Vetitë e rregullta të trapezit. Trapezoid. Vetitë e një trapezi. III. Shpjegimi i materialit të ri

30.07.2023

Përkufizimi

Trapezoidështë një katërkëndësh $A B C D$, dy brinjët e të cilit janë paralele dhe dy të tjerat nuk janë paralele (Fig. 1).

Brinjët paralele të një trapezi ($B C$ dhe $A D$) quhen bazat trapezoide, jo paralel ($A B$ dhe $C D$) - anët. Një pingul ($B H$) i tërhequr nga çdo pikë e një baze në një bazë tjetër ose shtrirja e saj quhet lartësia e trapezit.

Vetia e trapezit

Shuma e këndeve ngjitur ngjitur me anën anësore është $180^(\circ)$:

$\këndi A+\këndi B=180^(\circ), \këndi C+\këndi D=180^(\circ)$ (Figura 1)

Segmenti që lidh mesin e anëve anësore të trapezit quhet vija e mesme e trapezit. Vija e mesme e trapezit është paralele me bazat dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre:

$$M N=\frac(A D+B C)(2)$$

Midis të gjithë trapezoidëve, ju mund të zgjidhni dy klasa të veçanta të trapezoidëve: trapezoidë drejtkëndëshe dhe izosceles.

Përkufizimi

Drejtkëndëshe quhet trapez në të cilin njëri nga këndet është i drejtë.

Izolaterale quhet trapez, brinjët e të cilit janë të barabarta.

Vetitë e një trapezi izoscelular

Në një trapezoid izoscelular, këndet në bazë janë të barabartë në çift me $\kënd A=\këndi D, \këndi B=\këndi C$.
Diagonalet e një trapezi izoscelular janë të barabarta me $A C=B D$.

Shenjat e një trapezi isosceles

Nëse këndet në bazën e një trapezi janë të barabartë, atëherë trapezi është dykëndor.
Nëse diagonalet e një trapezi janë të barabarta, atëherë ai është dykëndor.

Zona e trapezit:

$$S=\frac(a+b)(2) \cdot h$$

ku $a$ dhe $b$ janë bazat e trapezit dhe $h$ është lartësia e tij.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve

Shembull

Ushtrimi. Lartësia e një trapezi të njëtrajtshëm të tërhequr nga një kënd i mpirë e ndan bazën në segmente 5 cm dhe 11 cm të gjata Gjeni perimetrin e trapezit nëse lartësia e tij është 12 cm.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 3)

$ABCD$ - trapezoid isosceles, $BH$ - lartësia, $BH = 12$ cm, $AH = 5$ cm, $HD = 11$ cm.

Konsideroni $\Delta A B H$, është drejtkëndëshe ($\kënd H=90^(\circ)$). Sipas teoremës së Pitagorës

$$A B=\sqrt(B H^(2)+A H^(2))$$

duke zëvendësuar të dhënat origjinale, marrim

$A B=\sqrt(12^(2)+5^(2))$

$A B=\sqrt(144+25)=\sqrt(169) \Djathtas shigjeta A B=13$ (cm)

Meqenëse trapezi $A B C D$ është dykëndor, anët e tij janë të barabarta: $A B=C D=13$ cm Baza më e madhe e trapezit është e barabartë me: $A D=A H+H D$, $A D=5+11=16. $ (cm). Baza më e vogël e trapezit do të jetë e barabartë me: $B C=A D-2 A H, B C=16-2 \cdot 5=6$ (cm). Perimetri i një trapezi është:

$P_(A B C D)=A B+B C+C D+A D$

$P_(A B C D)=13+6+13+16$

$P_(A B C D)=48$ (cm)

Përgjigju.$P_(A B C D)=48$ cm

Shembull

Ushtrimi. Në një trapez drejtkëndor, dy brinjët më të vogla janë 2 dm, dhe një nga këndet është $45^(\circ)$. Gjeni zonën e trapezit.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 4)

$K L M N$ - trapez drejtkëndor, $K L=L M=2$ dm, $L K \perp K N$, $\kënd M L K=45^(\rreth)$. Nga kulmi $M$ e ulim lartësinë $MP$ në bazën $KN$. Konsideroni $\Delta M N P$, është drejtkëndëshe ($\këndi M P N=90^(\circ)$). Meqenëse $\këndi M L K=45^(\circ)$, atëherë

$\këndi N M P=180^(\circ)-\këndi M P N-\këndi M L K$

$\këndi N M P=180^(\circ)-90^(\circ)-45^(\circ)=45^(\circ)$

Kështu, $\këndi M L K=\këndi N M P$ dhe $\Delta M N P$ është gjithashtu dykëndësh. Prandaj, $M P=P N$. Meqenëse $L K=M P=2$ dm, prandaj $P N=2$ dm. Baza më e madhe $K N=K P+P N$, pasi $L M=K P$, marrim $K N=2+2=4$ (dm).

Ne llogarisim sipërfaqen e trapezit duke përdorur formulën:

$$S=\frac(a+b)(2) \cdot h$$

Në rastin tonë, ajo do të marrë formën:

$$S_(K L M N)=\frac(L M+K N)(2) \cdot M P$$

Duke zëvendësuar vlerat e njohura, marrim

$S_(K L M N)=\frac(2+4)(2) \cdot 2=6$ (dm 2)

Përgjigju.$S_(K L M N)=6$ dm 2

Le të shqyrtojmë problemet themelore në trekëndësha të ngjashëm në një trapezoid.

I. Pika e prerjes së diagonaleve të një trapezi është kulmi i trekëndëshave të ngjashëm.

Konsideroni trekëndëshat AOD dhe COB.

Vizualizimi e bën më të lehtë zgjidhjen e problemeve të tilla. Prandaj, ne theksojmë trekëndësha të ngjashëm në një trapezoid me ngjyra të ndryshme.

1) ∠AOD= ∠ COB (si vertikale);

2)∠DAO= ∠ BCO (si e brendshme në mënyrë tërthore e shtrirë në AD ∥ BC dhe sekant AC).

Prandaj, trekëndëshat AOD dhe COB janë të ngjashëm ().

Detyrë.

Njëra nga diagonalet e trapezit është e barabartë me 28 cm dhe diagonalen tjetër e ndan në segmente me gjatësi 5 cm dhe 9 cm Gjeni segmentet në të cilat pika e kryqëzimit të diagonaleve ndan diagonalen e parë.

AO=9 cm, CO=5 cm, BD=28 cm BO =?, DO- ?

Vërtetojmë ngjashmërinë e trekëndëshave AOD dhe COB. Nga këtu

Zgjidhni marrëdhëniet e kërkuara:

Le të jetë BO=x cm, pastaj DO=28-x cm.

BO=10 cm, DO=28-10=18 cm.

Përgjigje: 10 cm, 18 cm.

Detyrë

Dihet se O është pika e prerjes së diagonaleve të trapezit ABCD (AD ∥ BC). Gjeni gjatësinë e segmentit BO nëse AO:OC=7:6 dhe BD=39 cm.

Në mënyrë të ngjashme, vërtetojmë ngjashmërinë e trekëndëshave AOD dhe COB dhe

Le të BO=x cm, pastaj DO=39-x cm Kështu,

Përgjigje: 18 cm.

II. Zgjatimet e anëve të trapezit priten në një pikë.

Në mënyrë të ngjashme, merrni parasysh trekëndëshat AFD dhe BFC:

1) ∠ F - e përgjithshme;

2)∠ DAF=∠ CBF (si kënde përkatëse në BC ∥ AD dhe AF sekante).

Prandaj, trekëndëshat AFD dhe BFC janë të ngjashëm (në dy kënde).

Nga ngjashmëria e trekëndëshave rezulton se brinjët përkatëse janë proporcionale:

Në materialet e testeve dhe provimeve të ndryshme, ato gjenden shumë shpesh problemet e trapezit, zgjidhja e të cilave kërkon njohuri për vetitë e tij.

Le të zbulojmë se cilat veti interesante dhe të dobishme ka një trapezoid për zgjidhjen e problemeve.

Pas studimit të pronës vija e mesme trapezoidët mund të formulohen dhe vërtetohen veti e një segmenti që lidh mesin e diagonaleve të një trapezi. Segmenti që lidh mesin e diagonaleve të një trapezi është i barabartë me gjysmën e diferencës së bazave.

MO është vija e mesme e trekëndëshit ABC dhe është e barabartë me 1/2BC (Fig. 1).

MQ është vija e mesme e trekëndëshit ABD dhe është e barabartë me 1/2AD.

Pastaj OQ = MQ – MO, pra OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Kur zgjidhni shumë probleme në një trapezoid, një nga teknikat kryesore është të vizatoni dy lartësi në të.

Merrni parasysh sa vijon detyrë.

Le të jetë BT lartësia e një trapezi dykëndor ABCD me baza BC dhe AD, me BC = a, AD = b. Gjeni gjatësitë e segmenteve AT dhe TD.

Zgjidhje.

Zgjidhja e problemit nuk është e vështirë (Fig. 2), por ju lejon të merrni veti e lartësisë së një trapezi izoscelor të tërhequr nga kulmi i një këndi të mpirë: lartësia e një trapezi izoscelular të tërhequr nga kulmi i një këndi të mpirë e ndan bazën më të madhe në dy segmente, më i vogli prej të cilëve është i barabartë me gjysmën e diferencës së bazave dhe më i madhi është i barabartë me gjysmën e shumës së bazave. .

Kur studioni vetitë e një trapezi, duhet t'i kushtoni vëmendje një vetie të tillë si ngjashmëria. Kështu, për shembull, diagonalet e një trapezi e ndajnë atë në katër trekëndësha, dhe trekëndëshat ngjitur me bazat janë të ngjashëm, dhe trekëndëshat ngjitur me anët janë të barabartë në madhësi. Kjo deklaratë mund të quhet veti e trekëndëshave në të cilët ndahet një trapez me diagonalet e tij. Për më tepër, pjesa e parë e pohimit mund të vërtetohet shumë lehtë përmes shenjës së ngjashmërisë së trekëndëshave në dy kënde. Le të provojmë pjesa e dytë e deklaratës.

Trekëndëshat BOC dhe COD kanë një lartësi të përbashkët (Fig. 3), nëse marrim si bazë segmentet BO dhe OD. Atëherë S BOC /S COD = BO/OD = k. Prandaj, S COD = 1/k · S BOC .

Në mënyrë të ngjashme, trekëndëshat BOC dhe AOB kanë një lartësi të përbashkët nëse marrim si bazë segmentet CO dhe OA. Atëherë S BOC /S AOB = CO/OA = k dhe S A O B = 1/k · S BOC .

Nga këto dy fjali rrjedh se S COD = S A O B.

Le të mos ndalemi në deklaratën e formuluar, por të gjejmë raporti ndërmjet zonave të trekëndëshave në të cilët ndahet trapezi me diagonalet e tij. Për ta bërë këtë, le të zgjidhim problemin e mëposhtëm.

Le të jetë pika O pika e prerjes së diagonaleve të trapezit ABCD me bazat BC dhe AD. Dihet se sipërfaqet e trekëndëshave BOC dhe AOD janë përkatësisht të barabarta me S 1 dhe S 2. Gjeni zonën e trapezit.

Meqenëse S COD = S A O B, atëherë S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

Nga ngjashmëria e trekëndëshave BOC dhe AOD del se BO/OD = √(S1/S 2).

Prandaj, S₁/S COD = BO/OD = √(S1/S 2), që do të thotë S COD = √(S 1 · S 2).

Pastaj S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

Duke përdorur ngjashmërinë vërtetohet se vetia e një segmenti që kalon nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve të një trapezi paralel me bazat.

Le të shqyrtojmë detyrë:

Le të jetë pika O pika e prerjes së diagonaleve të trapezit ABCD me bazat BC dhe AD. BC = a, AD = b. Gjeni gjatësinë e segmentit PK që kalon në pikën e prerjes së diagonaleve të trapezit paralel me bazat. Cilat segmente ndahet PK me pikën O (Fig. 4)?

Nga ngjashmëria e trekëndëshave AOD dhe BOC del se AO/OC = AD/BC = b/a.

Nga ngjashmëria e trekëndëshave AOP dhe ACB del se AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

Prandaj PO = BC b / (a + b) = ab / (a + b).

Në mënyrë të ngjashme, nga ngjashmëria e trekëndëshave DOK dhe DBC, del se OK = ab/(a + b).

Prandaj PO = OK dhe PK = 2ab/(a + b).

Pra, vetia e provuar mund të formulohet si më poshtë: një segment paralel me bazat e trapezit, që kalon nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve dhe lidh dy pika në anët anësore, ndahet në gjysmë me pikën e kryqëzimit të diagonale. Gjatësia e saj është mesatarja harmonike e bazave të trapezit.

Në vijim pronë me katër pikë: në një trapez, pika e prerjes së diagonaleve, pika e kryqëzimit të vazhdimit të brinjëve, mesi i bazave të trapezit shtrihen në të njëjtën vijë.

Trekëndëshat BSC dhe ASD janë të ngjashëm (Fig. 5) dhe në secilën prej tyre medianat ST dhe SG ndajnë këndin e kulmit S në pjesë të barabarta. Prandaj, pikat S, T dhe G shtrihen në të njëjtën linjë.

Në të njëjtën mënyrë, pikat T, O dhe G janë të vendosura në të njëjtën linjë. Kjo rrjedh nga ngjashmëria e trekëndëshave BOC dhe AOD.

Kjo do të thotë që të katër pikat S, T, O dhe G shtrihen në të njëjtën linjë.

Ju gjithashtu mund të gjeni gjatësinë e segmentit që ndan trapezin në dy të ngjashme.

Nëse trapezoidët ALFD dhe LBCF janë të ngjashëm (Fig. 6), atëherë a/LF = LF/b.

Prandaj LF = √(ab).

Kështu, një segment që ndan një trapezoid në dy trapezoide të ngjashme ka një gjatësi të barabartë me mesataren gjeometrike të gjatësisë së bazave.

Le të provojmë veti e një segmenti që ndan një trapez në dy zona të barabarta.

Le të jetë zona e trapezit S (Fig. 7). h 1 dhe h 2 janë pjesë të lartësisë, dhe x është gjatësia e segmentit të dëshiruar.

Atëherë S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 dhe

S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Le të krijojmë një sistem

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.

Duke zgjidhur këtë sistem, marrim x = √(1/2(a 2 + b 2)).

Kështu, gjatësia e segmentit që ndan trapezin në dy të barabarta është e barabartë me √((a 2 + b 2)/2)(katrori mesatar i gjatësisë së bazës).

Pra, për trapezin ABCD me baza AD dhe BC (BC = a, AD = b) vërtetuam se segmenti:

1) MN, që lidh mesin e anëve anësore të trapezit, është paralel me bazat dhe është i barabartë me gjysmën e shumës së tyre (mesatarja aritmetike e numrave a dhe b);

2) PK që kalon nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve të trapezit paralel me bazat është e barabartë me
2ab/(a + b) (mesatarja harmonike e numrave a dhe b);

3) LF, e cila ndan një trapezoid në dy trapezoide të ngjashme, ka një gjatësi të barabartë me mesataren gjeometrike të numrave a dhe b, √(ab);

4) EH, duke e ndarë një trapez në dy të barabartë, ka gjatësinë √((a 2 + b 2)/2) (rrënja katrore mesatare e numrave a dhe b).

Shenja dhe vetia e një trapezi të mbishkruar dhe të rrethuar.

Vetia e një trapezi të mbishkruar: një trapez mund të brendashkohet në një rreth nëse dhe vetëm nëse është dykëndor.

Vetitë e trapezit të përshkruar. Një trapez mund të përshkruhet rreth një rrethi nëse dhe vetëm nëse shuma e gjatësive të bazave është e barabartë me shumën e gjatësive të anëve.

Pasojat e dobishme të faktit që një rreth është gdhendur në një trapez:

1. Lartësia e trapezit të rrethuar është e barabartë me dy rreze të rrethit të brendashkruar.

2. Ana e trapezit të rrethuar është e dukshme nga qendra e rrethit të brendashkruar në një kënd të drejtë.

E para është e qartë. Për të vërtetuar përfundimin e dytë, është e nevojshme të përcaktohet se këndi COD është i drejtë, gjë që gjithashtu nuk është e vështirë. Por njohja e kësaj përfundimi ju lejon të përdorni një trekëndësh kënddrejtë kur zgjidhni probleme.

Le të specifikojmë konkluzionet për një trapezoid të rrethuar izosceles:

Lartësia e një trapezi të rrethuar izoscelular është mesatarja gjeometrike e bazave të trapezit
h = 2r = √(ab).

Karakteristikat e konsideruara do t'ju lejojnë të kuptoni më thellë trapezin dhe të siguroni sukses në zgjidhjen e problemeve duke përdorur vetitë e tij.

Ende keni pyetje? Nuk dini si të zgjidhni problemet e trapezit?
Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.
Mësimi i parë është falas!

në faqen e internetit, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Përkufizime të ngjashme

Elementet trapezoide

Brinjët paralele quhen arsye trapezoide.
Dy anët e tjera quhen anët.
Segmenti që lidh mesin e anëve quhet vija e mesme e trapezit.
Distanca ndërmjet bazave quhet lartësia e trapezit.

Llojet e trapezoideve

Trapez drejtkëndor

Trapezoid isosceles

Një trapez anët e të cilit janë të barabarta quhet izosceles ose izosceles.
Një trapez që ka kënde të drejta në anët e tij quhet drejtkëndëshe.

Vetitë e përgjithshme

Vija e mesme e trapezit është paralele me bazat dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre.
Segmenti që lidh mesin e diagonaleve është i barabartë me gjysmën e diferencës së bazave.
Vijat paralele që kryqëzojnë anët e një këndi presin segmente proporcionale nga anët e këndit.
Një rreth mund të futet në një trapez nëse shuma e bazave të trapezit është e barabartë me shumën e brinjëve të tij.

Vetitë dhe shenjat e një trapezi izoscelor

Vija e drejtë që kalon nga mesi i bazave është pingul me bazat dhe është boshti i simetrisë së trapezit.
Lartësia e ulur nga lart në bazën më të madhe e ndan atë në dy segmente, njëra prej të cilave është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave, tjetra - gjysmën e diferencës së bazave.
Në një trapezoid izoscelular, këndet në çdo bazë janë të barabarta.
Në një trapezoid izoscelular, gjatësitë e diagonaleve janë të barabarta.
Nëse një trapezoid mund të jetë i gdhendur në një rreth, atëherë ai është izosceles.
Një rreth mund të përshkruhet rreth një trapezi izosceles.
Nëse diagonalet në një trapezoid izoscelular janë pingul, atëherë lartësia është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave.

Rreth i brendashkruar dhe i rrethuar

Sheshi

Këto formula janë të njëjta, pasi gjysma e shumës së bazave është e barabartë me vijën e mesme të trapezit.

Në këtë artikull ne do të përpiqemi të pasqyrojmë vetitë e një trapezi sa më plotësisht të jetë e mundur. Në veçanti, do të flasim për karakteristikat dhe vetitë e përgjithshme të një trapezi, si dhe për vetitë e një trapezi të gdhendur dhe një rrethi të gdhendur në një trapezoid. Do të prekim edhe vetitë e një trapezi izosceles dhe drejtkëndor.

Një shembull i zgjidhjes së një problemi duke përdorur vetitë e diskutuara do t'ju ndihmojë ta renditni atë në vende në kokën tuaj dhe të mbani mend më mirë materialin.

Trapez dhe të gjithë-të gjithë-të gjithë

Për të filluar, le të kujtojmë shkurtimisht se çfarë është një trapezoid dhe cilat koncepte të tjera lidhen me të.

Pra, një trapez është një figurë katërkëndëshe, dy anët e së cilës janë paralele me njëra-tjetrën (këto janë bazat). Dhe të dyja nuk janë paralele - këto janë anët.

Në një trapezoid, lartësia mund të ulet - pingul me bazat. Viza qendrore dhe diagonalet janë tërhequr. Është gjithashtu e mundur të vizatoni një përgjysmues nga çdo kënd i trapezit.

Tani do të flasim për vetitë e ndryshme që lidhen me të gjithë këta elementë dhe kombinimet e tyre.

Vetitë e diagonaleve trapezoide

Për ta bërë më të qartë, ndërsa jeni duke lexuar, skiconi trapezoidin ACME në një copë letër dhe vizatoni diagonale në të.

Nëse gjeni mesin e secilës prej diagonaleve (le t'i quajmë këto pika X dhe T) dhe i lidhni ato, ju merrni një segment. Një nga vetitë e diagonaleve të një trapezi është se segmenti HT shtrihet në vijën e mesit. Dhe gjatësia e saj mund të merret duke e ndarë ndryshimin e bazave me dy: ХТ = (a – b)/2.
Para nesh është i njëjti trapezoid ACME. Diagonalet kryqëzohen në pikën O. Le të shohim trekëndëshat AOE dhe MOK, të formuar nga segmente të diagonaleve së bashku me bazat e trapezit. Këta trekëndësha janë të ngjashëm. Koeficienti i ngjashmërisë k i trekëndëshave shprehet përmes raportit të bazave të trapezit: k = AE/KM.
Raporti i sipërfaqeve të trekëndëshave AOE dhe MOK përshkruhet me koeficientin k 2 .
I njëjti trapez, të njëjtat diagonale që ndërpriten në pikën O. Vetëm këtë herë do të shqyrtojmë trekëndëshat që formuan segmentet e diagonaleve së bashku me brinjët e trapezit. Zonat e trekëndëshave AKO dhe EMO janë të barabarta në madhësi - zonat e tyre janë të njëjta.
Një pronë tjetër e një trapezi përfshin ndërtimin e diagonaleve. Pra, nëse vazhdoni anët e AK dhe ME në drejtim të bazës më të vogël, atëherë herët a vonë ato do të kryqëzohen në një pikë të caktuar. Tjetra, vizatoni një vijë të drejtë përmes mesit të bazave të trapezit. Ai kryqëzon bazat në pikat X dhe T.
Nëse tani e zgjerojmë drejtëzën XT, atëherë ajo do të lidhë së bashku pikën e prerjes së diagonaleve të trapezit O, pikë në të cilën kryqëzohen zgjatimet e brinjëve dhe mesi i bazave X dhe T.
Përmes pikës së prerjes së diagonaleve do të vizatojmë një segment që do të lidhë bazat e trapezit (T shtrihet në bazën më të vogël KM, X në AE më të madhe). Pika e kryqëzimit të diagonaleve e ndan këtë segment në raportin e mëposhtëm: TO/OX = KM/AE.
Tani, përmes pikës së kryqëzimit të diagonaleve, do të vizatojmë një segment paralel me bazat e trapezit (a dhe b). Pika e kryqëzimit do ta ndajë atë në dy pjesë të barabarta. Ju mund të gjeni gjatësinë e segmentit duke përdorur formulën 2ab/(a + b).

Vetitë e vijës së mesme të një trapezi

Vizatoni vijën e mesme në trapez paralel me bazat e tij.

Gjatësia e vijës së mesme të një trapezi mund të llogaritet duke shtuar gjatësitë e bazave dhe duke i ndarë ato në gjysmë: m = (a + b)/2.
Nëse vizatoni ndonjë segment (lartësi, për shembull) përmes të dy bazave të trapezit, vija e mesme do ta ndajë atë në dy pjesë të barabarta.

Vetia përgjysmuese e trapezit

Zgjidhni çdo kënd të trapezit dhe vizatoni një përgjysmues. Le të marrim, për shembull, këndin KAE të trapezoidit tonë ACME. Pasi të keni përfunduar vetë ndërtimin, mund të verifikoni lehtësisht që përgjysmuesi shkëput nga baza (ose vazhdimi i tij në një vijë të drejtë jashtë vetë figurës) një segment me të njëjtën gjatësi si ana.

Vetitë e këndeve të trapezit

Cilido nga dy çiftet e këndeve ngjitur me anën që zgjidhni, shuma e këndeve në çift është gjithmonë 180 0: α + β = 180 0 dhe γ + δ = 180 0.
Le të lidhim mesin e bazave të trapezit me një segment TX. Tani le të shohim këndet në bazat e trapezit. Nëse shuma e këndeve për cilindo prej tyre është 90 0, gjatësia e segmentit TX mund të llogaritet lehtësisht bazuar në ndryshimin në gjatësitë e bazave, të ndarë në gjysmë: TX = (AE – KM)/2.
Nëse vizat paralele vizatohen nëpër anët e një këndi trapezoid, ato do t'i ndajnë anët e këndit në segmente proporcionale.

Vetitë e një trapezi barabrinjës (barabrinjës).

Në një trapezoid izoscelular, këndet në çdo bazë janë të barabarta.
Tani ndërtoni përsëri një trapezoid për ta bërë më të lehtë të imagjinoni se për çfarë po flasim. Shikoni me kujdes bazën AE - kulmi i bazës së kundërt M është projektuar në një pikë të caktuar të vijës që përmban AE. Distanca nga kulmi A deri në pikën e projeksionit të kulmit M dhe vija e mesme e një trapezi izoscelular janë të barabarta.
Disa fjalë për vetinë e diagonaleve të një trapezi izosceles - gjatësitë e tyre janë të barabarta. Dhe gjithashtu këndet e prirjes së këtyre diagonaleve në bazën e trapezit janë të njëjta.
Një rreth mund të përshkruhet vetëm rreth një trapezi dykëndësh, pasi shuma e këndeve të kundërta të një katërkëndëshi është 180 0 - një parakusht për këtë.
Vetia e një trapezi izoscelor rrjedh nga paragrafi i mëparshëm - nëse një rreth mund të përshkruhet pranë trapezit, ai është dykëmbësh.
Nga veçoritë e një trapezi izoscelular rrjedh vetia e lartësisë së një trapezi: nëse diagonalet e tij kryqëzohen në kënde të drejta, atëherë gjatësia e lartësisë është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave: h = (a + b)/2.
Përsëri, vizatoni segmentin TX përmes pikave të mesit të bazave të trapezit - në një trapezoid izosceles është pingul me bazat. Dhe në të njëjtën kohë TX është boshti i simetrisë së një trapezi izosceles.
Këtë herë, ulni lartësinë nga kulmi i kundërt i trapezit në bazën më të madhe (le ta quajmë atë a). Do të merrni dy segmente. Gjatësia e një mund të gjendet nëse gjatësitë e bazave shtohen dhe ndahen në gjysmë: (a + b)/2. E marrim të dytin kur zbresim më të voglin nga baza më e madhe dhe e ndajmë ndryshimin që rezulton me dy: (a – b)/2.

Vetitë e një trapezi të gdhendur në një rreth

Meqenëse tashmë po flasim për një trapezoid të gdhendur në një rreth, le të ndalemi në këtë çështje më në detaje. Në veçanti, ku qendra e rrethit është në lidhje me trapezin. Edhe këtu, rekomandohet që të merrni kohë për të marrë një laps dhe për të vizatuar atë që do të diskutohet më poshtë. Në këtë mënyrë do të kuptoni më shpejt dhe do të mbani mend më mirë.

Vendndodhja e qendrës së rrethit përcaktohet nga këndi i prirjes së diagonales së trapezit në anën e tij. Për shembull, diagonalja mund të shtrihet nga maja e trapezit në kënde të drejta në anën. Në këtë rast, baza më e madhe kryqëzon qendrën e rrethit të rrethuar pikërisht në mes (R = ½AE).
Diagonalja dhe ana mund të takohen gjithashtu në një kënd të mprehtë - atëherë qendra e rrethit është brenda trapezoidit.
Qendra e rrethit të rrethuar mund të jetë jashtë trapezit, përtej bazës së tij më të madhe, nëse ka një kënd të mpirë midis diagonales së trapezit dhe anës.
Këndi i formuar nga diagonalja dhe baza e madhe e trapezit ACME (këndi i brendashkruar) është gjysma e këndit qendror që korrespondon me të: MAE = ½ MOE.
Shkurtimisht rreth dy mënyrave për të gjetur rrezen e një rrethi të kufizuar. Metoda e parë: shikoni me kujdes vizatimin tuaj - çfarë shihni? Mund të vëreni lehtësisht se diagonalja e ndan trapezin në dy trekëndësha. Rrezja mund të gjendet nga raporti i brinjës së trekëndëshit me sinusin e këndit të kundërt, shumëzuar me dy. Për shembull, R = AE/2*sinAME. Formula mund të shkruhet në mënyrë të ngjashme për secilën nga brinjët e të dy trekëndëshave.
Metoda e dytë: gjeni rrezen e rrethit të rrethuar përmes zonës së trekëndëshit të formuar nga diagonalja, ana dhe baza e trapezit: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Vetitë e një trapezi të rrethuar rreth një rrethi

Ju mund të vendosni një rreth në një trapezoid nëse plotësohet një kusht. Lexoni më shumë për të më poshtë. Dhe së bashku ky kombinim i figurave ka një numër karakteristikash interesante.

Nëse një rreth është i gdhendur në një trapez, gjatësia e vijës së mesit të tij mund të gjendet lehtësisht duke shtuar gjatësitë e anëve dhe duke e ndarë shumën që rezulton në gjysmë: m = (c + d)/2.
Për një ACME trapezoid, të rrethuar rreth një rrethi, shuma e gjatësive të bazave është e barabartë me shumën e gjatësive të anëve: AK + ME = KM + AE.
Nga kjo veti e bazave të një trapezi rrjedh pohimi i kundërt: një rreth mund të brendashkrohet në një trapez shuma e bazave të të cilit është e barabartë me shumën e brinjëve të tij.
Pika tangjente e një rrethi me rreze r të brendashkruar në një trapez e ndan anën në dy segmente, le t'i quajmë a dhe b. Rrezja e një rrethi mund të llogaritet duke përdorur formulën: r = √ab.
Dhe një pronë më shumë. Për të shmangur konfuzionin, vizatoni edhe vetë këtë shembull. Ne kemi trapezoidin e mirë të vjetër ACME, të përshkruar rreth një rrethi. Ai përmban diagonale që priten në pikën O. Trekëndëshat AOK dhe EOM të formuar nga segmentet e diagonaleve dhe faqet anësore janë drejtkëndëshe.
Lartësitë e këtyre trekëndëshave, të ulura në hipotenus (d.m.th., anët anësore të trapezit), përkojnë me rrezet e rrethit të brendashkruar. Dhe lartësia e trapezit përkon me diametrin e rrethit të gdhendur.

Vetitë e një trapezi drejtkëndor

Një trapez quhet drejtkëndor nëse një nga këndet e tij është i drejtë. Dhe vetitë e tij burojnë nga kjo rrethanë.

Një trapez drejtkëndor ka një nga anët e tij pingul me bazën e tij.
Lartësia dhe ana anësore e trapezit ngjitur me kënd i drejtë, janë të barabarta. Kjo ju lejon të llogaritni sipërfaqen e një trapezi drejtkëndor (formula e përgjithshme S = (a + b) * h/2) jo vetëm përmes lartësisë, por edhe përmes anës ngjitur me këndin e duhur.
Për një trapezoid drejtkëndor, vetitë e përgjithshme të diagonaleve të një trapezi të përshkruar tashmë më sipër janë të rëndësishme.

Dëshmi e disa vetive të trapezit

Barazia e këndeve në bazën e një trapezi izoscelular:

Me siguri tashmë e keni marrë me mend se këtu do të na duhet përsëri trapezi AKME - vizatoni një trapezoid isosceles. Vizatoni një vijë të drejtë MT nga kulmi M, paralel me anën e AK (MT || AK).

Katërkëndëshi AKMT që rezulton është një paralelogram (AK || MT, KM || AT). Meqenëse ME = KA = MT, ∆ MTE është dykëndësh dhe MET = MTE.

AK || MT, pra MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Ku qëndron AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Tani, bazuar në vetinë e një trapezi izoscelor (barazia e diagonaleve), vërtetojmë se trapezoidi ACME është dykëndor:

Për të filluar, le të vizatojmë një vijë të drejtë MX – MX || KE. Ne marrim një paralelogram KMHE (baza – MX || KE dhe KM || EX).

∆AMX është izoscelular, pasi AM = KE = MX, dhe MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MHE, pra MAE = MHE.

Doli se trekëndëshat AKE dhe EMA janë të barabartë me njëri-tjetrin, pasi AM = KE dhe AE janë brinjë e përbashkët e dy trekëndëshave. Dhe gjithashtu MAE = MXE. Mund të konkludojmë se AK = ME, dhe nga kjo rezulton se trapezi AKME është dykëndor.

Detyra e rishikimit

Bazat e trapezit ACME janë 9 cm dhe 21 cm, ana anësore KA, e barabartë me 8 cm, formon një kënd prej 150 0 me bazën më të vogël. Ju duhet të gjeni zonën e trapezoidit.

Zgjidhje: Nga kulmi K e ulim lartësinë në bazën më të madhe të trapezit. Dhe le të fillojmë të shikojmë këndet e trapezit.

Këndet AEM dhe KAN janë të njëanshme. Kjo do të thotë që në total ata japin 180 0. Prandaj, KAN = 30 0 (bazuar në vetinë e këndeve trapezoidale).

Le të shqyrtojmë tani ΔANC drejtkëndëshe (besoj se kjo pikë është e qartë për lexuesit pa prova shtesë). Prej tij do të gjejmë lartësinë e trapezit KH - në një trekëndësh është një këmbë që shtrihet përballë këndit 30 0. Prandaj, KH = ½AB = 4 cm.

Ne gjejmë zonën e trapezit duke përdorur formulën: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Pasthënie

Nëse e keni studiuar me kujdes dhe me kujdes këtë artikull, nuk keni qenë shumë dembel të vizatoni trapezoide për të gjitha vetitë e dhëna me një laps në duar dhe t'i analizoni ato në praktikë, duhet ta kishit zotëruar mirë materialin.

Sigurisht, këtu ka shumë informacione, të larmishme dhe ndonjëherë edhe konfuze: nuk është aq e vështirë të ngatërrosh vetitë e trapezit të përshkruar me vetitë e atij të mbishkruar. Por ju vetë e keni parë se ndryshimi është i madh.

Tani keni një përshkrim të detajuar të të gjitha vetive të përgjithshme të një trapezi. Si dhe vetitë dhe karakteristikat specifike të trapezoideve izosceles dhe drejtkëndëshe. Është shumë i përshtatshëm për t'u përdorur për t'u përgatitur për teste dhe provime. Provojeni vetë dhe ndajeni lidhjen me miqtë tuaj!