§3. الأعداد الأولية وخصائصها. أرقام كوبريم - التعريف والأمثلة والخصائص جميع أرقام كوبريم

في هذه المقالة سوف نتحدث عن ما هي أرقام كوبريم. في الفقرة الأولى، سنقوم بصياغة تعريفات لعددين أو ثلاثة أو أكثر من الأعداد الأولية نسبيًا، وسنقدم عدة أمثلة ونوضح في الحالات التي يمكن اعتبار رقمين أوليين بالنسبة لبعضهما البعض. وبعد ذلك ننتقل إلى صياغة الخصائص الرئيسية وبراهينها. في الفقرة الأخيرة سنتحدث عن مفهوم ذي صلة - الأعداد الأولية الزوجية.

ما هي أرقام كوبريم

يمكن أن يكون أي من الأعداد الصحيحة أو أكثر منها أوليًا بشكل متبادل. أولاً، دعونا نقدم تعريفًا لعددين، ونحتاج من أجله إلى مفهوم القاسم المشترك الأكبر لهما. إذا لزم الأمر، كرر المادة المخصصة لذلك.

التعريف 1

اثنان من هذه الأرقام أ و ب سيكونان أوليين بشكل متبادل، والقاسم المشترك الأكبر له يساوي 1، أي. جي سي دي (أ ، ب) = 1 .

من هذا التعريف يمكننا أن نستنتج أن القاسم المشترك الموجب الوحيد لعددين من الأعداد الأولية سيكون مساوياً للواحد. اثنان فقط من هذه الأرقام لهما قاسمان مشتركان - واحد وناقص واحد.

ما هي بعض الأمثلة على أرقام كوبريم؟ على سبيل المثال، سيكون هذا الزوج 5 و11. لديهم قاسم إيجابي مشترك واحد فقط، وهو 1، مما يؤكد بساطتهم المتبادلة.

إذا أخذنا رقمين أوليين، فبالنسبة لبعضهما البعض، سيكونان أوليين بشكل متبادل في جميع الحالات، ولكن يتم تشكيل مثل هذه العلاقات المتبادلة أيضًا بين الأرقام المركبة. هناك حالات يكون فيها رقم واحد في زوج من الأعداد الأولية نسبيًا مركبًا، والثاني أوليًا، أو كلاهما مركب.

يتم توضيح هذا البيان من خلال المثال التالي: يشكل الرقمان المركبان 9 و 8 زوجًا أوليًا نسبيًا. دعونا نثبت ذلك عن طريق حساب القاسم المشترك الأكبر لهم. للقيام بذلك، نكتب جميع قواسمهم (نوصي بإعادة قراءة المقال الخاص بإيجاد قواسم الرقم). بالنسبة إلى 8، ستكون هذه الأرقام ± 1، ± 2، ± 4، ± 8، وبالنسبة إلى 9 - ± 1، ± 3، ± 9. نختار من بين جميع المقسومات ما سيكون مشتركًا وأكبر - وهو الوحدة. لذلك، إذا كان GCD (8، − 9) = 1، فإن 8 و - 9 سيكونان أوليين لبعضهما البعض.

الأعداد الأولية ليست 500 و45، حيث أن لديهم قاسمًا مشتركًا آخر - 5 (راجع المقالة الخاصة بمعايير قابلية القسمة على 5). خمسة أكبر من واحد وهو عدد موجب. زوج آخر مماثل يمكن أن يكون - 201 و 3، حيث يمكن تقسيم كل منهما على 3، كما هو موضح بعلامة القسمة المقابلة.

في الممارسة العملية، في كثير من الأحيان يكون من الضروري تحديد الأولوية النسبية لعددين صحيحين. يمكن اختصار معرفة ذلك في إيجاد القاسم المشترك الأكبر ومقارنته بالوحدة. من الملائم أيضًا استخدام جدول الأعداد الأولية حتى لا تقوم بحسابات غير ضرورية: إذا كان أحد الأرقام المحددة موجودًا في هذا الجدول، فهو قابل للقسمة على واحد فقط وعلى نفسه. دعونا نلقي نظرة على الحل لمثل هذه المشكلة.

مثال 1

حالة:اكتشف ما إذا كان الرقمان 275 و 84 من الأعداد الأولية.

حل

من الواضح أن كلا الرقمين لهما أكثر من مقسوم واحد، لذلك لا يمكننا أن نطلق عليهما اسمًا أوليًا نسبيًا على الفور.

نحسب القاسم المشترك الأكبر باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 275 = 84 3 + 23، 84 = 23 3 + 15، 23 = 15 1 + 8، 15 = 8 1 + 7، 8 = 7 1 + 1، 7 = 7 · 1.

إجابة:بما أن GCD (84, 275) = 1، فإن هذه الأرقام ستكون أولية نسبيًا.

وكما قلنا سابقًا، يمكن توسيع تعريف هذه الأرقام ليشمل الحالات التي لا يكون لدينا فيها رقمين، بل أكثر من ذلك.

التعريف 2

الأعداد الصحيحة a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 ستكون أولية بشكل متبادل عندما يكون القاسم المشترك الأكبر لها يساوي 1 .

بمعنى آخر، إذا كان لدينا مجموعة من بعض الأرقام ذات القاسم الموجب الأكبر أكبر من 1، فإن كل هذه الأرقام ليست معكوسة بشكل متبادل بالنسبة لبعضها البعض.

لنأخذ بعض الأمثلة. وبالتالي، فإن الأعداد الصحيحة − 99، 17 و − 27 هي أعداد أولية نسبيًا. أي عدد من الأعداد الأولية سيكون أوليًا بالنسبة لجميع أفراد المجتمع، كما في التسلسلات 2، 3، 11، 19، 151، 293 و667. لكن الأعداد 12، −9، 900 و − 72 لن تكون أولية نسبيًا، لأنه بالإضافة إلى الوحدة سيكون لها مقسوم موجب آخر يساوي 3. الأمر نفسه ينطبق على الأرقام 17 و85 و187: باستثناء رقم واحد، يمكن قسمتها جميعًا على 17.

عادة ما تكون الأعداد الأولية المتبادلة غير واضحة للوهلة الأولى؛ وهذه الحقيقة تحتاج إلى إثبات. لمعرفة ما إذا كانت بعض الأعداد أولية نسبيًا أم لا، عليك إيجاد القاسم المشترك الأكبر لها والتوصل إلى استنتاج بناءً على مقارنتها بالواحد.

مثال 2

حالة: تحديد ما إذا كانت الأعداد 331، 463، 733 أولية نسبيًا.

حل

دعونا نتحقق من جدول الأعداد الأولية ونحدد أن هذه الأعداد الثلاثة موجودة فيه. ومن ثم فإن القاسم المشترك بينهما يمكن أن يكون واحدًا فقط.

إجابة:كل هذه الأرقام ستكون أولية لبعضها البعض.

مثال 3

حالة:برهن على أن الأعداد − 14، 105، − 2 107 و − 91 ليست أعدادًا أولية.

حل

لنبدأ بتحديد القاسم المشترك الأكبر لهم، ثم نتأكد من أنه لا يساوي 1. نظرًا لأن الأرقام السالبة لها نفس المقسومات مثل تلك الموجبة المقابلة، فإن gcd (− 14, 105, 2 107, − 91) = gcd (14, 105, 2 107, 91). وفقًا للقواعد التي قدمناها في المقالة الخاصة بإيجاد القاسم المشترك الأكبر، في هذه الحالة سيكون gcd مساويًا لسبعة.

إجابة:سبعة أكبر من واحد، مما يعني أن هذه الأعداد ليست أولية نسبيًا.

الخصائص الأساسية للأعداد الأولية

هذه الأرقام لها بعض عمليا خصائص مهمة. دعونا ندرجها بالترتيب ونثبتها.

التعريف 3

إذا قسمنا الأعداد الصحيحة a وb على العدد المقابل للقاسم المشترك الأكبر لهما، فسنحصل على أعداد أولية. بمعنى آخر، a: gcd (a, b) وb: gcd (a, b) سيكونان أوليين نسبيًا.

لقد أثبتنا بالفعل هذه الخاصية. ويمكن العثور على الدليل في مقالة خصائص القاسم المشترك الأكبر. بفضل ذلك، يمكننا تحديد أزواج من الأعداد الأولية نسبيًا: نحتاج فقط إلى أخذ أي عددين صحيحين وتقسيمهما على GCD. ونتيجة لذلك، يجب أن نحصل على أرقام coprime.

التعريف 4

الشرط الضروري والكافي للأولوية المتبادلة للأرقام a و b هو وجود مثل هذه الأعداد الصحيحة ش 0و ضد 0والتي من أجلها المساواة أ · ش 0 + ب · ت 0 = 1سيكون صحيحا.

الدليل 1

لنبدأ بإثبات ضرورة هذا الشرط. لنفترض أن لدينا رقمين أوليين نسبيًا، يُشار إليهما بـ a وb. إذن، وفقًا لتعريف هذا المفهوم، فإن القاسم المشترك الأكبر بينهما سيكون واحدًا. من خصائص gcd نعلم أنه بالنسبة للأعداد الصحيحة a وb توجد علاقة بيزوت أ · ش 0 + ب · الخامس 0 = جي سي دي (أ، ب). منه نحصل على ذلك أ · ش 0 + ب · ت 0 = 1. وبعد هذا نحتاج إلى إثبات كفاية الشرط. دع المساواة أ · ش 0 + ب · ت 0 = 1سيكون صحيحا في هذه الحالة إذا جي سي دي (أ، ب)يقسم و أ , و b، فإنه سيتم أيضًا تقسيم المبلغ أ· ش 0 + ب · ت 0والوحدة على التوالي (يمكن القول بذلك بناءً على خصائص قابلية القسمة). وهذا ممكن فقط إذا جي سي دي (أ، ب) = 1مما يثبت البساطة المتبادلة لـ a و b .

في الواقع، إذا كان a وb من العناصر الأساسية، فوفقًا للخاصية السابقة، ستكون المساواة صحيحة أ · ش 0 + ب · ت 0 = 1. نضرب كلا الطرفين في c ونحصل على ذلك أ · ج · ش 0 + ب · ج · ت 0 = ج. يمكننا تقسيم الحد الأول أ · ج · ش 0 + ب · ج · ت 0على b، لأن هذا ممكن بالنسبة لـ a · c، والحد الثاني قابل للقسمة أيضًا على b، لأن أحد عواملنا يساوي b. ومن هذا نستنتج أن المجموع كله يمكن قسمته على b، وبما أن هذا المجموع يساوي c، فيمكن قسمة c على b.

التعريف 5

إذا كان هناك عددان صحيحان a و b عبارة عن coprime، فإن gcd (a c, b) = gcd (c, b).

الدليل 2

لنثبت أن GCD (a c, b) سيقسم GCD (c, b)، وبعد ذلك أن GCD (c, b) سيقسم GCD (a c, b)، وهو ما سيكون دليلا على صحة المساواة GCD (أ · ج ، ب) = جي سي دي (ج ، ب) .

بما أن GCD (a · c, b) يقسم كلاً من a · c وb، وGCD (a · c, b) يقسم b، فإنه سيقسم أيضًا b · c. هذا يعني أن GCD (a c, b) يقسم كلاً من a c و b c، وبالتالي، نظرًا لخصائص GCD، فإنه يقسم أيضًا GCD (a c, b c)، والذي سيكون مساويًا لـ c GCD (a, b ) = c . ولذلك، GCD (أ · ج، ب) يقسم كلا من ب و ج، وبالتالي، فإنه يقسم أيضا GCD (ج، ب).

ويمكن القول أيضًا أنه بما أن GCD (c, b) يقسم كلاً من c وb، فإنه سيقسم كلاً من c وa c. وهذا يعني أن GCD (c, b) يقسم كلا من a · c وb، وبالتالي فهو يقسم أيضًا GCD (a · c, b).

وبالتالي، فإن gcd (a c, b) وgcd (c, b) يقسمان بعضهما البعض بشكل متبادل، مما يعني أنهما متساويان.

التعريف 6

إذا كانت الأرقام من التسلسل أ1، أ2،…، أسيكون أوليًا نسبيًا فيما يتعلق بأرقام التسلسل ب 1، ب 2، …، ب م(في القيم الطبيعيةك و م)، ثم منتجاتهم أ1 · أ2 · … · أو ب 1 · ب 2 · … · ب مهي أيضًا أولية نسبيًا، على وجه الخصوص، أ 1 = أ 2 = … = أ ك = أو ب 1 = ب 2 = … = ب م = ب، الذي - التي كو ب م- بسيطة متبادلة.

الدليل 3

وفقًا للخاصية السابقة، يمكننا كتابة المعادلات بالشكل التالي: GCD (a 1 · a 2 · … · a k, b m) = GCD (a 2 · … · a k, b m) = … = GCD (a k, b m) = 1. يتم ضمان إمكانية الانتقال الأخير من خلال حقيقة أن a k و b m أوليان نسبيًا حسب الشرط. وهذا يعني GCD (أ 1 · أ 2 · … · أ ك , ب م) = 1 .

دعونا نشير إلى a 1 · a 2 · … · a k = A ونحصل على GCD (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = GCD (b 1 · b 2 · … · ب م , أ) = GCD (ب 2 · … · ب · ب م , أ) = … = GCD (ب م , أ) = 1 . سيكون هذا صحيحًا بسبب المساواة الأخيرة من السلسلة المبنية أعلاه. وبالتالي، لدينا المساواة GCD (b 1 · b 2 · … · b m, a 1 · a 2 · … · a k) = 1، والتي يمكننا من خلالها إثبات الأولوية المتبادلة للنواتج أ1 · أ2 · … · أو ب 1 · ب 2 · … · ب م

هذه كلها خصائص الأعداد الأولية التي نود أن نخبرك عنها.

مفهوم الأعداد الأولية الزوجية

بمعرفة ما هي الأعداد الأولية، يمكننا صياغة تعريف للأعداد الأولية الزوجية.

التعريف 7

الأعداد الأولية الزوجيةهي سلسلة من الأعداد الصحيحة a 1 , a 2 , ... , a k , حيث سيكون كل رقم أوليًا نسبيًا بالنسبة للآخرين.

مثال على سلسلة من الأعداد الأولية الزوجية سيكون 14، 9، 17، و-25. هنا جميع الأزواج (14 و 9، 14 و 17، 14 و − 25، 9 و 17، 9 و − 25، 17 و − 25) هي coprime. لاحظ أن شرط الأعداد الأولية المتبادلة إلزامي للأعداد الأولية الزوجية، لكن الأعداد الأولية المتبادلة لن تكون أولية زوجية في جميع الحالات. على سبيل المثال، في التسلسل 8، 16، 5 و 15، الأرقام ليست مثل هذه الأرقام، لأن 8 و 16 لن تكون أولية نسبيًا.

يجب عليك أيضًا التركيز على مفهوم مجموعة عدد معين من الأعداد الأولية. سيكونون دائمًا بسيطين بشكل متبادل وزوجي. على سبيل المثال سيكون التسلسل 71، 443، 857، 991. في حالة الأعداد الأولية، سوف تتطابق مفاهيم الأعداد الأولية المتبادلة والزوجية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

باستثناء ±1.

• 14 و 25 عددان أوليان نسبيًا نظرًا لعدم وجود عوامل مشتركة بينهما؛
• 15 و 25 ليسا أوليين لأن لديهما عامل مشترك وهو 5؛

التمثيل المرئي: إذا قمت ببناء "غابة" على مستوى عن طريق تثبيت "أشجار" بسمك صفر عند نقاط ذات إحداثيات صحيحة، فمن أصل الإحداثيات فقط الأشجار التي إحداثياتها هي coprime تكون مرئية، انظر الشكل الموجود على اليمين كمثال مثال على رؤية "شجرة" بإحداثياتها (9، 4).

التسميات

للإشارة إلى الأولية النسبية للأرقام م (\displaystyle م)و ن (\displaystyle n)التسمية المستخدمة هي:

م ⊥ ن.

(\displaystyle m\perp n.) ومع ذلك، ليس كل علماء الرياضيات يدركون ويستخدمون هذا الترميز. الصياغة الأكثر استخدامًا أو التدوين المعادل هي gcd (a , b) = 1 (\displaystyle \gcd(a,b)=1) ، وهو ما يعني: "القاسم المشترك الأكبر للأعدادو أب

يساوي 1".

• التعريفات ذات الصلة إذا كان في مجموعة من الأرقامأي رقمان هما coprime، ثم يتم استدعاء هذه الأرقام coprime الزوجي

. بالنسبة لعددين، يتطابق مفهوما "coprime" و"coprime الزوجي".

• أمثلة
• 8، 15 ليست بسيطة، ولكنها بسيطة نسبيا.
• 6، 8، 9 هي أعداد أولية (معًا)، ولكنها ليست أعداد أولية زوجية.

8، 15، 49 هي أعداد زوجية.

• ملكيات أرقامو أ (\displaystyle أ)ب (\displaystyle b)
• تكون أولية نسبيًا إذا وفقط إذا تم استيفاء أحد الشروط المكافئة:
• أي عددين أوليين (مختلفين) هما من الأعداد الأولية. أرقام- مقسم المنتج ب ج (\displaystyle قبل الميلاد)، و أرقامبالمثل فقط مع أ (\displaystyle أ)، الذي - التي أرقام- مقسم ج (\displaystyle c).
• إذا كانت الأرقام ا 1 , … , ا ن (\displaystyle a_(1),\ldots ,a_(n))إذن هي أعداد أولية زوجية متبادلة شهادة عدم الممانعة(أ 1، …، أ ن) = |أ 1 ⋅ … ⋅ أ ن | (\displaystyle (a_(1),\ldots ,a_(n))=|a_(1)\cdot \ldots \cdot a_(n)|).
• . على سبيل المثال، NOC (9 , 11) = 9 ⋅ 11 = 99 (\displaystyle (9,11)=9\cdot 11=99)احتمال أي ك (\displaystyle ك)الأعداد الصحيحة الموجبة المختارة عشوائيًا ستكون coprime، تساوي ، بمعنى متى (9 , 11) = 9 ⋅ 11 = 99 (\displaystyle (9,11)=9\cdot 11=99)ن → ∞ (\displaystyle N\to \infty ) احتمال ذلكالأعداد الصحيحة الموجبة أقل من N (\displaystyle (\textstyle (N)))(ويتم اختياره عشوائيًا) سيكون أوليًا نسبيًا، ويميل إلى ذلك 1 ζ (ك) (\displaystyle (\dfrac (1)(\zeta (k)))). هنا

ζ (ك) (\displaystyle \zeta (k))

- هذا

يصعب أحيانًا فهم كتب الرياضيات المدرسية. ليس من السهل دائمًا فهم اللغة الجافة والواضحة للمؤلفين. والموضوعات هناك دائمًا مترابطة ومترابطة. لإتقان موضوع واحد، عليك رفع عدد من المواضيع السابقة، وفي بعض الأحيان حتى تصفح الكتاب المدرسي بأكمله. صعب؟ نعم. دعونا نجازف بالتحايل على هذه الصعوبات ونحاول إيجاد نهج غير قياسي للموضوع. دعونا نقوم بنوع من الرحلة إلى أرض الأرقام. ومع ذلك، سنظل نترك التعريف كما هو، لأنه لا يمكن إلغاء قواعد الرياضيات. إذن، الأعداد الأولية هي أعداد طبيعية قاسمها المشترك يساوي واحدًا. هل هذا واضح؟ تمامًا. للحصول على مثال أكثر وضوحًا، لنأخذ الرقمين 6 و13. كلاهما قابل للقسمة على واحد (كوبريم). لكن الأرقام 12 و 14 لا يمكن أن تكون كذلك، لأنها قابلة للقسمة ليس فقط على 1، ولكن أيضًا على 2. الأرقام التالية، 21 و 47، لا تتناسب أيضًا مع فئة "الأرقام الأولية": لا يمكن تقسيمها فقط بمقدار 1، ولكن أيضًا عند 7.تتم الإشارة إلى أرقام Coprime على النحو التالي: (

أ
، ص) = 1.

ويمكن للمرء أن يقول ذلك بشكل أبسط: القاسم المشترك (الأكبر) هنا يساوي واحدًا.

لماذا نحتاج إلى مثل هذه المعرفة؟ هناك أسباب كافية.

يتم تضمينها بشكل متبادل في بعض أنظمة التشفير. أولئك الذين يعملون مع رموز هيل أو نظام استبدال قيصر يفهمون: بدون هذه المعرفة، لا يمكنك الوصول إلى أي مكان. إذا كنت قد سمعت عن المولدات، فمن غير المرجح أن تجرؤ على الإنكار: حيث يتم استخدام الأعداد الأولية نسبيًا هناك أيضًا. للحصول على مثال أكثر وضوحًا، لنأخذ الرقمين 6 و13. كلاهما قابل للقسمة على واحد (كوبريم). لكن الأرقام 12 و 14 لا يمكن أن تكون كذلك، لأنها قابلة للقسمة ليس فقط على 1، ولكن أيضًا على 2. الأرقام التالية، 21 و 47، لا تتناسب أيضًا مع فئة "الأرقام الأولية": لا يمكن تقسيمها فقط بمقدار 1، ولكن أيضًا عند 7.- العدد أولي، و في- من المجموعة (1، 2، ... للحصول على مثال أكثر وضوحًا، لنأخذ الرقمين 6 و13. كلاهما قابل للقسمة على واحد (كوبريم). لكن الأرقام 12 و 14 لا يمكن أن تكون كذلك، لأنها قابلة للقسمة ليس فقط على 1، ولكن أيضًا على 2. الأرقام التالية، 21 و 47، لا تتناسب أيضًا مع فئة "الأرقام الأولية": لا يمكن تقسيمها فقط بمقدار 1، ولكن أيضًا عند 7.-١) فهو مضمون ( للحصول على مثال أكثر وضوحًا، لنأخذ الرقمين 6 و13. كلاهما قابل للقسمة على واحد (كوبريم). لكن الأرقام 12 و 14 لا يمكن أن تكون كذلك، لأنها قابلة للقسمة ليس فقط على 1، ولكن أيضًا على 2. الأرقام التالية، 21 و 47، لا تتناسب أيضًا مع فئة "الأرقام الأولية": لا يمكن تقسيمها فقط بمقدار 1، ولكن أيضًا عند 7., في) = 1، أو الأعداد الأولية - للحصول على مثال أكثر وضوحًا، لنأخذ الرقمين 6 و13. كلاهما قابل للقسمة على واحد (كوبريم). لكن الأرقام 12 و 14 لا يمكن أن تكون كذلك، لأنها قابلة للقسمة ليس فقط على 1، ولكن أيضًا على 2. الأرقام التالية، 21 و 47، لا تتناسب أيضًا مع فئة "الأرقام الأولية": لا يمكن تقسيمها فقط بمقدار 1، ولكن أيضًا عند 7.و في.

هذا ليس حتى تفسيرا، بل تكرار أو تلخيص لما قيل للتو.

من الممكن الحصول على الأعداد الأولية؛ ومع ذلك، بالنسبة للأعداد الكبيرة (المليارات، على سبيل المثال)، تكون هذه الطريقة طويلة جدًا، ولكن على عكس الصيغ الفائقة، التي ترتكب أخطاء في بعض الأحيان، فهي أكثر موثوقية.

يمكنك العمل عن طريق الاختيار في > للحصول على مثال أكثر وضوحًا، لنأخذ الرقمين 6 و13. كلاهما قابل للقسمة على واحد (كوبريم). لكن الأرقام 12 و 14 لا يمكن أن تكون كذلك، لأنها قابلة للقسمة ليس فقط على 1، ولكن أيضًا على 2. الأرقام التالية، 21 و 47، لا تتناسب أيضًا مع فئة "الأرقام الأولية": لا يمكن تقسيمها فقط بمقدار 1، ولكن أيضًا عند 7.. للقيام بذلك، تم اختيار y بحيث يكون الرقم قيد التشغيل للحصول على مثال أكثر وضوحًا، لنأخذ الرقمين 6 و13. كلاهما قابل للقسمة على واحد (كوبريم). لكن الأرقام 12 و 14 لا يمكن أن تكون كذلك، لأنها قابلة للقسمة ليس فقط على 1، ولكن أيضًا على 2. الأرقام التالية، 21 و 47، لا تتناسب أيضًا مع فئة "الأرقام الأولية": لا يمكن تقسيمها فقط بمقدار 1، ولكن أيضًا عند 7.لم أشارك. للقيام بذلك، يتم ضرب عدد أولي في عدد طبيعي وتضاف كمية (أو، على العكس من ذلك، يتم طرحها) (على سبيل المثال، ص)، وهو أقل للحصول على مثال أكثر وضوحًا، لنأخذ الرقمين 6 و13. كلاهما قابل للقسمة على واحد (كوبريم). لكن الأرقام 12 و 14 لا يمكن أن تكون كذلك، لأنها قابلة للقسمة ليس فقط على 1، ولكن أيضًا على 2. الأرقام التالية، 21 و 47، لا تتناسب أيضًا مع فئة "الأرقام الأولية": لا يمكن تقسيمها فقط بمقدار 1، ولكن أيضًا عند 7.:

ص = صأ + ك

إذا، على سبيل المثال، للحصول على مثال أكثر وضوحًا، لنأخذ الرقمين 6 و13. كلاهما قابل للقسمة على واحد (كوبريم). لكن الأرقام 12 و 14 لا يمكن أن تكون كذلك، لأنها قابلة للقسمة ليس فقط على 1، ولكن أيضًا على 2. الأرقام التالية، 21 و 47، لا تتناسب أيضًا مع فئة "الأرقام الأولية": لا يمكن تقسيمها فقط بمقدار 1، ولكن أيضًا عند 7. = 71, ص= 3، ف = 10، وبالتالي، فيوهنا سيكون مساوياً لـ 713. ومن الممكن اختيار آخر بالدرجات.

الأعداد المركبة، على عكس الأعداد الأولية نسبيًا، قابلة للقسمة على نفسها وعلى 1 وعلى أرقام أخرى (أيضًا بدون باقي).

وبعبارة أخرى، (ما عدا واحد) تنقسم إلى مركب وبسيط.

الأعداد الأولية هي أعداد طبيعية لا تحتوي على قواسم غير بديهية (تختلف عن الرقم نفسه وعن الوحدة). إن دورهم مهم بشكل خاص في عالم التشفير الحديث سريع التطور، والذي بفضله أصبح هذا التخصص، الذي كان يعتبر سابقًا مجردًا للغاية، مطلوبًا للغاية: يتم تحسين خوارزميات حماية البيانات باستمرار.

تم العثور على أكبر عدد أولي من قبل طبيب العيون مارتن نوفاك، الذي شارك في مشروع GIMPS (الحوسبة الموزعة) مع حوالي 15 ألفًا من المتحمسين الآخرين. واستغرقت الحسابات ست سنوات طويلة. تم استخدام عشرين ونصف جهاز كمبيوتر موجود في عيادة نوفاك للعيون. وكانت نتيجة العمل والمثابرة العملاقة هي الرقم 225964951-1، مكتوبًا بـ 7816230 منزلة عشرية. وبالمناسبة، تم تسجيل الرقم القياسي لأكبر عدد قبل ستة أشهر من هذا الاكتشاف. وكان هناك نصف مليون علامة أقل.

العبقري الذي يريد تسمية الرقم الذي "تقفز" فيه مدة التدوين العشري علامة العشرة ملايين، لديه فرصة للحصول ليس فقط على الشهرة العالمية، ولكن أيضًا على 100000 دولار. وبالمناسبة، بالنسبة للرقم الذي تجاوز علامة المليون، حصل نايان خيرتوال على مبلغ أقل (50 ألف دولار).

يُسمى $p$ عددًا أوليًا إذا كان يحتوي على مقسومات $2$ فقط: $1$ ونفسه.

المقسوم على عدد طبيعي $a$ هو عدد طبيعي يقسم العدد الأصلي $a$ دون ترك باقي.

مثال 1

أوجد مقسومات الرقم $6$.

الحل: نحتاج إلى العثور على جميع الأعداد التي يكون الرقم $6$ قابلاً للقسمة عليها بدون باقي. ستكون هذه الأرقام: 1،2،3 دولار، 6 دولار. إذن مقسوم الرقم $6$ سيكون الأرقام $1,2,3,6.$

الجواب: 1،2،3،6 دولار.

هذا يعني أنه من أجل العثور على مقسومات عدد ما، عليك العثور على جميع الأعداد الطبيعية التي يقبل الرقم المحدد القسمة عليها دون باقي. من السهل أن نرى أن الرقم $1$ سيكون مقسومًا على أي عدد طبيعي.

التعريف 2

مركبيطلقون على الرقم الذي له قواسم أخرى غير الواحد ونفسه.

مثال على الرقم الأولي سيكون الرقم $13$، مثال على الرقم المركب سيكون $14.$

ملاحظة 1

الرقم $1$ له مقسوم واحد فقط - الرقم نفسه، لذا فهو ليس أوليًا ولا مركبًا.

أرقام كوبريم

التعريف 3

الأعداد الأولية المتبادلةهم أولئك الذين يساوي gcd الخاص بهم $1$، وهذا يعني أنه لمعرفة ما إذا كانت الأرقام أولية نسبيًا، فأنت بحاجة إلى العثور على gcd الخاصة بها ومقارنتها بـ $1$.

كوبريم الزوجي

التعريف 4

إذا كان هناك أي رقمين في مجموعة من الأرقام، فسيتم استدعاء هذه الأرقام رقمان هما coprime، ثم يتم استدعاء هذه الأرقام coprime الزوجي

مثال 2

8 دولارات، 15 دولارًا - ليست بسيطة، ولكنها بسيطة نسبيًا.

$6، 8، 9$ عبارة عن أرقام أولية، ولكنها ليست أرقامًا أولية زوجية.

8، 15، 49 دولارًا هي أزواج أولية نسبيًا.

كما نرى، من أجل تحديد ما إذا كانت الأعداد أولية نسبيًا، يجب علينا أولًا تحليلها إلى عوامل أولية. دعونا ننتبه إلى كيفية القيام بذلك بشكل صحيح.

التخصيم الأولي

على سبيل المثال، دعونا نحلل الرقم $180$ إلى عوامل أولية:

180 دولارًا=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

دعونا نستخدم خاصية القوى، ثم نحصل على،

180 دولارًا=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

يسمى هذا التدوين للتحلل إلى عوامل أولية قانونيًا، أي. من أجل تحليل عدد في الصورة القانونية، من الضروري استخدام خاصية القوى وتمثيل الرقم كحاصل ضرب القوى بأسس مختلفة

التوسع الكنسي لعدد طبيعي في الصورة العامة

التوسيع القانوني لعدد طبيعي بشكل عام له الشكل:

$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$

حيث $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ هي أعداد أولية، والأسس هي أعداد طبيعية.

إن تمثيل الرقم كتحليل أساسي إلى مجموعات أولية يجعل من السهل العثور على القاسم المشترك الأكبر للأرقام، ويعمل كنتيجة لإثبات أو تعريف الأعداد الأولية.

مثال 3

أوجد القاسم المشترك الأكبر للأرقام $180$ و$240$.

الحل: دعونا نحلل الأرقام إلى مجموعات بسيطة باستخدام التحليل القانوني

180 دولارًا = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$، ثم 180 دولارًا=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

240 دولارًا = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$، ثم 240 دولارًا=2^4\cdot 3\cdot 5$

الآن لنجد gcd لهذه الأرقام، ولهذا نختار قوى لها نفس الأساس وبأصغر أس، إذن

$GCD\(180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

دعونا نؤلف خوارزمية للعثور على GCD مع الأخذ بعين الاعتبار التحليل القانوني إلى عوامل أولية.

للعثور على القاسم المشترك الأكبر لعددين باستخدام التوسيع القانوني، عليك القيام بما يلي:

1. أعداد العوامل إلى العوامل الأولية في شكل قانوني
2. اختر القوى التي لها نفس الأساس وبأصغر أس للقوى المتضمنة في توسيع هذه الأرقام
3. ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.

مثال 4

تحديد ما إذا كان الرقمان $195$ و $336$ هما أرقام أولية أو أولية.

195 دولارًا = 3\cdot 5\cdot 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$GCD\(195;336) =3\cdot 5=15$

نرى أن gcd لهذه الأرقام يختلف عن $1$، مما يعني أن الأرقام ليست أولية نسبيًا. ونرى أيضًا أن كل رقم يتضمن عوامل، بالإضافة إلى $1$ والرقم نفسه، مما يعني أن الأرقام لن تكون أولية، بل ستكون مركبة.

مثال 5

تحديد ما إذا كان الرقمان $39$ و$112$ هما أرقام أولية أو أولية.

الحل: لنستخدم التحليل الأساسي:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$GCD\(39;112)=1$

نرى أن gcd لهذه الأرقام يساوي $1$، مما يعني أن الأرقام أولية نسبيًا. ونرى أيضًا أن كل رقم يتضمن عوامل، بالإضافة إلى $1$ والرقم نفسه، مما يعني أن الأرقام لن تكون أولية، بل ستكون مركبة.

مثال 6

حدد ما إذا كان الرقمان $883$ و$997$ هما أرقام أولية أو أولية.

الحل: لنستخدم التحليل الأساسي:

883 دولارًا = 1\cdot 883 دولارًا

997 دولارًا = 1\cdot 997 دولارًا

$GCD\(883;997)=1$

نرى أن gcd لهذه الأرقام يساوي $1$، مما يعني أن الأرقام أولية نسبيًا. ونرى أيضًا أن كل رقم يتضمن فقط عوامل تساوي $1$ والرقم نفسه، مما يعني أن الأرقام ستكون أولية.

الكلمات الرئيسية: نظرية الأعداد، محاضرات، الأعداد الأولية المتبادلة.

تعريف.يقال أن الأعداد الصحيحة a وb أولية نسبيًا إذا كان (a, b) = 1.

الرقمان a وb هما coprime إذا وفقط إذا كان هناك أعداد صحيحة u وv بحيث يكون au + bv = 1.

اجعل X = ( x n | n = 1, 2,...) عبارة عن تسلسل عشوائي متزايد من الأعداد الطبيعية (أو، إذا أردت، X مجموعة فرعية عشوائية من الأعداد الطبيعية، مرتبة بطريقة طبيعية). دعونا نشير بـ ξ(N; X) إلى عدد حدود التسلسل X الذي لا يتجاوز N .

تعريف.يُطلق على الرقم الكثافة (المقاربة العلوية) للتسلسل X = (x n | n = 1, 2,...) في المجموعة N.

مثال 1.اجعل x n = 2n، حيث يمر n عبر N، هو تسلسل جميع الأرقام الزوجية. من الواضح أن

بالمناسبة، هذا يتفق جيدًا مع أفكارنا البديهية القائلة بأن هناك نصف الأعداد الزوجية.

مثال 2.دع x n = 2 n، حيث يمر n عبر N، هو تقدم هندسي. من الواضح بديهيًا أن هناك عددًا قليلًا من هذه الأرقام في السلسلة الطبيعية، لأنه كلما "تعمقنا في الغابة" في السلسلة الطبيعية، كانت قوى الاثنين أقل شيوعًا. ويؤكد مفهوم الكثافة هذا الشعور: ξ (2 k; ( x n )) = k، ومن السهل التحقق من ذلك

كثافةهو احتمال اختيار رقم عشوائيًا من سلسلة طبيعية تنتمي إلى تسلسل معين.

على غرار تعريف كثافة التسلسل، يمكننا تعريف كثافة مجموعة من أزواج الأعداد الطبيعية. يجب أن تكون هناك مجموعة عشوائية X من أزواج مرتبة من الأعداد الطبيعية. دعونا نشير بـ ξ (N ; X) إلى عدد الأزواج من المجموعة X، التي لا يتجاوز كل مكون منها N. من المفيد التفكير في أزواج الأرقام من المجموعة X كإحداثيات نقاط على المستوى الإحداثي، إذن ξ (N; X) هو ببساطة عدد نقاط المجموعة X التي تقع في المربع ((x, y) |.0< x ≤ N ; 0 < y ≤ N }.

تعريف.رقم

تسمى الكثافة (المقاربة العلوية) لمجموعة الأزواج X في المجموعة N 2 .

مثال 3.لتكن X هي مجموعة جميع أزواج الأعداد الطبيعية التي يكون مكونها الأول أكبر تمامًا من الثاني. تتوافق المجموعة X مع نقاط الربع الأول من المستوى الإحداثي الواقع تحت المنصف y = x. من السهل حساب كثافة هذه المجموعة:

لتكن X هي مجموعة جميع الأزواج المرتبة (u, v) من الأعداد الطبيعية بحيث يكون (u, v) = 1، أي. مجموعة جميع أزواج الأعداد الأولية.

نظرية (سيزارو).احتمال اختيار زوج من الأعداد الأولية من N يساوي 6/π 2، وبشكل أكثر دقة إثبات. لنفترض على الفور أن هناك احتمالًا بأن تكون الأعداد الطبيعية المختارة عشوائيًا a وb هي أعداد أولية. دع د ∈ ن. دع P (S) تشير، كالعادة، إلى احتمال الحدث S. نحن السبب: ر