදනය වන රේඛාවක් ත්‍රිකෝණයේ අනෙක් පැත්තට සමාන්තර වේ නම්, එය තුන්වන පැත්ත දෙකඩ කරයි.

AM = MC සහ BN = NC =>

ත්රිකෝණයක සහ trapezoid වල මැද රේඛාවේ ගුණාංග යෙදීම

යම් කොටසක් සමාන කොටස් ගණනකට බෙදීම.
කාර්යය: AB කොටස සමාන කොටස් 5 කට බෙදන්න.
විසඳුමක්:
p යනු A ලක්ෂ්‍යය වන සහ AB රේඛාවේ නොපවතින අහඹු කිරණක් වේවා. අපි p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5 මත සමාන කොටස් 5 ක් අනුපිළිවෙලින් වෙන් කරමු.
අපි A 5 සිට B දක්වා සම්බන්ධ කර A 5 B ට සමාන්තරව A 4, A 3, A 2 සහ A 1 හරහා එවැනි රේඛා අඳින්නෙමු. ඒවා පිළිවෙලින් B 4, B 3, B 2 සහ B 1 යන ස්ථානවල AB ඡේදනය වේ. මෙම ලක්ෂ්‍ය AB කොටස සමාන කොටස් 5කට බෙදේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, trapezoid BB 3 A 3 A 5 වෙතින් අපට පෙනෙන්නේ BB 4 = B 4 B 3 බවයි. එලෙසම, trapezoid B 4 B 2 A 2 A 4 වෙතින් අපි B 4 B 3 = B 3 B 2 ලබා ගනිමු.

trapezoid B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1 සිට.
එවිට B 2 AA 2 සිට B 2 B 1 = B 1 A. අවසාන වශයෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
AB ඛණ්ඩය තවත් සමාන කොටස් ගණනකට බෙදීමට, අපි කිරණ p මතට සමාන කොටස් සංඛ්‍යාවක් ප්‍රක්ෂේපණය කළ යුතු බව පැහැදිලිය. ඉන්පසු ඉහත විස්තර කර ඇති ආකාරයටම ඉදිරියට යන්න.

ත්‍රිකෝණයක මැද රේඛාව යනු එහි පැති 2හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන කොටසකි. ඒ අනුව සෑම ත්‍රිකෝණයකම මැද රේඛා තුනක් ඇත. මැද රේඛාවේ ගුණාත්මකභාවය මෙන්ම ත්‍රිකෝණයේ පැතිවල දිග සහ එහි කෝණ දැන ගැනීමෙන් ඔබට මැද රේඛාවේ දිග තීරණය කළ හැකිය.

ඔබට අවශ්ය වනු ඇත

• ත්රිකෝණයක පැති, ත්රිකෝණයක කෝණ

උපදෙස්

1. ත්‍රිකෝණයේ ABC MN යනු AB (ලක්ෂ්‍යය M) සහ AC (ලක්ෂ්‍යය N) යන පැතිවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන මධ්‍ය රේඛාව වේවා, 2 පැතිවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන ත්‍රිකෝණයක මධ්‍ය රේඛාව තුන්වන පැත්තට සමාන්තර වන අතර එය අඩකට සමාන වේ. එය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මැද රේඛාව MN BC පැත්තට සමාන්තර වන අතර BC/2 ට සමාන වන අතර, ත්‍රිකෝණයේ මැද රේඛාවේ දිග තීරණය කිරීම සඳහා, මෙම විශේෂිත තුන්වන පැත්තේ දිග දැන ගැනීම ප්‍රමාණවත් වේ.

2. MN, එනම් AB සහ AC යන මැද රේඛාවෙන් මෙන්ම ඒවා අතර BAC කෝණයෙන් සම්බන්ධ වන මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය පැති දැන් දන්වන්න. MN යනු මැද රේඛාව වන බැවින්, AM = AB/2, සහ AN = AC/2 පසුව, කොසයින් ප්‍රමේයය අනුව, වෛෂයිකව: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. එබැවින්, MN = වර්ග((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. AB සහ AC පැති දන්නේ නම්, ABC හෝ ACB කෝණය දැන ගැනීමෙන් MN මැද රේඛාව සොයාගත හැකිය. අපි හිතමු ABC එක ප්‍රසිද්ධයි කියලා. මක්නිසාද යත් මැද රේඛාවේ MN හි ගුණය අනුව BC ට සමාන්තර වේ, එවිට ABC සහ AMN කෝණ අනුරූප වන අතර, ඒ අනුව, ABC = AMN වේ. පසුව, කෝසයින් ප්‍රමේයය මගින්: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, MN පැත්ත චතුරස්‍ර සමීකරණයෙන් (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0 සොයා ගත හැක.

ඉඟිය 2: හතරැස් ත්‍රිකෝණයක පැත්ත සොයා ගන්නේ කෙසේද?

හතරැස් ත්‍රිකෝණයක් වඩාත් නිවැරදිව සෘජුකෝණාශ්‍රය ලෙස හැඳින්වේ. මෙහි පැති සහ කෝණ අතර සම්බන්ධතා ජ්යාමිතික රූපයත්‍රිකෝණමිතියෙහි ගණිතමය විෂයයෙහි විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කෙරේ.

ඔබට අවශ්ය වනු ඇත

• - කඩදාසි;
• - පෑන;
• - බ්රැඩිස් වගු;
• - කැල්කියුලේටරය.

උපදෙස්

1. සොයා ගන්න පැත්තසෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයපයිතගරස් ප්රමේයයේ සහාය ඇතිව. මෙම ප්‍රමේයයට අනුව, කර්ණය වර්ග පාදවල වර්ගවල එකතුවට සමාන වේ: c2 = a2+b2, මෙහි c යනු කර්ණය වේ. ත්රිකෝණය, a සහ b යනු එහි පාද වේ. මෙම සමීකරණය යෙදීම සඳහා, ඔබ සෘජුකෝණාස්‍රයක ඕනෑම පැති 2ක දිග දැනගත යුතුය. ත්රිකෝණය .

2. කොන්දේසි කකුල් වල මානයන් නියම කරන්නේ නම්, උපකල්පිතයේ දිග සොයා ගන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, කැල්කියුලේටරය භාවිතා කරමින්, කකුල් වල එකතුවේ වර්ගමූලය උපුටා ගන්න, ඒ සෑම එකක්ම කල්තියා වර්ග කරන්න.

3. කර්ණය සහ අනෙක් පාදයේ මානයන් ඔබ දන්නේ නම් එක් පාදයක දිග ගණනය කරන්න. කැල්කියුලේටරයක් ​​භාවිතා කරමින්, කර්ණය හතරැස් සහ ප්‍රමුඛ පාදය අතර වෙනසෙහි වර්ගමූලය උපුටා ගන්න.

4. ගැටළුව කර්ණය සහ එයට යාබදව ඇති උග්‍ර කෝණ වලින් එකක් නම්, බ්‍රැඩිස් වගු භාවිතා කරන්න. ඒවා කෝණ විශාල සංඛ්‍යාවක් සඳහා ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අගයන් සපයයි. සයින් සහ කෝසයින් ශ්‍රිත සහිත කැල්කියුලේටරයක් ​​මෙන්ම සෘජුකෝණාස්‍රයක පැති සහ කෝණ අතර සම්බන්ධතා විස්තර කරන ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රමේය භාවිතා කරන්න. ත්රිකෝණය .

5. මූලික ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත භාවිතයෙන් කකුල් සොයන්න: a = c*sin?, b = c*cos?, a යනු කෙළවරට විරුද්ධ කකුල කොහෙද?, b යනු කෙළවරට යාබද කකුලද?. එකම ආකාරයෙන් පැතිවල ප්රමාණය ගණනය කරන්න ත්රිකෝණය, කර්ණය සහ වෙනත් නම් තියුණු කොන: b = c*sin?, a = c*cos?, b යනු කොනට විරුද්ධ කකුලද?, සහ කකුල කෙළවරට යාබදවද?.

6. අපි කකුල a සහ ඊට යාබදව ඇති උග්‍ර කෝණය ගන්නා විටදී, සෘජුකෝණාස්‍රයක තීව්‍ර කෝණවල එකතුව නොවෙනස්ව 90°ට සමාන වන බව අමතක කරන්න එපා: ? + ? = 90°. කකුලට විරුද්ධ කෝණයේ අගය සොයන්න a: ? = 90° – ?. නැතහොත් ත්‍රිකෝණමිතික අඩු කිරීමේ සූත්‍ර භාවිතා කරන්න: පව්? = sin (90° – ?) = cos ?; tg? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg?.

7. අපට කකුල a සහ ඊට ප්‍රතිවිරුද්ධ උග්‍ර කෝණය තිබේ නම්, බ්‍රැඩිස් වගු, කැල්කියුලේටරයක් ​​සහ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත භාවිතයෙන්, කර්ණය ගණනය කරන්න: c=a*sin?, leg: b=a*tg?.

මාතෘකාව පිළිබඳ වීඩියෝව

රූප සටහන 1 ත්‍රිකෝණ දෙකක් පෙන්වයි. ABC ත්‍රිකෝණය A1B1C1 ත්‍රිකෝණයට සමාන වේ. තවද යාබද පැති සමානුපාතික වේ, එනම් AB යනු A1B1 ට AC ලෙස A1C1 වේ. මෙම කොන්දේසි දෙකෙන් ත්රිකෝණවල සමානත්වය පහත දැක්වේ.

ත්රිකෝණයක මැද රේඛාව සොයා ගන්නේ කෙසේද - රේඛාවල සමාන්තරකරණයේ සලකුණකි

රූප සටහන 2 පේළි a සහ b, secant c පෙන්වයි. මෙය කොන් 8 ක් නිර්මාණය කරයි. කෝණ 1 සහ 5 අනුරූප වේ, රේඛා සමාන්තර නම්, අනුරූප කෝණ සමාන වේ, සහ අනෙක් අතට.

ත්රිකෝණයක මැද රේඛාව සොයා ගන්නේ කෙසේද?

රූප සටහන 3 හි M යනු AB හි මැද වන අතර N යනු AC හි මැද වන අතර BC යනු පාදම වේ. MN කොටස ත්‍රිකෝණයේ මැද රේඛාව ලෙස හැඳින්වේ. ප්‍රමේයයම මෙසේ කියයි: ත්‍රිකෝණයක මැද රේඛාව පාදයට සමාන්තර වන අතර එයින් අඩකට සමාන වේ.

MN යනු ත්‍රිකෝණයක මධ්‍ය රේඛාව බව ඔප්පු කිරීම සඳහා, අපට ත්‍රිකෝණවල සමානතාවය සඳහා දෙවන පරීක්ෂණය සහ රේඛාවල සමාන්තරභාවය සඳහා වන පරීක්ෂණය අවශ්‍ය වේ.

ත්‍රිකෝණය AMN දෙවන නිර්ණායකයට අනුව ABC ත්‍රිකෝණයට සමාන වේ. සමාන ත්‍රිකෝණවල, අනුරූප කෝණ සමාන වේ, කෝණය 1 කෝණය 2 ට සමාන වේ, සහ රේඛා දෙකක් තීර්යක් සමඟ ඡේදනය වන විට මෙම කෝණ අනුරූප වේ, එබැවින් රේඛා සමාන්තර වේ, MN BC ට සමාන්තර වේ. A කෝණය පොදු වේ, AM/AB = AN/AC = ½

මෙම ත්‍රිකෝණවල සමානතා සංගුණකය ½ වේ, එයින් කියවෙන්නේ ½ = MN/BC, MN = ½ BC


ඉතින් අපි ත්‍රිකෝණයේ මැද රේඛාව සොයාගෙන, ත්‍රිකෝණයේ මැද රේඛාව පිළිබඳ ප්‍රමේයය ඔප්පු කළෙමු, මැද රේඛාව සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඔබට තවමත් තේරෙන්නේ නැත්නම්, පහත වීඩියෝව බලන්න.

ත්‍රිකෝණයක මැද රේඛාව යනු එහි පැති 2හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන කොටසකි. ඒ අනුව සෑම ත්‍රිකෝණයකම මැද රේඛා තුනක් ඇත. මැද රේඛාවේ ගුණාත්මකභාවය මෙන්ම ත්‍රිකෝණයේ පැතිවල දිග සහ එහි කෝණ දැන ගැනීමෙන් ඔබට මැද රේඛාවේ දිග තීරණය කළ හැකිය.

ඔබට අවශ්ය වනු ඇත

• ත්රිකෝණයක පැති, ත්රිකෝණයක කෝණ

උපදෙස්

1. ත්‍රිකෝණයේ ABC MN යනු AB (ලක්ෂ්‍යය M) සහ AC (ලක්ෂ්‍යය N) යන පැතිවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන මධ්‍ය රේඛාව වේවා, 2 පැතිවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන ත්‍රිකෝණයක මධ්‍ය රේඛාව තුන්වන පැත්තට සමාන්තර වන අතර එය අඩකට සමාන වේ. එය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මැද රේඛාව MN BC පැත්තට සමාන්තර වන අතර BC/2 ට සමාන වන අතර, ත්‍රිකෝණයේ මැද රේඛාවේ දිග තීරණය කිරීම සඳහා, මෙම විශේෂිත තුන්වන පැත්තේ දිග දැන ගැනීම ප්‍රමාණවත් වේ.

2. MN, එනම් AB සහ AC යන මැද රේඛාවෙන් මෙන්ම ඒවා අතර BAC කෝණයෙන් මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කර ඇති පැති දැන් දන්වන්න. MN යනු මැද රේඛාව වන බැවින්, AM = AB/2, සහ AN = AC/2 පසුව, කොසයින් ප්‍රමේයය අනුව, වෛෂයිකව: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. එබැවින්, MN = වර්ග((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. AB සහ AC පැති දන්නේ නම්, ABC හෝ ACB කෝණය දැන ගැනීමෙන් MN මැද රේඛාව සොයාගත හැකිය. අපි හිතමු ABC එක ප්‍රසිද්ධයි කියලා. මක්නිසාද යත් මැද රේඛාවේ MN හි ගුණය අනුව BC ට සමාන්තර වේ, එවිට ABC සහ AMN කෝණ අනුරූප වන අතර, ඒ අනුව, ABC = AMN වේ. පසුව, කෝසයින් ප්‍රමේයය මගින්: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, MN පැත්ත චතුරස්‍ර සමීකරණයෙන් (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0 සොයා ගත හැක.

හතරැස් ත්රිකෝණයක් වඩාත් නිවැරදිව සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් ලෙස හැඳින්වේ. මෙම ජ්‍යාමිතික රූපයේ පැති සහ කෝණ අතර සම්බන්ධතා ත්‍රිකෝණමිතියෙහි ගණිතමය විෂයයෙහි විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කෙරේ.

ඔබට අවශ්ය වනු ඇත

• - කඩදාසි;
• - පෑන;
• - බ්රැඩිස් වගු;
• - කැල්කියුලේටරය.

උපදෙස්

1. සොයා ගන්න පැත්තසෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයපයිතගරස් ප්රමේයයේ සහාය ඇතිව. මෙම ප්‍රමේයයට අනුව, කර්ණය වර්ග පාදවල වර්ගවල එකතුවට සමාන වේ: c2 = a2+b2, මෙහි c යනු කර්ණය වේ. ත්රිකෝණය, a සහ b යනු එහි පාද වේ. මෙම සමීකරණය යෙදීම සඳහා, ඔබ සෘජුකෝණාස්‍රයක ඕනෑම පැති 2ක දිග දැනගත යුතුය. ත්රිකෝණය .

2. කොන්දේසි කකුල් වල මානයන් නියම කරන්නේ නම්, උපකල්පිතයේ දිග සොයා ගන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, කැල්කියුලේටරය භාවිතා කරමින්, කකුල් වල එකතුවේ වර්ගමූලය උපුටා ගන්න, ඒ සෑම එකක්ම කල්තියා වර්ග කරන්න.

3. කර්ණය සහ අනෙක් පාදයේ මානයන් ඔබ දන්නේ නම් එක් පාදයක දිග ගණනය කරන්න. කැල්කියුලේටරයක් ​​භාවිතා කරමින්, කර්ණය හතරැස් සහ ප්‍රමුඛ පාදය අතර වෙනසෙහි වර්ගමූලය උපුටා ගන්න.

4. ගැටළුව කර්ණය සහ එයට යාබදව ඇති උග්‍ර කෝණ වලින් එකක් නම්, බ්‍රැඩිස් වගු භාවිතා කරන්න. ඒවා කෝණ විශාල සංඛ්‍යාවක් සඳහා ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අගයන් සපයයි. සයින් සහ කෝසයින් ශ්‍රිත සහිත කැල්කියුලේටරයක් ​​මෙන්ම සෘජුකෝණාස්‍රයක පැති සහ කෝණ අතර සම්බන්ධතා විස්තර කරන ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රමේය භාවිතා කරන්න. ත්රිකෝණය .

5. මූලික ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත භාවිතයෙන් කකුල් සොයන්න: a = c*sin?, b = c*cos?, a යනු කෙළවරට විරුද්ධ කකුල කොහෙද?, b යනු කෙළවරට යාබද කකුලද?. එකම ආකාරයෙන් පැතිවල ප්රමාණය ගණනය කරන්න ත්රිකෝණය, කර්ණය සහ තවත් උග්‍ර කෝණයක් ලබා දෙන්නේ නම්: b = c*sin?, a = c*cos?, b යනු කෝණයට ප්‍රතිවිරුද්ධ කකුල කොහෙද?, සහ කකුල කෝණයට යාබදව තිබේද?.

6. අපි කකුල a සහ ඊට යාබදව ඇති උග්‍ර කෝණය ගන්නා විටදී, සෘජුකෝණාස්‍රයක තීව්‍ර කෝණවල එකතුව නොවෙනස්ව 90°ට සමාන වන බව අමතක කරන්න එපා: ? + ? = 90°. කකුලට විරුද්ධ කෝණයේ අගය සොයන්න a: ? = 90° – ?. නැතහොත් ත්‍රිකෝණමිතික අඩු කිරීමේ සූත්‍ර භාවිතා කරන්න: පව්? = sin (90° – ?) = cos ?; tg? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg?.

7. අපට කකුල a සහ ඊට ප්‍රතිවිරුද්ධ උග්‍ර කෝණය තිබේ නම්, බ්‍රැඩිස් වගු, කැල්කියුලේටරයක් ​​සහ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත භාවිතයෙන්, කර්ණය ගණනය කරන්න: c=a*sin?, leg: b=a*tg?.

මාතෘකාව පිළිබඳ වීඩියෝව

සමහර විට පාසැලේදී පැහැදිලි කරන මාතෘකා සෑම විටම පළමු වරට පැහැදිලි නොවිය හැක. මෙය විශේෂයෙන්ම ගණිතය වැනි විෂයයකට අදාළ වේ. නමුත් මෙම විද්‍යාව වීජ ගණිතය සහ ජ්‍යාමිතිය යන කොටස් දෙකකට බෙදීමට පටන් ගත් විට සියල්ල වඩාත් සංකීර්ණ වේ.

සෑම සිසුවෙකුටම ක්ෂේත්‍ර දෙකෙන් එකක හැකියාවක් තිබිය හැකි නමුත් විශේෂයෙන්ම ප්‍රාථමික ශ්‍රේණිවල දී වීජ ගණිතය සහ ජ්‍යාමිතිය යන දෙකෙහිම පදනම අවබෝධ කර ගැනීම වැදගත් වේ. ජ්‍යාමිතියේදී ප්‍රධාන මාතෘකාවක් ලෙස සැලකෙන්නේ ත්‍රිකෝණ පිළිබඳ කොටසයි.

ත්රිකෝණයක මැද රේඛාව සොයා ගන්නේ කෙසේද? අපි එය තේරුම් ගනිමු.

මූලික සංකල්ප

ආරම්භ කිරීමට, ත්රිකෝණයක මැද රේඛාව සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි සොයා ගැනීමට, එය කුමක්දැයි තේරුම් ගැනීම වැදගත්ය.

මැද රේඛාව ඇඳීම සඳහා සීමාවන් නොමැත: ත්රිකෝණය ඕනෑම දෙයක් විය හැකිය (සමද්වීප, සමපාර්ශ්වික, සෘජුකෝණාස්රාකාර). සහ මැද රේඛාවට සම්බන්ධ සියලු ගුණාංග ක්රියාත්මක වනු ඇත.

ත්‍රිකෝණයක මැද රේඛාව යනු එහි පැති 2හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන කොටසකි. එබැවින් ඕනෑම ත්‍රිකෝණයකට එවැනි රේඛා 3ක් තිබිය හැක.

දේපළ

ත්‍රිකෝණයක මැද රේඛාව සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි දැන ගැනීමට, මතක තබා ගත යුතු එහි ගුණාංග නම් කරමු, එසේ නොමැතිනම් ඒවා නොමැතිව මැද රේඛාවේ දිග නම් කිරීමේ අවශ්‍යතාවය පිළිබඳ ගැටළු විසඳීමට නොහැකි වනු ඇත, මන්ද ලබාගත් සියලු දත්ත සනාථ කළ යුතුය. සහ න්‍යායන්, ප්‍රත්‍යක්ෂ හෝ ගුණ සමඟ තර්ක කළා.

මේ අනුව, ප්රශ්නයට පිළිතුරු දීමට: "ABC ත්රිකෝණයේ මැද රේඛාව සොයා ගන්නේ කෙසේද?", එය ත්රිකෝණයේ එක් පැත්තක් දැන ගැනීමට ප්රමාණවත් වේ.

අපි උදාහරණයක් දෙමු

පින්තූරය දෙස බලන්න. එය මැද රේඛාව DE සමඟ ABC ත්‍රිකෝණය පෙන්වයි. එය ත්‍රිකෝණයේ AC පාදයට සමාන්තර බව සලකන්න. එබැවින්, AC හි අගය කුමක් වුවත්, සාමාන්ය රේඛාව DE ප්රමාණයෙන් අඩක් විශාල වනු ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, AC=20 යනු DE=10 යනාදියයි.

මෙම සරල ක්රම වලින් ඔබට ත්රිකෝණයක මැද රේඛාව සොයා ගන්නේ කෙසේද යන්න තේරුම් ගත හැකිය. එහි මූලික ගුණාංග සහ නිර්වචනය මතක තබා ගන්න, එවිට ඔබට කිසි විටෙකත් එහි අර්ථය සොයා ගැනීමට ගැටළු ඇති නොවේ.