\[(\Large(\text(Үшбұрыштардың ұқсастығы)))\]

Анықтамалар

Екі үшбұрыш ұқсас деп аталады, егер олардың бұрыштары сәйкесінше тең болса және бір үшбұрыштың қабырғалары екіншісінің ұқсас қабырғаларына пропорционал болса.
(қабырғалары бірдей бұрыштарға қарама-қарсы жатса, олар ұқсас деп аталады).

(Ұқсас) үшбұрыштардың ұқсастық коэффициенті деп осы үшбұрыштардың ұқсас қабырғаларының қатынасына тең санды айтады.

Анықтама

Үшбұрыштың периметрі - оның барлық қабырғаларының ұзындықтарының қосындысы.

Теорема

Ұқсас екі үшбұрыштың периметрлерінің қатынасы ұқсастық коэффициентіне тең.

Дәлелдеу

Қабырғалары сәйкесінше \(a,b,c\) және \(a_1, b_1, c_1\) болатын \(ABC\) және \(A_1B_1C_1\) үшбұрыштарын қарастырайық (жоғарыдағы суретті қараңыз).

Содан кейін \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)

Теорема

Ұқсас екі үшбұрыштың аудандарының қатынасы ұқсастық коэффициентінің квадратына тең.

Дәлелдеу

\(ABC\) және \(A_1B_1C_1\) үшбұрыштары ұқсас болсын, және \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Осы үшбұрыштардың аудандарын сәйкесінше \(S\) және \(S_1\) әріптерімен белгілейік.

\(\бұрыш A = \бұрыш A_1\) болғандықтан, онда \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(бұрыштары тең үшбұрыштардың аудандарының қатынасы туралы теорема бойынша).

Өйткені \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), Бұл \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), бұл дәлелдеуді қажет етті.

\[(\Large(\text(Үшбұрыштардың ұқсастық белгілері)))\]

Теорема (үшбұрыштар ұқсастығының бірінші белгісі)

Егер бір үшбұрыштың екі бұрышы сәйкесінше басқа үшбұрыштың екі бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар ұқсас болады.

Дәлелдеу

\(ABC\) және \(A_1B_1C_1\) \(\бұрыш A = \бұрыш A_1\) , \(\бұрыш B = \бұрыш B_1\) болатындай үшбұрыш болсын. Сонда үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теорема бойынша \(\бұрыш C = 180^\circ - \бұрыш A - \бұрыш B = 180^\circ - \бұрыш A_1 - \бұрыш B_1 = \бұрыш C_1\), яғни \(ABC\) үшбұрышының бұрыштары сәйкесінше үшбұрыштың бұрыштарына тең \(A_1B_1C_1\) .

\(\бұрыш A = \бұрыш A_1\) және \(\бұрыш B = \бұрыш B_1\) болғандықтан, онда \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)Және \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).

Осы теңдіктерден мынаны шығады \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).

Сол сияқты, бұл дәлелденген \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(теңдіктерді пайдалану \(\бұрыш B = \бұрыш B_1\) , \(\бұрыш C = \бұрыш C_1\) ).

Нәтижесінде \(ABC\) үшбұрыштың қабырғалары \(A_1B_1C_1\) үшбұрыштың ұқсас қабырғаларына пропорционал болады, бұл дәлелдеуді қажет етеді.

теорема (үшбұрыштар ұқсастығының екінші критерийі)

Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы екінші үшбұрыштың екі қабырғасына пропорционал болса және бұл қабырғалардың арасындағы бұрыштар тең болса, онда үшбұрыштар ұқсас болады.

Дәлелдеу

\(ABC\) және \(A"B"C"\) екі үшбұрышты қарастырайық \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\VAC бұрышы = \бұрыш A"\) \(ABC\) және \(A"B"C"\) үшбұрыштарының ұқсас екенін дәлелдейміз. Үшбұрыштардың ұқсастығының бірінші белгісін ескере отырып, \(\бұрыш В = \бұрыш В"\) екенін көрсету жеткілікті.

\(\бұрыш 1 = \бұрыш A"\) , \(\бұрыш 2 = \бұрыш B"\) үшбұрышты \(ABC""\) қарастырайық. \(ABC""\) және \(A"B"C"\) үшбұрыштар ұқсастығының бірінші критерийі бойынша ұқсас, содан кейін \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).

Екінші жағынан, шарт бойынша \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). Соңғы екі теңдіктен \(AC = AC""\) шығады.

\(ABC\) және \(ABC""\) үшбұрыштары екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышқа тең, сондықтан \(\ бұрыш B = \ бұрыш 2 = \ бұрыш B"\).

Теорема (үшбұрыштардың ұқсастығының үшінші белгісі)

Егер бір үшбұрыштың үш қабырғасы басқа үшбұрыштың үш қабырғасына пропорционал болса, онда үшбұрыштар ұқсас болады.

Дәлелдеу

\(ABC\) және \(A"B"C"\) үшбұрыштарының қабырғалары пропорционал болсын: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). \(ABC\) және \(A"B"C"\) үшбұрыштарының ұқсас екенін дәлелдейміз.

Ол үшін үшбұрыштардың ұқсастығының екінші критерийін ескере отырып, \(\бұрыш BAC = \бұрыш A"\) екенін дәлелдеу жеткілікті.

\(\бұрыш 1 = \бұрыш A"\) , \(\бұрыш 2 = \бұрыш B"\) үшбұрышты \(ABC""\) қарастырайық.

\(ABC""\) және \(A"B"C"\) үшбұрыштар үшбұрыштардың ұқсастығының бірінші критерийі бойынша ұқсас, сондықтан \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).

Соңғы теңдіктер мен шарттар тізбегінен \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\)одан \(BC = BC""\) , \(CA = C""A\) болатыны шығады.

\(ABC\) және \(ABC""\) үшбұрыштары үш жағында тең, сондықтан \(\ бұрыш BAC = \ бұрыш 1 = \ бұрыш A"\).

\[(\Үлкен(\мәтін(Талес теоремасы)))\]

Теорема

Егер бұрыштың бір жағында тең кесінділерді белгілеп, олардың ұштары арқылы параллель түзулер жүргізсеңіз, онда бұл түзулер екінші жағындағы тең кесінділерді де кесіп тастайды.

Дәлелдеу

Алдымен дәлелдеп алайық лемма:Егер \(\үшбұрышта OBB_1\) \(OB\) қабырғасының ортасы \(A\) арқылы \(a\параллель BB_1\) түзу жүргізілсе, онда ол \(OB_1\) жағымен де қиылысады. ортасы.

\(B_1\) нүктесі арқылы \(l\параллель ОБ\) сызамыз. \(l\cap a=K\) болсын. Сонда \(ABB_1K\) параллелограмм болады, сондықтан \(B_1K=AB=OA\) және \(\бұрыш A_1KB_1=\бұрыш ABB_1=\бұрыш OAA_1\); \(\бұрыш AA_1O=\бұрыш KA_1B_1\)тік сияқты. Сонымен, екінші белгі бойынша \(\үшбұрыш OAA_1=\үшбұрыш B_1KA_1 \Оң жақ көрсеткі OA_1=A_1B_1\). Лемма дәлелденген.

Теореманы дәлелдеуге көшейік. \(OA=AB=BC\) , \(a\параллель b\параллель с\) болсын және \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) екенін дәлелдеуіміз керек.

Осылайша, осы леммаға сәйкес \(OA_1=A_1B_1\) . \(A_1B_1=B_1C_1\) екенін дәлелдеп көрейік. \(B_1\) нүктесі арқылы \(d\параллель OC\) түзуін жүргізейік және \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\) болсын. Сонда \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) параллелограммдар, сондықтан \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . Осылайша, \(\бұрыш A_1B_1D_1=\бұрыш C_1B_1D_2\)тік сияқты \(\бұрыш A_1D_1B_1=\бұрыш C_1D_2B_1\)крест сияқты жатып, демек, екінші белгі бойынша \(\үшбұрыш A_1B_1D_1=\үшбұрыш C_1B_1D_2 \оң жақ көрсеткі A_1B_1=B_1C_1\).

Фалес теоремасы

Параллель сызықтар бұрыштың бүйірлеріндегі пропорционалды кесінділерді кесіп тастайды.

Дәлелдеу

Параллель түзулер болсын \(p\параллель q\параллель r\параллель s\)сызықтардың бірін сегменттерге бөлді \(a, b, c, d\) . Содан кейін екінші түзу сызықты сәйкесінше \(ka, kb, kc, kd\) кесінділеріне бөлу керек, мұнда \(k\) - белгілі бір сан, кесінділердің бірдей пропорционалдық коэффициенті.

\(A_1\) нүктесі арқылы \(p\параллель OD\) түзуін жүргізейік (\(ABB_2A_1\) параллелограмм, сондықтан \(AB=A_1B_2\) ). Содан кейін \(\triangle OAA_1 \sim \triangle A_1B_1B_2\)екі бұрышта. Демек, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \оң жақ көрсеткі A_1B_1=kb\).

Сол сияқты \(B_1\) арқылы түзу жүргіземіз. \(q\параллель OD \Оң жақ көрсеткі \үшбұрыш OBB_1\sim \үшбұрыш B_1C_1C_2 \Оң жақ көрсеткі B_1C_1=kc\)және т.б.

\[(\Үлкен(\мәтін(үшбұрыштың ортаңғы сызығы)))\]

Анықтама

Үшбұрыштың орта сызығы деп үшбұрыштың кез келген екі қабырғасының орта нүктелерін қосатын кесіндіні айтады.

Теорема

Үшбұрыштың орта сызығы үшінші қабырғасына параллель және оның жартысына тең.

Дәлелдеу

1) Ортаңғы сызықтың негізге параллелдігі жоғарыда дәлелденгеннен шығады леммалар.

2) \(MN=\dfrac12 AC\) екенін дәлелдеп көрейік.

\(N\) нүктесі арқылы \(AB\) -ға параллель түзу жүргіземіз. Бұл түзу \(AC\) жағымен \(K\) нүктесінде қиылыссын. Сонда \(AMNK\) параллелограмм ( \(AM\параллель NK, MN\параллель AK\)алдыңғы тармаққа сәйкес). Сонымен, \(MN=AK\) .

Өйткені \(NK\параллель AB\) және \(N\) \(BC\) ортасы, содан кейін Фалес теоремасы бойынша \(K\) \(AC\) ортаңғы нүктесі болып табылады. Демек, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\) .

Салдары

Үшбұрыштың ортаңғы сызығы одан \(\frac12\) коэффициенті бар берілгенге ұқсас үшбұрышты кесіп тастайды.

Тек екі қабырғасы параллель болатын төртбұрыш деп аталады трапеция.

Трапецияның параллель қабырғалары оның деп аталады себептері, ал параллель емес қабырғалар деп аталады жақтары. Егер жақтары тең болса, онда мұндай трапеция тең қабырғалы болады. Табандар арасындағы қашықтық трапеция биіктігі деп аталады.

Ортаңғы сызықты трапеция

Ортаңғы сызық – трапеция бүйірлерінің ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді. Трапецияның ортаңғы сызығы оның табандарына параллель.

Теорема:

Егер бір қабырғасының ортасын кесіп өтетін түзу трапеция табандарына параллель болса, онда ол трапецияның екінші қабырғасын екіге бөледі.

Теорема:

Ортаңғы жолдың ұзындығы оның табандарының ұзындықтарының орташа арифметикалық мәніне тең

MN || AB || DC
AM = MD; BN=NC

MN ортаңғы сызығы, AB және CD – табандары, AD және BC – бүйір жақтары

MN = (AB + DC)/2

Теорема:

Трапецияның орта сызығының ұзындығы оның табандарының ұзындықтарының арифметикалық ортасына тең.

Негізгі міндет: Трапецияның орта сызығы ұштары трапеция табандарының ортасында жатқан кесіндіні екіге бөлетінін дәлелдеңдер.

Үшбұрыштың ортаңғы сызығы

Үшбұрыштың екі қабырғасының ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді үшбұрыштың орта сызығы деп аталады. Ол үшінші жаққа параллель және оның ұзындығы үшінші жақтың ұзындығының жартысына тең.
Теорема: Егер үшбұрыштың бір қабырғасының ортасын қиып өтетін түзу үшбұрыштың екінші қабырғасына параллель болса, онда ол үшінші қабырғасын екіге бөледі.

AM = MC және BN = NC =>

Үшбұрыш пен трапецияның орта сызығының қасиеттерін қолдану

Кесіндіні белгілі бір тең бөліктерге бөлу.
Тапсырма: АВ кесіндісін 5 тең бөлікке бөл.
Шешімі:
Бастысы А нүктесі болатын және АВ түзуінде жатпайтын кездейсоқ сәуле p болсын. Біз p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5 бойынша 5 бірдей сегментті ретімен бөлеміз.
А 5-ті В-ге қосамыз және А 5 В-ға параллель болатын A 4, A 3, A 2 және A 1 арқылы осындай түзулерді жүргіземіз. Олар АВ-ны тиісінше B 4, B 3, B 2 және B 1 нүктелерінде қиып өтеді. Бұл нүктелер АВ кесіндісін 5 тең бөлікке бөледі. Шынында да, BB 3 A 3 A 5 трапециясынан BB 4 = B 4 B 3 екенін көреміз. Дәл осылай B 4 B 2 A 2 A 4 трапециясынан B 4 B 3 = B 3 B 2 аламыз.

Трапециядан B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1 болғанда.
Сонда B 2 AA 2-ден B 2 B 1 = B 1 A болатыны шығады. Қорытындылай келе, мынаны аламыз:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
АВ кесіндісін басқа тең бөліктерге бөлу үшін р сәулесіне бірдей кесінділердің санын проекциялау керек екені түсінікті. Содан кейін жоғарыда сипатталған тәсілмен жалғастырыңыз.

Үшбұрыштың ортаңғы сызығы - оның екі қабырғасының ортасын қосатын кесінді. Тиісінше, әрбір үшбұрышта үш ортаңғы сызық бар. Ортаңғы сызықтың сапасын, сондай-ақ үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарын және оның бұрыштарын біле отырып, ортаңғы сызықтың ұзындығын анықтауға болады.

Саған қажет болады

• Үшбұрыштың қабырғалары, үшбұрыштың бұрыштары

Нұсқаулар

1. ABC MN үшбұрышында АВ (М нүктесі) және АС (N нүктесі) қабырғаларының ортаңғы нүктелерін қосатын ортаңғы сызық болсын, қасиеті бойынша 2 қабырғасының ортасын қосатын үшбұрыштың орта сызығы үшінші қабырғасына параллель және оның жартысына тең. ол. Бұл MN ортаңғы сызығы BC жағына параллель болады және BC/2-ге тең болады, демек, үшбұрыштың орта сызығының ұзындығын анықтау үшін осы нақты үшінші жақтың қабырғасының ұзындығын білу жеткілікті.

2. Енді қабырғалары белгілі болсын, олардың ортаңғы нүктелері MN ортаңғы сызығымен, яғни АВ және АС, сондай-ақ олардың арасындағы BAC бұрышы арқылы қосылған. Өйткені MN ортаңғы сызық, онда AM = AB/2, ал AN = AC/2 Сонда косинус теоремасы бойынша объективті түрде: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Демек, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Егер АВ және АС қабырғалары белгілі болса, онда MN орта сызығын ABC немесе ACB бұрышын білу арқылы табуға болады. ABC бұрышы әйгілі делік. Өйткені MN орта сызығының қасиеті бойынша ВС параллель болса, онда ABC және AMN бұрыштары сәйкес келеді, демек, ABC = AMN. Сонда косинус теоремасы бойынша: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Демек, MN жағын (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0 квадрат теңдеуінен табуға болады.

2-кеңес: Шаршы үшбұрыштың қабырғасын қалай табуға болады

Шаршы үшбұрышты тікбұрышты үшбұрыш деп атаған дұрыс. Осының қабырғалары мен бұрыштары арасындағы байланыстар геометриялық фигуратригонометрияның математикалық пәнінде егжей-тегжейлі талқыланады.

Саған қажет болады

• - қағаз;
• - қалам;
• – Bradis үстелдері;
• - калькулятор.

Нұсқаулар

1. Ашу жағытікбұрышты үшбұрышПифагор теоремасының қолдауымен. Бұл теорема бойынша гипотенузаның квадраты катеттердің квадраттарының қосындысына тең: c2 = a2+b2, мұндағы c - гипотенуза. үшбұрыш, a және b - оның аяқтары. Бұл теңдеуді қолдану үшін тіктөртбұрыштың кез келген 2 қабырғасының ұзындығын білу керек үшбұрыш .

2. Егер шарттар аяқтардың өлшемдерін көрсетсе, гипотенузаның ұзындығын табыңыз. Мұны істеу үшін калькуляторды пайдаланып, аяқтардың қосындысының квадрат түбірін алыңыз, олардың әрқайсысын алдын ала квадратқа бөліңіз.

3. Егер сіз гипотенузаның және екінші аяқтың өлшемдерін білсеңіз, бір аяқтың ұзындығын есептеңіз. Калькуляторды пайдаланып, гипотенузаның квадраты мен жетекші катеттің де квадратының арасындағы айырманың квадрат түбірін шығарыңыз.

4. Егер мәселе гипотенузаны және оған жақын орналасқан сүйір бұрыштардың бірін көрсетсе, Брадис кестелерін пайдаланыңыз. Олар көптеген бұрыштар үшін тригонометриялық функциялардың мәндерін береді. Синус және косинус функциялары бар калькуляторды, сондай-ақ тікбұрыштың қабырғалары мен бұрыштары арасындағы қатынастарды сипаттайтын тригонометрия теоремаларын пайдаланыңыз. үшбұрыш .

5. Негізгі тригонометриялық функцияларды пайдаланып, катеттерді табыңыз: a = c*sin?, b = c*cos?, мұндағы а бұрышқа қарама-қарсы катет?, b бұрышқа іргелес катет?. Бүйірлердің өлшемін дәл осылай есептеңіз үшбұрыш, егер гипотенуза және т.б өткір бұрыш: b = c*sin?, a = c*cos?, мұндағы b бұрышқа қарама-қарсы аяқ?, ал аяқ бұрышқа іргелес пе?.

6. Егер біз а катетін және оған іргелес сүйір бұрышты алсақ?, тікбұрышты үшбұрышта сүйір бұрыштардың қосындысы өзгермейтін түрде 90°-қа тең болатынын ұмытпаңыз: ? + ? = 90°. a катетіне қарама-қарсы бұрыштың мәнін табыңыз: ? = 90° – ?. Немесе тригонометриялық азайту формулаларын қолданыңыз: күнә? = sin (90° – ?) = cos ?; тг? = тг (90° – ?) = ctg ? = 1/тг?.

7. Егер бізде а катеті және оған қарама-қарсы сүйір бұрыш?, Брэдис кестелерін, калькуляторды және тригонометриялық функцияларды пайдаланып, гипотенузаны мына формуламен есептеңіз: c=a*sin?, катет: b=a*tg?.

Тақырып бойынша бейнеролик

1-суретте екі үшбұрыш көрсетілген. ABC үшбұрышы A1B1C1 үшбұрышына ұқсас. Ал іргелес қабырғалары пропорционал, яғни АВ А1В1-ге, АС А1С1-ге тең. Осы екі шарттан үшбұрыштардың ұқсастығы шығады.

Үшбұрыштың ортаңғы сызығын қалай табуға болады – түзулердің параллельдігінің белгісі

2-суретте a және b сызықтары, секант с. Бұл 8 бұрыш жасайды. 1 және 5 бұрыштар сәйкес, егер түзулер параллель болса, онда сәйкес бұрыштар тең болады және керісінше.

Үшбұрыштың орта сызығын қалай табуға болады

3-суретте М - АВ ортасы, ал N - АС ортасы, ВС негізі. MN сегменті үшбұрыштың орта сызығы деп аталады. Теореманың өзі былай дейді: Үшбұрыштың орта сызығы табанына параллель және оның жартысына тең.

MN үшбұрыштың орта сызығы екенін дәлелдеу үшін бізге үшбұрыштардың ұқсастығына екінші сынау және түзулердің параллельдігін тексеру керек.

AMN үшбұрышы екінші критерий бойынша ABC үшбұрышына ұқсас. Ұқсас үшбұрыштарда сәйкес бұрыштар тең, 1 бұрыш 2 бұрышқа тең және екі түзу көлденең сызықпен қиылысқанда бұл бұрыштар сәйкес болады, сондықтан түзулер параллель, MN ВС параллель. А бұрышы ортақ, AM/AB = AN/AC = ½

Бұл үшбұрыштардың ұқсастық коэффициенті ½, одан ½ = MN/BC, MN = ½ BC шығады.


Сонымен, біз үшбұрыштың ортаңғы сызығын таптық және үшбұрыштың ортаңғы сызығы туралы теореманы дәлелдедік, егер сіз әлі де орта сызықты қалай табуға болатынын түсінбесеңіз, төмендегі бейнені қараңыз.

Үшбұрыштың ортаңғы сызығы - оның екі қабырғасының ортасын қосатын кесінді. Тиісінше, әрбір үшбұрышта үш ортаңғы сызық бар. Ортаңғы сызықтың сапасын, сондай-ақ үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарын және оның бұрыштарын біле отырып, ортаңғы сызықтың ұзындығын анықтауға болады.

Саған қажет болады

• Үшбұрыштың қабырғалары, үшбұрыштың бұрыштары

Нұсқаулар

1. ABC MN үшбұрышында АВ (М нүктесі) және АС (N нүктесі) қабырғаларының ортаңғы нүктелерін қосатын ортаңғы сызық болсын, қасиеті бойынша 2 қабырғасының ортасын қосатын үшбұрыштың орта сызығы үшінші қабырғасына параллель және оның жартысына тең. ол. Бұл MN ортаңғы сызығы BC жағына параллель болады және BC/2-ге тең болады, демек, үшбұрыштың орта сызығының ұзындығын анықтау үшін осы нақты үшінші жақтың қабырғасының ұзындығын білу жеткілікті.

2. Енді қабырғалары белгілі болсын, олардың ортаңғы нүктелері MN ортаңғы сызығымен, яғни АВ және АС, сондай-ақ олардың арасындағы BAC бұрышы арқылы қосылған. Өйткені MN ортаңғы сызық, онда AM = AB/2, ал AN = AC/2 Сонда косинус теоремасы бойынша объективті түрде: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Демек, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Егер АВ және АС қабырғалары белгілі болса, онда MN орта сызығын ABC немесе ACB бұрышын білу арқылы табуға болады. ABC бұрышы әйгілі делік. Өйткені MN орта сызығының қасиеті бойынша ВС параллель болса, онда ABC және AMN бұрыштары сәйкес келеді, демек, ABC = AMN. Сонда косинус теоремасы бойынша: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Демек, MN жағын (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0 квадрат теңдеуінен табуға болады.

Шаршы үшбұрышты тікбұрышты үшбұрыш деп атаған дұрыс. Бұл геометриялық фигураның қабырғалары мен бұрыштары арасындағы байланыстар тригонометрияның математикалық пәнінде егжей-тегжейлі қарастырылады.

Саған қажет болады

• - қағаз;
• - қалам;
• — Bradis үстелдері;
• - калькулятор.

Нұсқаулар

1. Ашу жағытікбұрышты үшбұрышПифагор теоремасының қолдауымен. Бұл теорема бойынша гипотенузаның квадраты катеттердің квадраттарының қосындысына тең: c2 = a2+b2, мұндағы c - гипотенуза. үшбұрыш, a және b - оның аяқтары. Бұл теңдеуді қолдану үшін тіктөртбұрыштың кез келген 2 қабырғасының ұзындығын білу керек үшбұрыш .

2. Егер шарттар аяқтардың өлшемдерін көрсетсе, гипотенузаның ұзындығын табыңыз. Мұны істеу үшін калькуляторды пайдаланып, аяқтардың қосындысының квадрат түбірін алыңыз, олардың әрқайсысын алдын ала квадратқа бөліңіз.

3. Егер сіз гипотенузаның және екінші аяқтың өлшемдерін білсеңіз, бір аяқтың ұзындығын есептеңіз. Калькуляторды пайдаланып, гипотенузаның квадраты мен жетекші катеттің де квадратының арасындағы айырманың квадрат түбірін шығарыңыз.

4. Егер мәселе гипотенузаны және оған жақын орналасқан сүйір бұрыштардың бірін көрсетсе, Брадис кестелерін пайдаланыңыз. Олар көптеген бұрыштар үшін тригонометриялық функциялардың мәндерін береді. Синус және косинус функциялары бар калькуляторды, сондай-ақ тікбұрыштың қабырғалары мен бұрыштары арасындағы қатынастарды сипаттайтын тригонометрия теоремаларын пайдаланыңыз. үшбұрыш .

5. Негізгі тригонометриялық функцияларды пайдаланып, катеттерді табыңыз: a = c*sin?, b = c*cos?, мұндағы а бұрышқа қарама-қарсы катет?, b бұрышқа іргелес катет?. Бүйірлердің өлшемін дәл осылай есептеңіз үшбұрыш, егер гипотенуза және басқа сүйір бұрыш берілсе: b = c*sin?, a = c*cos?, мұндағы b бұрышқа қарама-қарсы катет?, ал катет бұрышқа іргелес пе?.

6. Егер біз а катетін және оған іргелес сүйір бұрышты алсақ?, тікбұрышты үшбұрышта сүйір бұрыштардың қосындысы өзгермейтін түрде 90°-қа тең болатынын ұмытпаңыз: ? + ? = 90°. a катетіне қарама-қарсы бұрыштың мәнін табыңыз: ? = 90° – ?. Немесе тригонометриялық азайту формулаларын қолданыңыз: күнә? = sin (90° – ?) = cos ?; тг? = тг (90° – ?) = ctg ? = 1/тг?.

7. Егер бізде а катеті және оған қарама-қарсы сүйір бұрыш?, Брэдис кестелерін, калькуляторды және тригонометриялық функцияларды пайдаланып, гипотенузаны мына формуламен есептеңіз: c=a*sin?, катет: b=a*tg?.

Тақырып бойынша бейнеролик

Кейде мектепте түсіндірілетін тақырыптар әрқашан бірінші рет анық болмауы мүмкін. Бұл әсіресе математика сияқты пәнге қатысты. Бірақ бұл ғылым екі бөлікке: алгебра және геометрияға бөліне бастағанда бәрі әлдеқайда күрделене түседі.

Әрбір оқушының екі саланың бірінде қабілеті болуы мүмкін, бірақ әсіресе бастауыш сыныптарда алгебра мен геометрияның негізін түсіну маңызды. Геометрияда негізгі тақырыптардың бірі үшбұрыштар бөлімі болып саналады.

Үшбұрыштың орта сызығын қалай табуға болады? Оны анықтап көрейік.

Негізгі ұғымдар

Үшбұрыштың орта сызығын қалай табуға болатынын анықтау үшін оның не екенін түсіну маңызды.

Ортаңғы сызықты сызуға ешқандай шектеулер жоқ: үшбұрыш кез келген нәрсе болуы мүмкін (тең қабырғалы, тең қабырғалы, тікбұрышты). Ал ортаңғы сызыққа қатысты барлық қасиеттер күшінде болады.

Үшбұрыштың ортаңғы сызығы - оның екі қабырғасының ортасын қосатын кесінді. Сондықтан кез келген үшбұрышта осындай 3 түзу болуы мүмкін.

Қасиеттер

Үшбұрыштың орта сызығын қалай табуға болатынын білу үшін оның есте сақтауды қажет ететін қасиеттерін белгілейік, әйтпесе оларсыз ортаңғы сызықтың ұзындығын белгілеу қажеттілігі бар мәселелерді шешу мүмкін емес, өйткені барлық алынған мәліметтер дәлелденуі керек. және теоремалармен, аксиомалармен немесе қасиеттермен дәлелдеді.

Сонымен, «АВС үшбұрышының орта сызығын қалай табуға болады?» деген сұраққа жауап беру үшін үшбұрыштың бір қабырғасын білу жеткілікті.

Мысал келтірейік

Суретке қараңызшы. Ол орта сызығы DE бар ABC үшбұрышын көрсетеді. Үшбұрышта АС негізіне параллель екенін ескеріңіз. Демек, AC мәні қандай болса да, орташа DE сызығы екі есе үлкен болады. Мысалы, AC=20 DE=10, т.б.

Осы қарапайым тәсілдермен сіз үшбұрыштың орта сызығын қалай табуға болатындығын түсіне аласыз. Оның негізгі қасиеттерін және анықтамасын есте сақтаңыз, содан кейін оның мағынасын табуда ешқашан қиындықтар болмайды.