Esempi di spazi metrici con dimostrazione. Puoi spiegare nel modo più semplice possibile cos'è la metrica spazio-temporale? Domande per l'autocontrollo
1. Spazio dei punti isolati.
Insieme arbitrario e
2. L'insieme dei numeri reali con distanza forma uno spazio metrico.
3. L'insieme dei gruppi ordinati di numeri reali c è chiamato spazio euclideo aritmetico dimensionale.
Prova.
Per dimostrare che uno spazio è metrico è necessario verificare la soddisfacibilità degli assiomi.
Permettere , , .
, , …, , cioè. .
A3. Controlliamo se vale l'assioma del triangolo. Scriviamo l'assioma nella forma:
Supponendo , , otteniamo e .
Per dimostrare questa disuguaglianza, viene utilizzata la disuguaglianza di Cauchy-Bunyakovsky.
Veramente,
Di conseguenza, l'assioma del triangolo è soddisfatto e l'insieme in esame con una data metrica è uno spazio metrico.
Q.E.D.
4. L'insieme dei gruppi ordinati di numeri reali con . Questo spazio metrico è indicato con .
5. L'insieme dei gruppi ordinati di numeri reali con . Questo spazio metrico è indicato con .
Gli esempi 3, 4 e 5 mostrano che lo stesso stock di punti può essere misurato in modi diversi.
6. L'insieme di tutte le funzioni reali continue definite su un segmento con distanza . Questo spazio metrico è indicato come l'insieme dei punti nello spazio stesso: . In particolare, scrivono invece di .
7. Attraverso denota lo spazio metrico, i cui punti sono tutte le possibili sequenze di numeri reali che soddisfano la condizione, e la metrica è definita dalla formula.
Prova.
Dal momento che ha senso per tutti. Quelli. la serie converge se e .
Mostriamo cosa soddisfa gli assiomi.
Gli assiomi 1, 2 sono ovvi. L’assioma del triangolo assumerà la forma:
Tutte le serie sono convergenti.
La disuguaglianza è vera per chiunque (vedi esempio 3). Quando otteniamo la disuguaglianza per .
Q.E.D.
8. Considera l'insieme di tutte le funzioni continue sull'intervallo e . Tale spazio metrico è denotato e chiamato spazio delle funzioni continue con metrica quadratica.
9. Considera l'insieme di tutte le successioni limitate di numeri reali. Definiamo. Questo spazio metrico è indicato con .
10. L'insieme dei gruppi ordinati di numeri reali con distanza , dove è qualsiasi numero fisso, è uno spazio metrico, indicato con .
La metrica considerata in questo esempio si trasforma nella metrica euclidea per (vedi esempio 3) e nella metrica dell'esempio 4 per . Si può dimostrare che la metrica (vedi esempio 5) è un caso limite.
11. Considera tutte le possibili sequenze di numeri reali che soddisfano la condizione , dove c'è un numero fisso e la distanza è determinata dalla formula . Abbiamo uno spazio metrico.
12. Sia l'insieme di tutte le successioni infinite di numeri complessi. Definiamo. Abbiamo uno spazio metrico.
Definizione: Sia uno spazio metrico e un qualsiasi sottoinsieme di . Quindi con la stessa funzione, per la quale ora è definita, viene chiamato uno spazio metrico sottospazio spazio.
Concetti basilari
Indichiamo lo spazio metrico con .
Definizione: Viene chiamata una successione appartenente ad uno spazio metrico fondamentale, se ciascuno corrisponde a un numero tale che la disuguaglianza .
Definizione: Viene chiamata una successione appartenente ad uno spazio metrico convergente, se esiste tale che ciascuno corrisponde a un numero tale che la disuguaglianza vale per tutti. Poi si chiama limite sequenze.
Teorema: Se una sequenza ha un limite allora è unica.
Prova.
Infatti, se e , allora . Da e , allora , cioè .
Il teorema è stato dimostrato.
Definizione: Spazio metrico completoè lo spazio metrico in cui converge ciascuna sequenza fondamentale.
Teorema: La metrica in funzione di due argomenti è una funzione continua, cioè se e, allora.
Prova:
Permettere , , , .
Per la disuguaglianza triangolare:
Dalla (1) otteniamo:
Dalla (2) otteniamo:
Perché ,
Indichiamo .
IN spazio metrico si possono considerare vari insiemi, intorni di punti, punti limite e altri concetti dell'analisi classica.
Definizione: Sotto dintorni punti significa un insieme contenente una palla aperta di raggio con centro nel punto, cioè
Definizione: Il punto è chiamato punto limite per un insieme se qualsiasi intorno di un punto contiene almeno un punto da , diverso da .
Definizione: Il punto è chiamato punto interno impostato se è incluso insieme ad alcuni dei suoi dintorni.
Definizione: Il set viene chiamato aprire, se è costituito solo da punti interni. Il set viene chiamato Chiuso in sé se contiene tutti i suoi punti limite.
Lo spazio metrico è chiuso.
I sottospazi non possono essere sottoinsiemi chiusi.
Se aggiungiamo tutti i suoi punti limite, otteniamo la chiusura.
Definizione: Si dice un insieme che giace in uno spazio metrico Chiuso, se coincide con la sua chiusura: .
Un insieme chiuso è il più piccolo insieme chiuso contenente .
Definizione: Permettere . Il set viene chiamato stretto dentro, se. Il set viene chiamato denso ovunque, Se . Il set viene chiamato da nessuna parte denso, se qualunque sia la pallina, c'è un'altra pallina libera dai punti del set.
Definizione: Uno spazio si dice separabile se contiene un insieme numerabile ovunque denso.
Nell'analisi matematica un ruolo importante è giocato dalla proprietà di completezza della retta numerica, cioè dal fatto che ogni sequenza fondamentale di numeri reali converge ad un certo limite (criterio di convergenza di Cauchy).
La linea numerica serve come esempio di uno spazio metrico completo.
Gli spazi dei punti isolati, , , , , , lo sono spazi metrici completi.
Spazio non completo.
L'analisi utilizza ampiamente il cosiddetto lemma sui segmenti nidificati :
Sia un sistema di segmenti nidificati. Quindi per il segmento abbiamo .
Ciò significa che tutti i segmenti dell'insieme hanno un punto comune.
Nella teoria degli spazi metrici, un ruolo simile è giocato dal teorema sulle sfere incastonate.
Teorema: Affinché uno spazio metrico sia completo è necessario e sufficiente che in esso ogni sequenza di palline incastrate tra loro, i cui raggi, abbiano un'intersezione non vuota.
Prova:
Necessità:
Sia uno spazio metrico completo e sia una sequenza di palline chiuse incastrate l'una nell'altra.
Sia il raggio e a il centro della palla.
La sequenza dei centri è fondamentale, poiché a , e a . Da allora - completa, quindi . Mettiamola allora. La pallina infatti contiene tutti i punti della sequenza, con la possibile eccezione dei punti . Pertanto il punto è il punto di tocco (punto limite) per ciascuna palla. Ma poiché è un insieme chiuso, allora .
Adeguatezza:
Sia una sequenza fondamentale. Dimostriamo che ha un limite. Per ragioni di fondamentalità, possiamo scegliere un punto nella sequenza tale che per tutti . Prendiamo il punto come centro di una palla chiusa di raggio. Denotiamo questa palla . , incastonati l'uno nell'altro, e la palla - una palla chiusa di raggio contiene un certo punto per completamento
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Finora quando si parlava di distanza si intendeva sempre la distanza euclidea. Quindi, abbiamo definito la distanza tra i vettori come la lunghezza del vettore, vale a dire:
Ma le distanze possono essere calcolate in un altro modo, utilizzando diverse misure di lunghezza. Ad esempio, consideriamo una mappa cittadina semplificata sotto forma di una griglia rettangolare di strade a doppio senso. Quindi una misura adeguata di lunghezza può essere la distanza più breve che deve essere coperta per andare da un incrocio all'altro. A volte questa distanza si chiama Manhattan.
Invece di elencare tutte le possibili misure di lunghezza, molte delle quali non ci serviranno, considereremo ora i requisiti (assiomi) che una misura di lunghezza arbitraria deve soddisfare. Tutti i successivi teoremi sulle distanze verranno dimostrati nell'ambito di questi assiomi, cioè nella forma più generale. In matematica è consuetudine usare il termine metrica invece dell’espressione “misura di lunghezza”.
Metrica.
Una metrica su un insieme X è una funzione reale d(x, y) definita sul prodotto x e che soddisfa i seguenti assiomi:
b) comporta
d) per tutti (disuguaglianza triangolare).
Uno spazio metrico è una coppia La prova che la distanza euclidea soddisfa gli assiomi (a), (b) e (c) è banale. Disuguaglianza del triangolo:
lo abbiamo dimostrato nella sezione 3.1 (Teorema 3.1.2). La distanza euclidea è quindi una metrica, che d'ora in poi chiameremo metrica euclidea.
Consideriamo un'importante classe di metriche nello spazio, vale a dire la classe delle -metriche. -metric è una generalizzazione della metrica euclidea e coincide con essa per . Per p-metrica è definita come segue:
Lasceremo senza prova il seguente fatto:
Prova che la -metrica è effettivamente una metrica, cioè soddisfa gli assiomi che anche noi omettiamo. Parzialmente questa domanda è inclusa negli esercizi.
Si noti che nella definizione della metrica non abbiamo richiesto che gli elementi xey appartenessero allo spazio. Questo ci dà l'opportunità di definire in molti l'insieme X, così come i suoi elementi x, y, ecc diversi modi. Il nostro compito è indicare in quali condizioni converge la costruzione frattale. Per fare ciò, devi essere in grado di misurare la distanza tra insiemi compatti, ovvero devi determinare la metrica appropriata.
Teoria degli insiemi in spazi metrici.
Dobbiamo fare un grande passo avanti ed estendere le definizioni della teoria degli insiemi della Sezione 3.1, che implicavano la metrica euclidea, a metriche arbitrarie. Una palla aperta in uno spazio metrico (X, d) è definita come segue:
Tenendo conto della (3.4), possiamo lasciare invariate le definizioni sopra riportate dei seguenti concetti:
Ad esempio, un insieme è un insieme aperto se e solo se per chiunque si può specificare una palla aperta (nel senso della definizione (3.4)), che è contenuta in E. L'elenco include tutte le definizioni senza modifiche, ad eccezione di concetto di compattezza. Una definizione rigorosa di insieme compatto in uno spazio metrico arbitrario è fornita nell'appendice. Poiché ci interesserà principalmente la compattezza dei sottoinsiemi dello spazio, resta in vigore la definizione data sopra (chiusura e limitatezza).
Se è una metrica su un insieme X ed è una funzione reale biunivoca, allora
esiste anche una metrica su X. Gli assiomi (a) e (c) sono ovviamente soddisfatti. soddisfa l'assioma (b), poiché è una funzione biunivoca. L’assioma (d) verrà scritto come una disuguaglianza:
cioè la classica disuguaglianza triangolare per i numeri reali. Un esempio di metrica definita in questo modo:
Due metriche definite su un insieme X si dicono equivalenti se è possibile specificare che:
Si può dimostrare che due metriche qualsiasi nello spazio in cui sono equivalenti (il caso è presentato nell'Esercizio 3 alla fine di questa sezione). D'altra parte, le metriche sull'insieme R non sono equivalenti (Esercizio 4 alla fine di questa sezione).
A quanto pare, la principale conseguenza dell'equivalenza delle metriche per la teoria dei frattali è il fatto che la dimensione frattale (Capitolo 5) viene preservata quando si sostituisce la metrica con una equivalente. Inoltre, se un insieme è aperto (chiuso) in una metrica, allora è aperto (chiuso) in qualsiasi metrica equivalente. Inoltre, se un insieme è limitato in una metrica, allora sarà limitato in qualsiasi metrica equivalente. Lo stesso vale per gli insiemi perfetti, connessi e completamente discontinui.
Convergenza.
Sia una metrica su un insieme X. Una successione di punti di uno spazio metrico X converge a un limite nella metrica d se la successione di numeri converge a zero nel senso usuale, cioè se:
Qui l'equivalenza delle metriche è espressa come segue. Se le metriche sono equivalenti, allora nella -metrica se e solo se nella -metrica, poiché:
Se è così, viceversa.
Continuità.
In un corso di calcolo infinitesimale una funzione definita su X si dice continua nel punto se.
Prima di Riemann, Lobachevskij, Einstein e alcuni altri compagni, la geometria era costruita da piani, punti invisibili e linee rette infinite in entrambe le direzioni. Il tempo aleggiava orgogliosamente sul piatto mondo tridimensionale, percepito da noi come un certo processo, quantizzato per comodità in battiti cardiaci e ticchettio di un orologio. Tutto è familiare, semplice, comprensibile, le forze agiscono, tre coordinate nello spazio possono essere determinate ovunque: basta inserire un piolo.
La fine dell’idillio arrivò con l’avvento dei matematici che esploravano gli spazi multidimensionali con la punta della penna. Costruirono oggetti e sistemi complessi e multi-coordinati che erano inconcepibili per l'occhio e i sensi umani, ad esempio il famoso cubo quadridimensionale, il nastro di Möbius e così via. A poco a poco divenne chiaro che lo spazio immaginario non deve necessariamente consistere di piani e linee rette con un tempo di processo; può consistere, ad esempio, in un foglio piatto arrotolato in un tubo di forma irregolare, dove il tempo è la lunghezza del asse disegnato al centro del tubo. Un punto posto in uno spazio così “sbagliato” non avrà mai più le tre coordinate a cui siamo abituati, poiché un picchetto piantato non aiuterà a misurarle. La posizione di un dato punto nello spazio non euclideo dovrà essere rappresentata come un'intera serie di numeri, che cambia continuamente anche secondo determinate regole. Le regole stesse in ogni spazio immaginario sono diverse. Una tale serie di numeri è chiamata tensore; memorizza i dati sui punti nello spazio approssimativamente nella forma in cui il noto giocattolo "immagine dei chiodi" memorizza un'immagine: la lunghezza di ciascuna asta è un vettore che punta a un punto lungo una delle coordinate, la loro combinazione ne dà un'immagine, l'unica e unica.
I tensori sono oggetti complessi, ma hanno una cosa in comune: un tensore come matrice di bastoncelli può essere "tagliato" definendo la cosiddetta matrice tensore, una tabella bidimensionale in cui, invece dei numeri ordinari, ci sono sono formule che descrivono le regole per la sua trasformazione. Una matrice è un oggetto semplice, le cui operazioni erano ben sviluppate secoli fa. I capi dei matematici cominciarono a lavorare sodo, sostituirono una varietà di formule e costruirono tensori per punti negli spazi più inimmaginabili. Alla fine, grazie agli sforzi di Minkowski, Riemann, Lorentz ed Einstein, furono scoperti i tensori più semplici che descrivono con sufficiente precisione lo spazio euclideo tridimensionale e il processo temporale che percepiamo. Le loro matrici sono chiamate metriche.
Successivamente si capì che a causa della costanza della velocità della luce nel vuoto, presa come base da Einstein, la metrica di Minkowski diventa inapplicabile a distanze molto grandi tra punti, o a velocità di interazione gravitazionale molto elevate. I capi dei matematici ricominciarono a lavorare, ora in alleanza con i fisici che cercavano la conferma sperimentale delle teorie. È così che è apparsa, ad esempio, la metrica di Schwarzschild, che descrive il nostro mondo attraverso la moltiplicazione di matrici di tensori di un piano rettangolare bidimensionale e di una sfera bidimensionale (è anche un cerchio familiare, ma sotto forma di intero spazio). La metrica di Schwarzschild ha permesso di descrivere perché percepiamo il movimento degli oggetti nella sfera celeste in questo modo particolare e non altrimenti. Il tempo in esso è un valore costante(!), introdotto separatamente in ciascun calcolo, e la distanza da un punto all'osservatore è in realtà una sorta di vettore che descrive l'estensione dello spazio (tempo) tra due non oggetti, ma eventi.