§3. Números coprimos e suas propriedades. Números coprimos - definição, exemplos e propriedades Todos os números coprimos

Neste artigo falaremos sobre o que são números coprimos. No primeiro parágrafo formulamos definições para dois, três ou mais números relativamente primos, damos vários exemplos e mostramos em que casos dois números podem ser considerados primos entre si. Depois disso, passamos à formulação das principais propriedades e suas provas. No último parágrafo falaremos sobre um conceito relacionado - números primos pareados.

O que são números coprimos

Dois números inteiros ou mais deles podem ser mutuamente primos. Primeiro, vamos apresentar uma definição para dois números, para os quais precisamos do conceito de seu máximo divisor comum. Se necessário, repita o material a ele dedicado.

Definição 1

Dois desses números a e b serão mutuamente primos, cujo máximo divisor comum é igual a 1, ou seja, MDC (uma, b) = 1.

Desta definição podemos concluir que o único divisor comum positivo de dois números primos será igual a 1. Apenas dois desses números têm dois divisores comuns - um e menos um.

Quais são alguns exemplos de números coprimos? Por exemplo, tal par seria 5 e 11. Eles possuem apenas um divisor positivo comum, igual a 1, o que confirma sua simplicidade mútua.

Se tomarmos dois números primos, então, em relação um ao outro, eles serão mutuamente primos em todos os casos; no entanto, essas relações mútuas também são formadas entre números compostos. Há casos em que um número em um par relativamente primo é composto e o segundo é primo, ou ambos são compostos.

Esta afirmação é ilustrada pelo seguinte exemplo: os números compostos 9 e 8 formam um par relativamente primo. Vamos provar isso calculando seu máximo divisor comum. Para fazer isso, anotamos todos os seus divisores (recomendamos reler o artigo sobre como encontrar os divisores de um número). Para 8 esses números serão ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, e para 9 – ± 1, ± 3, ± 9. Escolhemos entre todos os divisores aquele que será comum e maior - esta é a unidade. Portanto, se mdc (8, − 9) = 1, então 8 e - 9 serão primos entre si.

Os números coprimos não são 500 e 45, pois possuem outro divisor comum - 5 (ver artigo sobre critérios de divisibilidade por 5). Cinco é maior que um e é um número positivo. Outro par semelhante poderia ser - 201 e 3, pois ambos podem ser divididos por 3, conforme indicado pelo sinal de divisibilidade correspondente.

Na prática, muitas vezes é necessário determinar a primocidade relativa de dois inteiros. Descobrir isso pode ser reduzido a encontrar o máximo divisor comum e compará-lo com a unidade. Também é conveniente utilizar uma tabela de números primos para não fazer cálculos desnecessários: se um dos números dados estiver nesta tabela, então ele é divisível apenas por um e por si mesmo. Vejamos a solução para esse problema.

Exemplo 1

Doença: descubra se os números 275 e 84 são coprimos.

Solução

Ambos os números têm claramente mais de um divisor, portanto não podemos chamá-los imediatamente de relativamente primos.

Calculamos o máximo divisor comum usando o algoritmo euclidiano: 275 = 84 3 + 23, 84 = 23 3 + 15, 23 = 15 1 + 8, 15 = 8 1 + 7, 8 = 7 1 + 1, 7 = 7 · 1.

Responder: como GCD (84, 275) = 1, esses números serão relativamente primos.

Como dissemos anteriormente, a definição de tais números pode ser estendida aos casos em que não temos dois números, mas mais.

Definição 2

Os inteiros a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 serão mutuamente primos quando tiverem um máximo divisor comum igual a 1 .

Por outras palavras, se tivermos um conjunto de alguns números com o maior divisor positivo maior que 1, então todos estes números não são mutuamente inversos entre si.

Vejamos alguns exemplos. Assim, os inteiros − 99, 17 e − 27 são relativamente primos. Qualquer número de números primos será coprimo em relação a todos os membros da população, como nas sequências 2, 3, 11, 19, 151, 293 e 667. Mas os números 12, − 9, 900 e − 72 não serão relativamente primos, pois além da unidade terão mais um divisor positivo igual a 3. O mesmo se aplica aos números 17, 85 e 187: exceto um, todos podem ser divididos por 17.

Normalmente, a primazia mútua dos números não é óbvia à primeira vista; esse fato precisa de prova. Para descobrir se alguns números são relativamente primos, você precisa encontrar seu máximo divisor comum e tirar uma conclusão com base em sua comparação com um.

Exemplo 2

Doença: determine se os números 331, 463 e 733 são relativamente primos.

Solução

Vamos verificar a tabela de números primos e determinar se todos esses três números estão nela. Então seu divisor comum só pode ser um.

Responder: todos esses números serão coprimos entre si.

Exemplo 3

Doença: dê uma prova de que os números − 14, 105, − 2 107 e − 91 não são coprimos.

Solução

Vamos começar identificando seu máximo divisor comum e depois nos certificar de que não é igual a 1. Como os números negativos têm os mesmos divisores que os positivos correspondentes, então mdc (− 14, 105, 2 107, − 91) = mdc (14, 105, 2 107, 91). De acordo com as regras que demos no artigo sobre como encontrar o máximo divisor comum, neste caso o mdc será igual a sete.

Responder: sete é maior que um, o que significa que esses números não são relativamente primos.

Propriedades básicas de números coprimos

Esses números têm alguns praticamente propriedades importantes. Vamos listá-los em ordem e prová-los.

Definição 3

Se dividirmos os inteiros aeb pelo número correspondente ao seu máximo divisor comum, obteremos números relativamente primos. Em outras palavras, a: GCD (a, b) e b: GCD (a, b) serão relativamente primos.

Já comprovamos esta propriedade. A prova pode ser encontrada no artigo sobre as propriedades do máximo divisor comum. Graças a ele, podemos determinar pares de números relativamente primos: só precisamos pegar dois inteiros quaisquer e dividir por MDC. Como resultado, devemos obter números coprimos.

Definição 4

Uma condição necessária e suficiente para a primocidade mútua dos números a e b é a existência de tais inteiros você 0 E v 0, para o qual a igualdade uma · você 0 + b · v 0 = 1 será verdade.

Evidência 1

Comecemos provando a necessidade desta condição. Digamos que temos dois números relativamente primos, denotados por a e b. Então, pela definição deste conceito, seu máximo divisor comum será igual a um. Pelas propriedades do GCD sabemos que para os inteiros aeb existe uma relação de Bezout a · u 0 + b · v 0 = MDC (a , b). Disto obtemos isso uma · você 0 + b · v 0 = 1. Depois disso, precisamos comprovar a suficiência da condição. Deixe a igualdade uma · você 0 + b · v 0 = 1 será verdade neste caso se GCD (a, b) divide e um , e b , então também dividirá a soma a · você 0 + b · v 0, e unidade, respectivamente (isso pode ser argumentado com base nas propriedades de divisibilidade). E isso só é possível se MDC (a, b) = 1, o que prova a simplicidade mútua de a e b.

Na verdade, se aeb são coprimos, então de acordo com a propriedade anterior, a igualdade será verdadeira uma · você 0 + b · v 0 = 1. Multiplicamos ambos os lados por c e obtemos isso a · c · u 0 + b · c · v 0 = c. Podemos dividir o primeiro termo a · c · u 0 + b · c · v 0 por b, porque isso é possível para a · c, e o segundo termo também é divisível por b, porque um dos nossos fatores é igual a b. Disto concluímos que toda a soma pode ser dividida por b, e como essa soma é igual a c, então c pode ser dividido por b.

Definição 5

Se dois inteiros aeb são coprimos, então mdc (a c, b) = mdc (c, b).

Evidência 2

Vamos provar que GCD (a c, b) dividirá GCD (c, b), e depois disso, que GCD (c, b) dividirá GCD (a c, b), o que será a prova da correção da igualdade GCD (a · c , b) = GCD (c , b) .

Como o GCD (a · c, b) divide a · c e b, e o GCD (a · c, b) divide b, então também dividirá b · c. Isso significa que GCD (a c, b) divide tanto a c quanto b c, portanto, devido às propriedades do GCD, ele também divide GCD (a c, b c), que será igual a c GCD (a, b ) = c . Portanto, GCD (a · c, b) divide b e c, portanto, também divide GCD (c, b).

Também pode ser dito que, como o GCD (c, b) divide c e b, então ele dividirá c e a c. Isso significa que o GCD (c, b) divide tanto a · c quanto b, portanto, também divide o GCD (a · c, b).

Assim, mdc (a c, b) e mdc (c, b) se dividem mutuamente, o que significa que são iguais.

Definição 6

Se os números forem da sequência uma 1 , uma 2 , … , uma k será relativamente primo em relação aos números da sequência b 1, b 2, …, b m(no valores naturais k e m), então seus produtos a 1 · a 2 · … · a k E b 1 · b 2 · … · b m também são relativamente primos, em particular, uma 1 = uma 2 = … = uma k = uma E b 1 = b 2 = … = b m = b, Que um k E bm– mutuamente simples.

Evidência 3

De acordo com a propriedade anterior, podemos escrever igualdades da seguinte forma: GCD (a 1 · a 2 · … · a k, b m) = GCD (a 2 · … · a k, b m) = … = GCD (a k, b m) = 1. A possibilidade da última transição é garantida pelo fato de que a k e b m são relativamente primos por condição. Isso significa GCD (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = 1 .

Denotemos a 1 · a 2 · … · a k = A e obtenhamos que MDC (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = MDC (b 1 · b 2 · … · b m , A) = GCD (b 2 · … · b · b m , A) = … = GCD (b m , A) = 1 . Isto será verdade devido à última igualdade da cadeia construída acima. Assim, temos a igualdade GCD (b 1 · b 2 · … · b m, a 1 · a 2 · … · a k) = 1, com a qual podemos provar a primocidade mútua dos produtos a 1 · a 2 · … · a k E b 1 · b 2 · … · b m

Estas são todas as propriedades dos números coprimos sobre as quais gostaríamos de falar.

O conceito de números primos pareados

Sabendo o que são números primos, podemos formular uma definição de números primos pareados.

Definição 7

Números primos emparelhadosé uma sequência de inteiros a 1 , a 2 , ... , a k , onde cada número será relativamente primo em relação aos outros.

Um exemplo de sequência de números primos aos pares seria 14, 9, 17 e - 25. Aqui todos os pares (14 e 9, 14 e 17, 14 e − 25, 9 e 17, 9 e − 25, 17 e − 25) são coprimos. Observe que a condição de primo mútuo é obrigatória para números primos aos pares, mas os números primos mutuamente não serão primos aos pares em todos os casos. Por exemplo, na sequência 8, 16, 5 e 15, os números não são tais números, pois 8 e 16 não serão relativamente primos.

Você também deve se concentrar no conceito de coleção de um certo número de números primos. Eles sempre serão simples mutuamente e em pares. Um exemplo seria a sequência 71, 443, 857, 991. No caso de números primos, os conceitos de primo mútuo e de par coincidirão.

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Exceto ±1.

• 14 e 25 são relativamente primos, pois não possuem fatores comuns;
• 15 e 25 não são primos porque têm um fator comum de 5;

Representação visual: se você construir uma “floresta” em um plano instalando “árvores” de espessura zero em pontos com coordenadas inteiras, então a partir da origem das coordenadas apenas as árvores cujas coordenadas são coprimas serão visíveis, veja a figura à direita como um exemplo da visibilidade de uma “árvore” com coordenadas (9 , 4).

Designações

Para indicar a primazia relativa dos números m (\estilo de exibição m) E n (\estilo de exibição n) a designação usada é:

m ⊥ n. (\ displaystyle m \ perp n.)

No entanto, nem todos os matemáticos reconhecem e utilizam esta notação. A redação mais comumente usada ou notação equivalente é mdc (a, b) = 1 (\ displaystyle \ gcd (a, b) = 1), que significa: "o máximo divisor comum de números a E bé igual a 1".

Definições relacionadas

• Se em um conjunto de números qualquer dois números são primos, então esses números são chamados coprime aos pares. Para dois números, os conceitos “coprimos” e “coprimos pares” coincidem.

Exemplos

• 8, 15 não são simples, mas relativamente simples.
• 6, 8, 9 são números coprimos (coletivamente), mas não números coprimos aos pares.
• 8, 15, 49 são coprimos aos pares.

Propriedades

• Números uma (\estilo de exibição a) E b (\estilo de exibição b) são relativamente primos se e somente se uma das condições equivalentes for satisfeita:
• Quaisquer dois números primos (diferentes) são coprimos.
• Se uma (\estilo de exibição a)- divisor de produto b c (\estilo de exibição bc), E uma (\estilo de exibição a) reciprocamente apenas com b (\estilo de exibição b), Que uma (\estilo de exibição a)- divisor c (\estilo de exibição c).
• Se os números a 1 , … , a n (\displaystyle a_(1),\ldots ,a_(n)) são números mutuamente primos aos pares, então NOC(uma 1 , … , uma n) = | uma 1 ⋅ … ⋅ uma n | (\displaystyle (a_(1),\ldots ,a_(n))=|a_(1)\cdot \ldots \cdot a_(n)|). Por exemplo, NOC (9, 11) = 9 ⋅ 11 = 99 (\displaystyle (9,11)=9\cdot 11=99).
• A probabilidade de qualquer k (\estilo de exibição k) inteiros positivos selecionados aleatoriamente serão coprimos, iguais a, no sentido de que quando N → ∞ (\estilo de exibição N\to \infty ) a probabilidade de que k (\estilo de exibição k) inteiros positivos menores que N (\estilo de exibição (\estilo de texto (N)))(e escolhido aleatoriamente) será relativamente primo, tende a 1 ζ (k) (\displaystyle (\dfrac (1)(\zeta (k)))). Aqui ζ (k) (\ displaystyle \ zeta (k))- Esse

Os livros didáticos de matemática às vezes são difíceis de entender. A linguagem seca e clara dos autores nem sempre é fácil de entender. E os tópicos ali estão sempre interligados e mutuamente consequentes. Para dominar um tópico, você precisa levantar vários tópicos anteriores e, às vezes, até folhear o livro inteiro. Difícil? Sim. Vamos correr o risco de contornar essas dificuldades e tentar encontrar uma abordagem não padronizada para o tema. Vamos fazer uma espécie de excursão pela terra dos números. Porém, ainda deixaremos a definição igual, porque as regras da matemática não podem ser canceladas. Portanto, os números coprimos são números naturais com um divisor comum igual a um. Está claro? Bastante.

Para um exemplo mais visual, tomemos os números 6 e 13. Ambos são divisíveis por um (coprime). Mas os números 12 e 14 não podem ser assim, pois são divisíveis não só por 1, mas também por 2. Os números seguintes, 21 e 47, também não se enquadram na categoria de “números primos”: podem ser divididos não apenas por 1, mas também por 7.

Os números coprimos são denotados da seguinte forma: ( A, y) = 1.

Pode-se dizer de forma ainda mais simples: o divisor comum (maior) aqui é igual a um.
Por que precisamos desse conhecimento? Existem razões suficientes.

Mutuamente incluídos em alguns sistemas de criptografia. Quem trabalha com cifras de Hill ou sistema de substituição de César entende: sem esse conhecimento não se chega a lugar nenhum. Se você já ouviu falar sobre geradores, é improvável que ouse negar: eles também usam números relativamente primos.

Agora vamos falar sobre formas de obter esses simples, como você entende, eles só podem ter dois divisores: são divisíveis por si mesmos e por um. Digamos que 11, 7, 5, 3 sejam números primos, mas 9 não, porque esse número já é divisível por 9, 3 e 1.

E se A- o número é primo e no- do conjunto (1, 2, ... A- 1), então é garantido ( A, no) = 1, ou números coprimos - A E no.

Isto não é nem mesmo uma explicação, mas uma repetição ou resumo do que acabou de ser dito.

A obtenção de números primos é possível; porém, para números grandes (bilhões, por exemplo), esse método é muito longo, mas, diferentemente das superfórmulas, que às vezes cometem erros, é mais confiável.

Você pode trabalhar selecionando no > A. Para fazer isso, y é escolhido de modo que o número em A não compartilhou. Para fazer isso, um número primo é multiplicado por um número natural e uma quantidade é adicionada (ou, ao contrário, subtraída) (por exemplo, R), que é menos A:

você = R um + k

Se, por exemplo, A = 71, R= 3, q=10, então, respectivamente, no aqui será igual a 713. Outra seleção é possível, com graus.

Os números compostos, ao contrário dos números relativamente primos, são divisíveis por si próprios, por 1 e por outros números (também sem resto).

Em outras palavras, (exceto um) são divididos em compostos e simples.

Os números primos são números naturais que não possuem divisores não triviais (diferentes do próprio número e da unidade). O seu papel é especialmente importante na criptografia moderna e em rápido desenvolvimento de hoje, graças à qual a disciplina, anteriormente considerada extremamente abstrata, tornou-se tão procurada: os algoritmos de proteção de dados estão em constante melhoria.

O maior número primo foi encontrado pelo oftalmologista Martin Nowak, que participou do projeto GIMPS (computação distributiva) junto com cerca de 15 mil outros entusiastas. Os cálculos levaram seis longos anos. Duas dúzias e meia de computadores localizados na clínica oftalmológica de Novak estavam envolvidos. O resultado de trabalho titânico e perseverança foi o número 225964951-1, escrito em 7816230 casas decimais. Aliás, o recorde do maior número foi estabelecido seis meses antes dessa descoberta. E havia meio milhão de sinais a menos.

Um gênio que quiser nomear o número onde a duração da notação decimal “saltará” a marca dos dez milhões tem a chance de receber não apenas fama mundial, mas também US$ 100.000. A propósito, pelo número que ultrapassou a marca de um milhão de dígitos, Nayan Khairatwal recebeu uma quantia menor (US$ 50.000).

$p$ é chamado de número primo se tiver apenas $2$ divisores: $1$ e ele mesmo.

O divisor de um número natural $a$ é um número natural que divide o número original $a$ sem deixar resto.

Exemplo 1

Encontre os divisores do número $6$.

Solução: Precisamos encontrar todos os números pelos quais o número $6$ é divisível sem resto. Estes serão os números: $1,2,3, 6$. Portanto, o divisor do número $6$ serão os números $1,2,3,6.$

Resposta: $1,2,3,6$.

Isso significa que, para encontrar os divisores de um número, você precisa encontrar todos os números naturais nos quais esse número é divisível sem deixar resto. É fácil ver que o número $1$ será um divisor de qualquer número natural.

Definição 2

Composto Eles chamam um número que possui outros divisores além de um e dele mesmo.

Um exemplo de número primo seria o número $13$, um exemplo de número composto seria $14.$

Nota 1

O número $1$ tem apenas um divisor - o próprio número, portanto não é primo nem composto.

Números coprimos

Definição 3

Números mutuamente primos eles são aqueles cujo mdc é igual a $1$. Isso significa que para descobrir se os números são relativamente primos, você precisa encontrar seu mdc e compará-lo com $1$.

Coprimo emparelhado

Definição 4

Se em um conjunto de números quaisquer dois são primos, então tais números são chamados coprime aos pares. Para dois números, os conceitos “coprimos” e “coprimos pares” coincidem.

Exemplo 2

US$ 8, US$ 15 – não é simples, mas relativamente simples.

$6, 8, 9$ são números coprimos, mas não números coprimos aos pares.

$8, 15, 49$ são pares relativamente primos.

Como vemos, para determinar se os números são relativamente primos, é necessário primeiro fatorá-los em fatores primos. Vamos prestar atenção em como fazer isso corretamente.

Fatoração principal

Por exemplo, vamos fatorar o número $180$ em fatores primos:

$180=2\cponto 2\cponto 3\cponto 3\cponto 5$

Vamos usar a propriedade das potências, então obtemos,

$180=2^2\cponto 3^2\cponto 5$

Esta notação de decomposição em fatores primos é chamada canônica, ou seja, para fatorar um número na forma canônica, é necessário usar a propriedade das potências e representar o número como um produto de potências com bases diferentes

Expansão canônica de um número natural na forma geral

A expansão canônica de um número natural na forma geral tem a forma:

$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$

onde $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ são números primos e expoentes são números naturais.

Representar um número como uma decomposição canônica em conjuntos primos torna mais fácil encontrar o máximo divisor comum dos números e atua como consequência da prova ou definição de números primos.

Exemplo 3

Encontre o máximo divisor comum dos números $180$ e $240$.

Solução: vamos decompor os números em conjuntos simples usando decomposição canônica

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, então $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, então $240=2^4\cdot 3\cdot 5$

Agora vamos encontrar o mdc desses números, para isso escolhemos potências com a mesma base e com o menor expoente, então

$MDC\(180;240)= 2^2\cponto 3\cponto 5=60$

Vamos compor algoritmo para encontrar o GCD levando em consideração a fatoração canônica em fatores primos.

Para encontrar o máximo divisor comum de dois números usando expansão canônica, você precisa:

1. fatorar números em fatores primos na forma canônica
2. escolha potências com a mesma base e com o menor expoente das potências incluídas na expansão desses números
3. Encontre o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o máximo divisor comum desejado.

Exemplo 4

Determine se os números $195$ e $336$ são números primos e coprimos.

$ 195 = 3\cponto 5\cponto 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$MDC\(195;336) =3\cponto 5=15$

Vemos que o mdc destes números é diferente de $1$, o que significa que os números não são relativamente primos. Vemos também que cada um dos números inclui fatores, além de $1$ e do próprio número, o que significa que os números não serão primos, mas serão compostos.

Exemplo 5

Determine se os números $39$ e $112$ são números primos e coprimos.

Solução: Vamos usar a fatoração canônica:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$MDC\(39;112)=1$

Vemos que o mdc destes números é igual a $1$, o que significa que os números são relativamente primos. Vemos também que cada um dos números inclui fatores, além de $1$ e do próprio número, o que significa que os números não serão primos, mas serão compostos.

Exemplo 6

Determine se os números $883$ e $997$ são números primos e coprimos.

Solução: Vamos usar a fatoração canônica:

$883=1\cponto 883$

$997=1\cponto 997$

$MDC\(883;997)=1$

Vemos que o mdc destes números é igual a $1$, o que significa que os números são relativamente primos. Vemos também que cada número inclui apenas fatores iguais a $1$ e o próprio número, o que significa que os números serão primos.

Palavras-chave: teoria dos números, palestras, números mutuamente primos.

Definição. Os inteiros a e b são relativamente primos se (a, b) = 1.

Dois números aeb são coprimos se e somente se existem inteiros uev tais que au + bv = 1.

Seja X = ( x n | n = 1, 2,...) uma sequência arbitrária estritamente crescente de números naturais (ou, se preferir, X seja um subconjunto arbitrário de números naturais, ordenados de maneira natural). Denotemos por ξ(N; X) o número de termos da sequência X que não excede N .

Definição. O número é chamado de densidade (assintótica superior) da sequência X = (x n | n = 1, 2,...) no conjunto N.

Exemplo 1. Seja x n = 2n, onde n passa por N, a sequência de todos os números pares. É óbvio que

A propósito, isto concorda bem com as nossas ideias intuitivas de que existem metade dos números pares.

Exemplo 2. Seja x n =2 n, onde n passa por N, é uma progressão geométrica. É intuitivamente claro que existem poucos números desse tipo na série natural, porque quanto mais se avança na floresta na série natural, menos comuns são as potências de dois. O conceito de densidade confirma este sentimento: ξ (2 k; ( x n )) = k, e é fácil verificar que

Densidadeé a probabilidade de selecionar aleatoriamente um número de uma série natural que pertence a uma determinada sequência.

Semelhante à definição da densidade de uma sequência, podemos definir a densidade de um conjunto de pares de números naturais. Seja um conjunto arbitrário X de pares ordenados de números naturais. Denotemos por ξ (N ; X) o número de pares do conjunto X, cada componente dos quais não excede N. É útil pensar em pares de números do conjunto X como coordenadas de pontos no plano de coordenadas, então ξ (N; X) é simplesmente o número de pontos do conjunto X que caem no quadrado ((x, y) |0< x ≤ N ; 0 < y ≤ N }.

Definição. Número

é chamada de densidade (assintótica superior) do conjunto de pares X no conjunto N 2 .

Exemplo 3. Seja X o conjunto de todos os pares de números naturais cuja primeira componente é estritamente maior que a segunda. O conjunto X corresponde aos pontos do primeiro quarto do plano coordenado, situados sob a bissetriz y = x. A densidade de tal conjunto é fácil de calcular:

Seja X o conjunto de todos os pares ordenados (u, v) de números naturais tais que (u, v) = 1, ou seja, o conjunto de todos os pares de números primos.

Teorema (Cesaro). A probabilidade de escolher um par de números primos de N é igual a 6/π 2, mais precisamente Prova. Suponhamos imediatamente que existe uma probabilidade p de que os números naturais a e b selecionados aleatoriamente sejam coprimos. Seja d ∈ N. Deixe P(S) denotar, como sempre, a probabilidade do evento S. Nós raciocinamos: R