Ապացույցով մետրային տարածությունների օրինակներ: Կարո՞ղ եք հնարավորինս պարզ բառերով բացատրել, թե որն է տարածություն-ժամանակի չափումը: Հարցեր ինքնատիրապետման համար

1. Մեկուսացված կետերի տարածություն.

կամայական հավաքածու և

2. Հեռավորությամբ իրական թվերի բազմությունը կազմում է մետրային տարածություն։

3. C իրական թվերի դասավորված խմբերի բազմությունը կոչվում է ծավալային թվաբանական Էվկլիդյան տարածություն։

Ապացույց.

Որպեսզի ապացուցվի, որ տարածությունը մետրիկ է, անհրաժեշտ է ստուգել աքսիոմների բավարարությունը։

Թող , , .

, , …, , այսինքն.

A3. Եկեք ստուգենք, թե արդյոք եռանկյան աքսիոմը համապատասխանում է: Աքսիոմը գրենք ձևով.

Ենթադրելով, որ մենք ստանում ենք և.

Այս անհավասարությունն ապացուցելու համար օգտագործվում է Կոշի–Բունյակովսկի անհավասարությունը։

Իսկապես,

Հետևաբար, եռանկյան աքսիոմը բավարարված է, և տվյալ մետրիկով դիտարկվող բազմությունը մետրիկ տարածություն է։

Ք.Ե.Դ.

4. Իրական թվերի դասավորված խմբերի բազմությունը . Այս մետրային տարածությունը նշվում է .

5. Իրական թվերի դասավորված խմբերի բազմությունը . Այս մետրային տարածությունը նշանակվում է .

Օրինակներ 3, 4 և 5 ցույց են տալիս, որ կետերի նույն պաշարը կարող է չափվել տարբեր ձևերով:

6. Հեռավորություն ունեցող հատվածի վրա սահմանված բոլոր շարունակական իրական ֆունկցիաների բազմությունը: Այս մետրային տարածությունը նշվում է որպես բուն տարածության կետերի բազմություն. Մասնավորապես, փոխարենը գրում են.

7. Through-ը նշանակում է մետրային տարածություն, որի կետերը պայմանին բավարարող իրական թվերի բոլոր հնարավոր հաջորդականություններն են, իսկ մետրիկը սահմանվում է բանաձևով։

Ապացույց.

Քանի որ, դա իմաստ ունի բոլորի համար: Նրանք. Շարքը համընկնում է, եթե և.

Եկեք ցույց տանք, թե ինչն է բավարարում աքսիոմներին։

1, 2 աքսիոմներն ակնհայտ են։ Եռանկյան աքսիոմը կունենա հետևյալ ձևը.

Բոլոր շարքերը կոնվերգենտ են:

Անհավասարությունը ճիշտ է ցանկացածի համար (տես օրինակ 3): Երբ մենք ստանում ենք անհավասարությունը .

Ք.Ե.Դ.

8. Դիտարկենք բոլոր ֆունկցիաների բազմությունը, որոնք շարունակական են միջակայքում և . Նման մետրային տարածությունը նշվում և կոչվում է քառակուսի մետրիկով շարունակական ֆունկցիաների տարածություն։

9. Դիտարկենք իրական թվերի բոլոր սահմանափակ հաջորդականությունների բազմությունը: Եկեք սահմանենք. Այս մետրային տարածությունը նշվում է .

10. Հեռավորությամբ իրական թվերի դասավորված խմբերի բազմությունը, որտեղ ցանկացած հաստատուն թիվ է, մետրիկ տարածություն է, որը նշվում է .

Այս օրինակում դիտարկված մետրիկը վերածվում է Էվկլիդեսյան չափման (տես օրինակ 3) և օրինակ 4-ի չափման՝ . Կարելի է ցույց տալ, որ մետրիկը (տես օրինակ 5) սահմանափակող դեպք է:

11. Դիտարկենք իրական թվերի բոլոր հնարավոր հաջորդականությունները, որոնք բավարարում են պայմանը, որտեղ կա որոշ ֆիքսված թիվ, իսկ հեռավորությունը որոշվում է բանաձևով: Մենք ունենք մետրային տարածություն:

12. Թող լինի կոմպլեքս թվերի բոլոր անվերջ հաջորդականությունների բազմությունը: Եկեք սահմանենք. Մենք ունենք մետրային տարածություն:

Սահմանում: Թող լինի մետրային տարածություն և լինի .-ի ցանկացած ենթաբազմություն: Այնուհետև նույն գործառույթով, որն այժմ սահմանված է, կոչվում է մետրիկ տարածություն ենթատարածությունտարածություն.

Հիմնական հասկացություններ

Մետրիկ տարածությունը նշանակենք .

Սահմանում: Մետրային տարածությանը պատկանող հաջորդականությունը կոչվում է հիմնարար, եթե յուրաքանչյուրը համապատասխանում է այնպիսի թվի, որ անհավասարությունը .

Սահմանում: Մետրային տարածությանը պատկանող հաջորդականությունը կոչվում է կոնվերգենտ, եթե կա այնպիսին, որ յուրաքանչյուրը համապատասխանում է այնպիսի թվի, որ անհավասարությունը պահպանվի բոլորի համար: Հետո այն կոչվում է սահմանհաջորդականություններ.

Թեորեմ. Եթե ​​հաջորդականությունը սահման ունի, ուրեմն այն եզակի է։

Ապացույց.

Իսկապես, եթե և, ապա . Քանի որ և , այնուհետև , այսինքն . .

Թեորեմն ապացուցված է.

Սահմանում: Ամբողջական մետրային տարածությունմետրային տարածությունն է, որում յուրաքանչյուր հիմնարար հաջորդականություն համընկնում է:

Թեորեմ. Չափանիշը՝ որպես երկու արգումենտների ֆունկցիա, շարունակական ֆունկցիա է, այսինքն. եթե և, ապա.

Ապացույց:

Թող , , , .

Եռանկյան անհավասարությամբ.

(1)-ից մենք ստանում ենք.

(2)-ից մենք ստանում ենք.

Որովհետեւ ,

Նշենք.

IN մետրային տարածությունկարելի է դիտարկել տարբեր բազմություններ, կետերի հարևանություններ, սահմանային կետեր և դասական վերլուծության այլ հասկացություններ:

Սահմանում: Տակ շրջապատըկետերը նշանակում է մի շարք, որը պարունակում է շառավղով բաց գնդիկ, որի կենտրոնը գտնվում է կետում, այսինքն.

Սահմանում: Կետը կոչվում է սահմանային կետբազմության համար, եթե կետի ցանկացած հարևանություն պարունակում է առնվազն մեկ կետ, տարբերվում է .

Սահմանում: Կետը կոչվում է ներքին կետսահմանել, եթե այն ներառված է իր որոշ հարևանության հետ միասին:

Սահմանում: Հավաքածուն կոչվում է բացել, եթե այն բաղկացած է միայն ներքին կետերից։ Հավաքածուն կոչվում է փակվածինքնին, եթե այն պարունակում է իր բոլոր սահմանային կետերը:

Մետրային տարածությունը փակ է:

Ենթատարածությունները չեն կարող լինել փակ ենթաբազմություններ:

Եթե ​​ավելացնենք դրա բոլոր սահմանային կետերը, ապա կստանանք փակում:

Սահմանում: Մետրային տարածության մեջ ընկած բազմությունը կոչվում է փակված, եթե այն համընկնում է դրա փակման հետ.

Փակ հավաքածուն պարունակող ամենափոքր փակ հավաքածուն է:

Սահմանում: Թող . Հավաքածուն կոչվում է ամուրմեջ, եթե. Հավաքածուն կոչվում է ամենուր խիտ, Եթե . Հավաքածուն կոչվում է ոչ մի տեղ խիտ ներսում, եթե ինչ էլ լինի գնդակը, կա ևս մեկ գնդակ՝ զերծ սեթերի կետերից։

Սահմանում: Տարածությունը կոչվում է բաժանելի, եթե այն պարունակում է ամենուր խիտ հաշվելի բազմություն:

Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ կարևոր դեր է խաղում թվային տողի ամբողջականության հատկությունը, այն է, որ իրական թվերի յուրաքանչյուր հիմնարար հաջորդականություն համընկնում է որոշակի սահմանի (Կոշիի կոնվերգենցիայի չափանիշ):

Թվային գիծը ծառայում է որպես ամբողջական մետրային տարածության օրինակ:

Մեկուսացված կետերի, , , , , , տարածություններն են ամբողջական մետրային տարածություններ.

Տիեզերք ոչ ամբողջական.

Վերլուծությունը լայնորեն օգտագործում է այսպես կոչված լեմմա դրված հատվածների վրա :

Թող լինի ներդիր հատվածների համակարգ: Այնուհետև մենք ունենք հատվածի համար:

Սա նշանակում է, որ բազմության բոլոր հատվածներն ունեն ընդհանուր կետ:

Մետրիկ տարածությունների տեսության մեջ նմանատիպ դեր է խաղում ներկառուցված գնդակների թեորեմը։

Թեորեմ. Որպեսզի մետրային տարածությունը ամբողջական լինի, անհրաժեշտ և բավարար է, որ դրանում ներկառուցված գնդակների յուրաքանչյուր հաջորդականություն, որոնց շառավիղները ունեն ոչ դատարկ խաչմերուկ:

Ապացույց:

Անհրաժեշտություն:

Թող լինի ամբողջական մետրային տարածություն և թող լինի միմյանց մեջ ներկառուցված փակ գնդակների հաջորդականություն:

Թող լինի շառավիղը և a լինի գնդակի կենտրոնը:

Կենտրոնների հաջորդականությունը հիմնարար է, քանի որ ժամը և ժամը . Քանի որ - ամբողջական, ուրեմն . Եկեք այն ժամանակ դնենք: Իրոք, գնդակը պարունակում է հաջորդականության բոլոր կետերը, հնարավոր բացառությամբ կետերի: Այսպիսով, կետը յուրաքանչյուր գնդակի հպման կետն է (սահմանային կետ): Բայց քանի որ փակ հավաքածու է, ուրեմն .

Համապատասխանություն:

Թող լինի հիմնարար հաջորդականություն: Ապացուցենք, որ դա սահման ունի։ Հիմնարարությունից ելնելով, մենք կարող ենք հաջորդականության այնպիսի կետ ընտրել, որ բոլորի համար . Վերցնենք կետը որպես շառավղով փակ գնդակի կենտրոն: , ներկառուցված միմյանց մեջ, և գնդակը - շառավղով ինչ-որ փակ գունդ պարունակում է որոշակի կետ ըստ ավարտի

Անգլերեն:Վիքիպեդիան ավելի ապահով է դարձնում կայքը։ Դուք օգտագործում եք հին վեբ դիտարկիչ, որն ապագայում չի կարողանա միանալ Վիքիպեդիային: Խնդրում ենք թարմացնել ձեր սարքը կամ կապվել ձեր ՏՏ ադմինիստրատորի հետ:

中文: The以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

Իսպաներեն: Wikipedia-ն ունի այս դիրքը: Օգտագործված է վեբ կայքի նավարկություն, որը չի կարող միացնել Վիքիպեդիան և ապագայում: Փաստացիորեն տրամադրվում է տեղեկատվության ադմինիստրատորի հետ կապվելու համար: Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Ֆրանսերեն: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se conecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Լրացուցիչ տեղեկությունների և տեխնիկայի և անգլիական հասանելիության համար:

日本語: ???す るか情報は以下に英語で提供しています。

Գերմաներեն: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Իտալերեն: Wikipedia-ն ներկայացնում է sito più sicuro: Վեբ զննարկիչի օգտագործմամբ մնացեք վեբ զննարկիչի համար, որպեսզի կարողանաք միացնել Վիքիպեդիան ապագայում: Ըստ բարենպաստության, լրացվում է ձեր տրամադրվածությունը կամ հաղորդակցվում է ձեր ադմինիստրատիվ տեղեկատվության հետ: Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico in English.

Մագյար. Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Սվենսկա: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Updatera din enhet կամ կապի մեջ IT-administrator. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Մենք հեռացնում ենք անապահով TLS արձանագրության տարբերակների աջակցությունը, մասնավորապես՝ TLSv1.0 և TLSv1.1, որոնց վրա հիմնվում է ձեր դիտարկիչի ծրագրակազմը՝ մեր կայքերին միանալու համար: Դա սովորաբար առաջանում է հնացած բրաուզերների կամ հին Android սմարթֆոնների պատճառով: Կամ դա կարող է լինել կորպորատիվ կամ անձնական «Վեբ անվտանգություն» ծրագրաշարի միջամտությունը, որն իրականում նվազեցնում է կապի անվտանգությունը:

Մեր կայքեր մուտք գործելու համար դուք պետք է թարմացնեք ձեր վեբ դիտարկիչը կամ այլ կերպ շտկեք այս խնդիրը: Այս հաղորդագրությունը կմնա մինչև 2020 թվականի հունվարի 1-ը: Այդ ամսաթվից հետո ձեր դիտարկիչը չի կարողանա կապ հաստատել մեր սերվերների հետ:

Մինչ այժմ հեռավորության մասին խոսելիս միշտ նկատի ունեինք էվկլիդեսյան հեռավորությունը։ Այսպիսով, մենք վեկտորների միջև հեռավորությունը սահմանեցինք որպես վեկտորի երկարություն, այն է՝

Սակայն հեռավորությունները կարելի է հաշվարկել այլ կերպ՝ օգտագործելով երկարության տարբեր չափումներ։ Օրինակ, դիտարկենք քաղաքի պարզեցված քարտեզը երկկողմանի փողոցների ուղղանկյուն ցանցի տեսքով: Այնուհետև երկարության համարժեք չափումը կարող է լինել ամենակարճ հեռավորությունը, որը պետք է անցնի մի խաչմերուկից մյուսը հասնելու համար: Երբեմն այս հեռավորությունը կոչվում է Մանհեթեն:

Երկարության բոլոր հնարավոր չափումները թվարկելու փոխարեն, որոնց մեծ մասը մեզ պետք չի լինի, մենք այժմ կքննարկենք այն պահանջները (աքսիոմները), որոնք պետք է բավարարի երկարության կամայական չափումը։ Հեռավորությունների մասին հետագա բոլոր թեորեմները կապացուցվեն այս աքսիոմների շրջանակներում, այսինքն՝ ամենաընդհանուր ձևով։ Մաթեմատիկայում ընդունված է օգտագործել մետրիկ տերմինը «երկարության չափում» արտահայտության փոխարեն։

Չափումներ.

X բազմության մետրիկը d(x, y) իրական ֆունկցիա է, որը սահմանված է x արտադրյալի վրա և բավարարում է հետևյալ աքսիոմները.

բ) ենթադրում է

դ) բոլորի համար (եռանկյունի անհավասարություն):

Մետրիկ տարածությունը զույգ է: Ապացույցը, որ էվկլիդեսյան հեռավորությունը բավարարում է (a), (b) և (c) աքսիոմներին: Եռանկյունի անհավասարություն.

մենք դա ապացուցեցինք 3.1 բաժնում (թեորեմ 3.1.2): Այսպիսով, Էվկլիդեսյան հեռավորությունը մետրիկ է, որն այսուհետ կանվանենք Էվկլիդեսյան մետրիկա։

Եկեք դիտարկենք տարածության մեջ չափումների մեկ կարևոր դաս, այն է՝ -մետրիկայի դասը: -մետրիկը էվկլիդեսյան մետրիկայի ընդհանրացումն է և համընկնում է դրա հետ: Համար p-մետրիկը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

Առանց ապացույցի կթողնենք հետևյալ փաստը.

Ապացույց, որ -մետրիկն իսկապես մետրիկ է, այսինքն. բավարարում է այն աքսիոմները, որոնք նույնպես բաց ենք թողել։ Մասամբ այս հարցը ներառված է վարժություններում։

Նկատի ունեցեք, որ չափորոշիչի սահմանման մեջ մենք չէինք պահանջում, որ x և y տարրերը պատկանեն տարածությանը: Սա մեզ հնարավորություն է տալիս շատերի կողմից սահմանել X բազմությունը, ինչպես նաև դրա տարրերը x, y և այլն: տարբեր ճանապարհներ. Մեր խնդիրն է ցույց տալ, թե ինչ պայմաններում է զուգակցվում ֆրակտալի կոնստրուկցիան: Դա անելու համար դուք պետք է կարողանաք չափել հեռավորությունը կոմպակտ հավաքածուների միջև, այսինքն, դուք պետք է որոշեք համապատասխան չափանիշը:

Բազմությունների տեսությունը մետրային տարածություններում:

Մենք պետք է մեծ քայլ անենք առաջ և ընդլայնենք 3.1 բաժնի բազմությունների տեսական սահմանումները, որոնք ենթադրում էին Էվկլիդեսյան մետրիկա, մինչև կամայական չափումներ: Բաց գնդակը մետրային տարածության մեջ (X, d) սահմանվում է հետևյալ կերպ.

Հաշվի առնելով (3.4)՝ մենք կարող ենք անփոփոխ թողնել հետևյալ հասկացությունների վերը նշված սահմանումները.

Օրինակ, հավաքածուն բաց հավաքածու է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ որևէ մեկի համար կարելի է նշել բաց գնդակ (սահմանման իմաստով (3.4)), որը պարունակվում է E-ում: Ցանկը ներառում է բոլոր սահմանումները առանց փոփոխության, բացառությամբ կոմպակտության հայեցակարգ: Կոմպակտ հավաքածուի խիստ սահմանումը կամայական մետրային տարածության մեջ տրված է հավելվածում: Քանի որ մեզ հիմնականում կհետաքրքրի տարածության ենթաբազմությունների կոմպակտությունը, վերը նշված սահմանումը (փակություն և սահմանափակություն) մնում է ուժի մեջ:

Եթե ​​չափանիշ է X բազմության վրա և մեկ առ մեկ իրական ֆունկցիա է, ապա

կա նաև X-ի չափանիշ: Ա) և (գ) աքսիոմներն ակնհայտորեն բավարարված են: բավարարում է (b) աքսիոմին, քանի որ այն մեկ առ մեկ ֆունկցիա է: Աքսիոմը (դ) կգրվի որպես անհավասարություն.

այսինքն՝ իրական թվերի դասական եռանկյունի անհավասարությունը։ Մետրիկայի օրինակ, որը սահմանվում է այսպես.

X բազմության վրա սահմանված երկու չափումներ համարվում են համարժեք, եթե հնարավոր է նշել, որ.

Կարելի է ցույց տալ, որ ցանկացած երկու մետրիկ տարածության մեջ, որտեղ համարժեք են (գործը ներկայացված է այս բաժնի վերջում վարժություն 3-ում): Մյուս կողմից, R բազմության չափումները համարժեք չեն (վարժություն 4 այս բաժնի վերջում):

Ըստ երևույթին, ֆրակտալների տեսության համար չափումների համարժեքության հիմնական հետևանքն այն է, որ ֆրակտալ չափումը (գլուխ 5) պահպանվում է մետրիկը համարժեքով փոխարինելիս։ Ավելին, եթե բազմությունը բաց է (փակ) մեկ մետրիկում, ապա այն բաց է (փակ) ցանկացած համարժեք չափման դեպքում։ Ավելին, եթե բազմությունը սահմանափակված է մեկ մետրիկով, ապա այն սահմանափակված է ցանկացած համարժեք մետրիկով: Նույնը վերաբերում է կատարյալ, միացված և ամբողջովին ընդհատվող հավաքածուներին:

Կոնվերգենցիա.

Թող լինի մետրիկ X բազմության վրա: X մետրային տարածության կետերի հաջորդականությունը զուգակցվում է d մետրիկի սահմանին, եթե թվերի հաջորդականությունը սովորական իմաստով զուգակցվում է զրոյի, այսինքն՝ եթե.

Այստեղ չափումների համարժեքությունն արտահայտվում է հետևյալ կերպ. Եթե ​​չափիչները համարժեք են, ապա -մետրիկում, եթե և միայն եթե -մետրիկում, քանի որ.

Եթե ​​այո, ապա հակառակը։

Շարունակականություն.

Հաշվի դասընթացում X-ով սահմանված ֆունկցիան կոչվում է շարունակական if կետում:

Մինչ Ռիմանը, Լոբաչևսկին, Էյնշտեյնը և մի քանի այլ ընկերներ, երկրաչափությունը կառուցված էր հարթություններից, անտեսանելի կետերից և երկու ուղղություններով անսահման ուղիղ գծերից: Ժամանակը հպարտորեն սավառնում էր հարթ եռաչափ աշխարհի վրա, որը մեր կողմից ընկալվում էր որպես որոշակի գործընթաց, հարմարության համար քվանտացվում էր սրտի զարկերի և ժամացույցի տկտկոցի: Ամեն ինչ ծանոթ է, պարզ, հասկանալի, ուժերը գործում են, երեք կոորդինատները տարածության մեջ կարող են որոշվել ցանկացած վայրում.

Իդիլիայի վերջը եկավ մաթեմատիկոսների գալուստով, ովքեր ուսումնասիրում էին բազմաչափ տարածություններ իրենց գրչի ծայրին: Նրանք կառուցեցին բարդ, բազմակորդինատիվ առարկաներ և համակարգեր, որոնք անհասկանալի էին մարդու աչքի և զգայարանների համար, օրինակ՝ հայտնի քառաչափ խորանարդը, Մոբիուսի շերտը և այլն։ Աստիճանաբար պարզ դարձավ, որ երևակայական տարածությունը պարտադիր չէ, որ բաղկացած լինի հարթություններից և ուղիղ գծերից, որոնք ունեն ընթացքի ժամանակ, այն կարող է բաղկացած լինել, օրինակ, հարթ թերթից, որը գլորվել է անկանոն ձևի խողովակի մեջ, որի երկարությունը ժամանակն է. առանցք, որը գծված է խողովակի կենտրոնում: Նման «սխալ» տարածության մեջ տեղադրված կետն այլևս երբեք չի ունենա այն երեք կոորդինատները, որոնց մենք սովոր ենք, քանի որ քշված կցորդը չի օգնի չափել դրանք: Տրված կետի դիրքը ոչ էվկլիդեսյան տարածության մեջ պետք է ներկայացվի որպես թվերի ամբողջ զանգված, որը նույնպես անընդհատ փոխվում է որոշակի կանոնների համաձայն։ Ինքնին կանոնները յուրաքանչյուր գեղարվեստական ​​տարածքում տարբեր են: Թվերի նման զանգվածը կոչվում է տենզոր, այն պահում է տվյալներ տարածության կետերի մասին մոտավորապես այն ձևով, որով հայտնի «եղունգների նկարը» պահում է պատկերը. կոորդինատներից մեկը, դրանց համակցությունը տալիս է դրա մեկ պատկերը՝ միակը։

Տենզորները բարդ առարկաներ են, բայց նրանք ունեն մեկ ընդհանուր բան. տենզորը որպես ձողային վեկտորների զանգված կարող է «կտրվել»՝ սահմանելով այսպես կոչված թենզորային մատրիցը՝ երկչափ աղյուսակ, որում սովորական թվերի փոխարեն կա. դրա փոխակերպման կանոնները նկարագրող բանաձևեր են: Մատրիցը պարզ օբյեկտ է, որի հետ գործողությունները լավ զարգացած են եղել դարեր առաջ: Մաթեմատիկոսների ղեկավարները սկսեցին քրտնաջան աշխատել, նրանք փոխարինեցին մի շարք բանաձևեր և կառուցեցին տենսորներ ամենաանպատկերացնելի տարածություններում գտնվող կետերի համար: Ի վերջո, Մինկովսկու, Ռիմանի, Լորենցի և Էյնշտեյնի ջանքերով հայտնաբերվեցին ամենապարզ թենզորները, որոնք բավարար ճշգրտությամբ նկարագրում են մեր ընկալած եռաչափ Էվկլիդեսյան տարածությունը և ժամանակային գործընթացը։ Նրանց մատրիցները կոչվում են մետրիկա:

Հետագայում հասկացվեց, որ վակուումում լույսի արագության կայունության պատճառով, որը հիմք է ընդունվել Էյնշտեյնի կողմից, Մինկովսկու մետրիկը դառնում է անկիրառելի կետերի միջև շատ մեծ հեռավորությունների վրա կամ գրավիտացիոն փոխազդեցության շատ բարձր արագության դեպքում: Մաթեմատիկոսների ղեկավարները նորից սկսեցին աշխատել՝ այժմ դաշինքի մեջ մտնելով ֆիզիկոսների հետ, ովքեր փնտրում էին տեսությունների փորձնական հաստատում։ Այսպես, օրինակ, հայտնվեց Շվարցշիլդի մետրիկը, որը նկարագրում է մեր աշխարհը երկչափ ուղղանկյուն հարթության և երկչափ գնդիկի թենզորների մատրիցների բազմապատկման միջոցով (դա նույնպես ծանոթ շրջան է, բայց ձևի տեսքով. ամբողջ տարածքը): Շվարցշիլդի մետրիկը թույլ տվեց նկարագրել, թե ինչու ենք մենք երկնային ոլորտում առարկաների շարժումը ընկալում այս կոնկրետ ձևով և ոչ այլ կերպ: Դրանում ժամանակը հաստատուն արժեք է(!), որը ներկայացվում է առանձին յուրաքանչյուր հաշվարկի մեջ, և կետից մինչև դիտորդ հեռավորությունը իրականում մի տեսակ վեկտոր է, որը նկարագրում է տարածության (ժամանակի) չափը երկու ոչ թե առարկաների, այլ իրադարձությունների միջև: