Bemerkelsesverdige kurver og deres egenskaper. Egenskaper til en cykloid Metoder for å definere kurver

“For det andre kurset ble det servert en kake i form av en cycloid...”

J. Swift Gullivers reiser

Tangent og normal til en cykloid

Den mest naturlige definisjonen av en sirkel vil kanskje være følgende: "en sirkel er banen til en partikkel av et stivt legeme som roterer rundt en fast akse." Denne definisjonen er klar, fra den er det lett å utlede alle egenskapene til en sirkel, og viktigst av alt, den tegner oss umiddelbart en sirkel som en kontinuerlig kurve, noe som slett ikke er tydelig fra den klassiske definisjonen av en sirkel som den geometriske lokus av punkter på et plan like langt fra ett punkt.

Hvorfor definerer vi en sirkel på skolen? til poengstedet? Hvorfor er det dårlig å definere en sirkel ved hjelp av bevegelse (rotasjon)? La oss tenke på det.

Når vi studerer mekanikk, beviser vi ikke geometriske teoremer: vi tror vi allerede kjenner dem – vi refererer ganske enkelt til geometri som noe som allerede er kjent.

Hvis vi, når vi beviser geometriske teoremer, refererer til mekanikk som noe allerede kjent, vil vi gjøre en feil som kalles en "logisk (ond) sirkel": når vi beviser en påstand, refererer vi til påstand B, og vi begrunner påstand B med hjelpen av forslag A Grovt sett nikker Ivan til Peter, og Peter peker på Ivan. Denne situasjonen når den presenteres vitenskapelige disipliner uakseptabelt. Når de presenterer aritmetikk prøver de derfor å ikke referere til geometri, ikke å referere til mekanikk osv. Samtidig kan man, når man presenterer geometri, fryktløst bruke aritmetikk, men når man presenterer mekanikk med både aritmetikk og geometri; , en logisk sirkel vil ikke fungere.

Definisjonen av cykloiden, som vi klarte å bli kjent med, har aldri tilfredsstilt forskere: den er tross alt basert på mekaniske konsepter - hastighet, tillegg av bevegelser osv. Derfor har geometre alltid søkt å gi cykloiden en rent geometrisk definisjon. Men for å gi en slik definisjon, er det først og fremst nødvendig å studere de grunnleggende egenskapene til sykloiden ved å bruke dens mekaniske definisjon. Etter å ha valgt den enkleste og mest karakteristiske av disse egenskapene, kan vi legge den til grunn for den geometriske definisjonen.

La oss starte med å studere tangenten og normalen til cykloiden. Hva en tangent til en buet linje er, forstår alle ganske klart; Den nøyaktige definisjonen av en tangent er gitt i høyere matematikkkurs, og vi vil ikke gi den her.

Ris. 16. Tangent og normal til en kurve.

Normalen er vinkelrett på tangenten, gjenopprettet ved kontaktpunktet. I fig. Figur 16 viser tangenten og normalen til kurven AB ved dens punkt Betrakt cykloiden (Figur 17). En sirkel ruller langs en rett linje AB.

La oss anta at den vertikale radiusen til sirkelen, som i det første øyeblikket passerte gjennom det nedre punktet av sykloiden, klarte å snu gjennom en vinkel (den greske bokstaven "phi") og tok stillingen OM. Med andre ord tror vi at MST-segmentet utgjør en slik brøkdel av segmentet som vinkelen på 360° (fra en hel omdreining). I dette tilfellet kom poenget til punkt M.

Ris. 17. Tangent til en cykloid.

Punkt M er punktet til sykloiden som interesserer oss.

Pilen OH viser bevegelseshastigheten til midten av den rullende sirkelen. Alle punkter i sirkelen, inkludert punktet M, har samme horisontale hastighet, men i tillegg deltar punktet M i sirkelens rotasjon. Hastigheten MC, som punktet M på sirkelen mottar under denne rotasjonen, er rettet tangentielt til sirkelen, dvs. vinkelrett på radius OM. Vi vet allerede fra "samtalen mellom to veyusipedists" (se side 6) at MS-hastigheten er lik MR-hastigheten (dvs. OH-hastigheten). Derfor vil parallellogrammet av hastigheter i tilfelle av vår bevegelse være en rombe (diamant MSKR i fig. 17). Den diagonale MK til denne romben vil gi oss tangenten til cykloiden.

Nå kan vi svare på spørsmålet som ble stilt på slutten av samtalen mellom Sergei og Vasya (s. 7). En smussklump skilt fra et sykkelhjul beveger seg tangentielt til banen til hjulpartikkelen den skilt seg fra. Men banen vil ikke være en sirkel, men en cykloid, fordi hjulet ikke bare roterer, men ruller, det vil si at det gjør en bevegelse som består av translasjonsbevegelse og rotasjon.

Alt det ovennevnte gjør det mulig å løse følgende "konstruksjonsproblem": gitt retningslinjen AB til cykloiden, radiusen til genereringssirkelen og punktet M som tilhører cykloiden (fig. 17).

Det er nødvendig å konstruere en tangent til MC til cykloiden.

Ved å ha et punkt M, kan vi enkelt konstruere en genererende sirkel, i sin posisjon når et punkt på sirkelen faller inn i M. For å gjøre dette finner vi først sentrum O ved hjelp av radius (punkt O må ligge på en rett linje parallelt med AB i avstand fra den). Deretter bygger vi et segment MR med vilkårlig lengde, parallelt med ledelinjen. Deretter bygger vi en rett linje vinkelrett på OM På denne rette linjen legger vi av et segment MC lik MR fra punkt M. På MC og MR, som på sidene, bygger vi en rombe. Diagonalen til denne romben vil være tangent til cykloiden ved punkt M.

Denne konstruksjonen er rent geometrisk, selv om vi oppnådde den ved å bruke begrepene mekanikk. Nå kan vi si farvel til mekanikere og få ytterligere konsekvenser uten dens hjelp. La oss starte med et enkelt teorem.

Teorem 1. Vinkelen mellom tangenten til sykloiden (i et vilkårlig punkt) og retningslinjen er lik addisjonen til 90° av halve rotasjonsvinkelen til radiusen til den genererende sirkelen.

Med andre ord, i vår fig. 17 vinkel KLT er lik eller . Vi skal nå bevise denne likheten. For å forkorte talen, vil vi bli enige om å kalle rotasjonsvinkelen til radiusen til genereringssirkelen "hovedvinkelen". Dette betyr at vinkelen MOT i fig. 17 - hovedvinkel. Vi vil vurdere hovedvinkelen som spiss. Leseren vil selv modifisere begrunnelsen for saken stump vinkel, dvs. for tilfellet når rullesirkelen gjør mer enn en fjerdedel av en hel omdreining.

La oss vurdere SMR-vinkelen. Side CM er vinkelrett på OM (tangensen til sirkelen er vinkelrett på radien). MR-siden (horisontal) er vinkelrett på OT (vertikal). Men MOT-vinkelen er etter konvensjon spiss (vi ble enige om å vurdere det første kvarteret av en sving), og SMR-vinkelen er stump (hvorfor?). Dette betyr at vinklene MOT og SMR summeres til 180° (vinkler med innbyrdes perpendikulære sider, hvorav den ene er spiss og den andre stump).

Så, vinkelen CMP er lik Men, som du vet, deler diagonalen til en rombe vinkelen ved toppunktet i to.

Derfor er vinkelen det som måtte bevises.

La oss nå rette oppmerksomheten mot normalen til cykloiden. Vi har allerede sagt at normalen til kurven er vinkelrett på tangenten som er tegnet i kontaktpunktet (fig. 16). La oss tegne venstre side av fig. 17 er større, og vi vil tegne en normal (se fig. 18).

Fra fig. 18 følger det at vinkelen EMR er lik forskjellen mellom vinklene KME og KMR, dvs. den er lik 90° - k.

Ris. 18. Til setning 2.

Men vi har nettopp bevist at selve KMR-vinkelen er lik . Dermed får vi:

Vi har bevist et enkelt, men nyttig teorem. La oss gi dens formulering:

Teorem 2. Vinkelen mellom normalen til sykloiden (på et hvilket som helst punkt) og retningslinjen er lik halvparten av "hovedvinkelen".

(Husk at "primærvinkelen" er rotasjonsvinkelen til radiusen til den rullende sirkelen)

La oss nå koble punktet M (det "nåværende" punktet til cykloiden) med det "nedre" punktet (T) til den genererende sirkelen (med tangenspunktet til den genererende sirkelen og retningslinjen - se fig. 18).

Trekanten MOT er åpenbart likebenet (OM og OT er radiene til den genererende sirkelen). Summen av vinklene ved bunnen av denne trekanten er lik , og hver av vinklene ved bunnen er halvparten av denne summen. Så,

La oss ta hensyn til RMT-vinkelen. Det er lik forskjellen mellom vinklene OMT og OMR. Vi har nå sett at den er lik 90° - når det gjelder OMR-vinkelen er det ikke vanskelig å finne ut hva den er lik. Tross alt er vinkelen OMP lik vinkelen DOM (indre kryssvinkler når parallelle).

Ris. 19. Grunnleggende egenskaper til tangenten og normalen til en cykloid.

Det er umiddelbart åpenbart at det er lik . Midler, . Dermed får vi:

Et bemerkelsesverdig resultat oppnås: vinkelen RMT viser seg å være lik vinkelen RME (se setning 2). Derfor vil direkte ME og MT smelte sammen! Risen vår. 18 er ikke gjort helt riktig! Riktig plassering av linjene er vist i fig. 19.

Hvordan formulere det oppnådde resultatet? Vi formulerer det i form av teorem 3.

Teorem 3 (den første grunnleggende egenskapen til en cykloid). Normalen til cykloiden passerer gjennom "bunnpunktet" av genereringssirkelen.

Denne teoremet har en enkel konsekvens. Vinkelen mellom tangenten og normalen er per definisjon en rett linje. Dette er vinkelen innskrevet i en sirkel

Derfor må den hvile på sirkelens diameter. Så er diameteren, og er det "øvre" punktet på den genererende sirkelen. La oss formulere det oppnådde resultatet.

Følge (andre hovedegenskap til cykloiden). Tangenten til cykloiden passerer gjennom det "øvre" punktet i genereringssirkelen.

La oss nå reprodusere konstruksjonen av sykloiden med punkter, som vi gjorde i fig. 6.

Ris. 20. Cycloid - en konvolutt av dens tangenter.

I fig. 20 basen av cykloiden er delt inn i 6 like deler; Jo større antall inndelinger, jo mer nøyaktig blir tegningen, som vi vet. Ved hvert punkt av cykloiden som vi har konstruert, tegner vi en tangent, som forbinder punktet på kurven med det "øvre" punktet i genereringssirkelen. I tegningen vår har vi syv tangenter (to av dem er vertikale). Når vi nå tegner cykloiden for hånd, vil vi passe på at den faktisk berører hver av disse tangentene: dette vil øke nøyaktigheten til tegningen betydelig. I dette tilfellet vil sykloiden selv bøye seg rundt alle disse tangentene

La oss tegne på samme figur. 20 normaler på alle funnet punkter av cycloid. Det vil være totalt fem normaler, ikke medregnet guiden. Du kan bygge en frihåndsbøyning av disse normalene.

Hvis vi hadde tatt 12 eller 16 divisjonspoeng i stedet for seks, så hadde det vært flere normaler på tegningen, og konvolutten hadde blitt tydeligere skissert. Denne konvolutten av alle normaler spiller en viktig rolle i å studere egenskapene til enhver buet linje. Når det gjelder en cykloid, avsløres et merkelig faktum: konvolutten til normalene til sykloiden er nøyaktig den samme sykloiden, bare forskjøvet 2a ned og 2a til høyre. Vi må forholde oss til dette merkelige resultatet, karakteristisk spesielt for cykloiden.

Egenskapene til tangenten og normalen til en cykloid ble først skissert av Toricelli (1608-1647) i sin bok Geometrical Works (1644). Toricelli brukte tillegg av bevegelser. Noe senere, men mer fullstendig, undersøkte Roberval (pseudonymet til den franske matematikeren Gilles Personne, 1602-1672) disse spørsmålene. Egenskapene til en tangent til en cykloid ble også studert av Descartes; han presenterte resultatene sine uten å ty til mekanikk.

LEMNIKATER
Ligning i polare koordinater:
r 2 = a 2 cos2θ

(x 2 + y 2) 2 = a 2 (x 2 - y 2)

Vinkel mellom AB" eller A"B og x-aksen = 45 o

Arealet av en sløyfe = a 2/2

SYKLOID

Arealet av en bue = 3πa 2

Buelengde på en bue = 8a

Dette er en kurve beskrevet av et punkt P på en sirkel med radius a, som ruller langs x-aksen.

HYPOSYKLOIDER MED FIRE EIKER
Ligning i rektangulære koordinater:
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3

Ligninger i parametrisk form:

Område omsluttet av kurve = 3πa 2 /8

Buelengde av hele kurven = 6a

Dette er en kurve beskrevet av et punkt P på en sirkel med radius a/4, som ruller innenfor en sirkel med radius a.

KARDIOID
Ligning: r = a(1 + cosθ)

Område omsluttet av kurve = 3πa 2 /2

Kurvebuelengde = 8a

Det er en kurve beskrevet av et punkt P på en sirkel med radius a, som ruller utenfor sirkelen med radius a. Denne kurven er også et spesialtilfelle av Pascals snegl.

KJEDELINE
Ligningen:
y = a(e x/a + e -x/a)/2 = acosh(x/a)

Dette er kurven som en kjede vil henge vertikalt fra punkt A til B.

ROSE MED TRE BORD
Ligning: r = acos3θ

Ligningen r = acos3θ er lik kurven som oppnås ved å rotere mot klokken langs en kurve på 30 o eller π/6 radianer.

Generelt har r = acosnθ eller r = asinnθ n kronblad hvis n er oddetall.

ROSE MED FIRE BLADBLAD
Ligning: r = acos2θ

Ligningen r = asin2θ er lik kurven oppnådd ved å rotere mot klokken langs en kurve på 45 o eller π/4 radianer.

Generelt har r = acosnθ eller r = asinnθ 2n kronblad hvis n er jevn.

EPICYCLOID
Parametriske ligninger:

Det er kurven beskrevet av punktet P på en sirkel med radius b når den ruller langs utsiden av sirkelen med radius a. Kardioid er et spesielt tilfelle av episykloid.

GENERELT HYPOSYKLOID
Parametriske ligninger:

Det er kurven beskrevet av punktet P på en sirkel med radius b når den ruller langs utsiden av sirkelen med radius a.

Hvis b = a/4, er kurven en hypocykloid med fire punkter.

TROKOID
Parametriske ligninger:

Dette er kurven beskrevet av punktet P i en avstand b fra sentrum av en sirkel med radius a når den ruller langs x-aksen.
Hvis b er en forkortet cykloid.
Hvis b > a, har kurven formen vist i fig. 11-11 og kalles rullator.
Hvis b = a, er kurven en cykloid.

TRAKTRICE
Parametriske ligninger:

Det er kurven beskrevet av endepunktet P til en strukket streng med lengden PQ når den andre enden Q beveges langs x-aksen.

VERZIERA (VERZIERA) AGNEZI (NOTEN GANG CURL AGNEZI)
Ligning i rektangulære koordinater: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2)

Parametriske ligninger:

B. På figuren skjærer variabellinjen OA y = 2a og en sirkel med radius a med senter (0,a) ved henholdsvis A og B. Ethvert punkt P på "krøllen" bestemmes ved å konstruere linjer parallelle med x- og y-aksene, og gjennom henholdsvis B og A, og definere skjæringspunktet til P.

DESCARTES BLAD
Ligning i rektangulære koordinater:
x 3 + y 3 = 3 akse

Parametriske ligninger:

Sløyfeområde 3a 2 /2

Asymptoteligning: x + y + a = 0.

SIRKEL INVOLVENT
Parametriske ligninger:

Dette er kurven som beskrives av endepunktet P til strengen når den vikles av fra en sirkel med radius a.

ELLIPSEINVOLVENT
Ligning i rektangulære koordinater:
(ax) 2/3 + (av) 2/3 = (a 2 - b 2) 2/3

Parametriske ligninger:

Denne kurven er konvolutten normal til ellipsen x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

CASSINI OVALER
Polar ligning: r 4 + a 4 - 2a 2 r 2 cos2θ = b 4.

Det er en kurve beskrevet av et punkt P slik at produktet av avstanden fra to faste punkter [avstand 2a til siden] er en konstant b 2 .

Kurve som i figurene nedenfor når b a hhv.

Hvis b = a, er kurven lemniscate

PASCALS SNEGEL
Polar ligning: r = b + acosθ

La OQ være en linje som forbinder sentrum av O til et hvilket som helst punkt Q på en sirkel med diameter a som går gjennom O. Da er kurven fokus for alle punktene P slik at PQ = b.

Kurven vist i figurene nedenfor når b > a eller b

CISSOID AV DIOCLES
Ligning i rektangulære koordinater: y 2 = x 3 /(2a - x)

Parametriske ligninger:

Dette er en kurve beskrevet av et punkt P slik at avstand OP = avstand RS. Brukes i oppgaven doble kuben, dvs. finne siden av en terning som har det dobbelte av volumet av en gitt kube

ARKIMEDES' SPIRAL
Polar ligning: r = aθ

5. Parametrisk cykloidligning og ligning i kartesiske koordinater

La oss anta at vi får en cykloid dannet av en sirkel med radius a med et sentrum i punktet A.

Hvis vi velger som en parameter som bestemmer posisjonen til punktet vinkelen t=∟NDM som radiusen, som hadde en vertikal posisjon AO ved begynnelsen av rulleringen, klarte å rotere, så vil x- og y-koordinatene til punktet M uttrykkes som følger:

x= OF = PÅ - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Så de parametriske ligningene til cykloiden har formen:

Når t endres fra -∞ til +∞, vil det bli oppnådd en kurve som består av et uendelig antall grener som de som er vist i denne figuren.

I tillegg til den parametriske ligningen til sykloiden, er det også ligningen i kartesiske koordinater:

Hvor r er radiusen til sirkelen som danner cykloiden.

6. Problemer med å finne deler av en cykloid og figurer dannet av en cykloid

Oppgave nr. 1. Finn arealet til en figur avgrenset av en bue av en cykloid hvis ligning er gitt parametrisk

og okseaksen.

Løsning. For å løse dette problemet vil vi bruke fakta vi kjenner fra teorien om integraler, nemlig:

Arealet av en buet sektor.

Tenk på en funksjon r = r(ϕ) definert på [α, β].

ϕ 0 ∈ [α, β] tilsvarer r 0 = r(ϕ 0) og derfor punktet M 0 (ϕ 0 , r 0), hvor ϕ 0,

r 0 - polare koordinater til punktet. Hvis ϕ endres, "løper gjennom" hele [α, β], vil det variable punktet M beskrive en eller annen kurve AB, gitt

ligning r = r(ϕ).

Definisjon 7.4. En buet sektor er en figur avgrenset av to stråler ϕ = α, ϕ = β og en kurve AB definert i polar

koordinater ved ligningen r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Følgende er sant

Teorem. Hvis funksjonen r(ϕ) > 0 og er kontinuerlig på [α, β], så er arealet

krumlinjet sektor beregnes med formelen:

Denne teoremet ble bevist tidligere i emnet bestemt integral.

Basert på teoremet ovenfor, er problemet vårt med å finne arealet til en figur begrenset av en bue av en cykloid, hvis ligning er gitt av de parametriske parameterne x= a (t – sin t), y= a (1 – cos t), og Ox-aksen, reduseres til følgende løsning .

Løsning. Fra kurveligningen dx = a(1−cos t) dt. Den første buen av sykloiden tilsvarer en endring i parameteren t fra 0 til 2π. Derfor,

Oppgave nr. 2. Finn lengden på en bue av sykloiden

Følgende teorem og dens konsekvens ble også studert i integralregning.

Teorem. Hvis kurven AB er gitt av ligningen y = f(x), hvor f(x) og f ’ (x) er kontinuerlige på , så er AB likterbar og

Konsekvens. La AB gis parametrisk

L AB = (1)

La funksjonene x(t), y(t) være kontinuerlig differensierbare på [α, β]. Deretter

formel (1) kan skrives som følger

La oss gjøre en endring av variabler i dette integralet x = x(t), deretter y’(x)= ;

dx= x’(t)dt og derfor:

La oss nå gå tilbake til å løse problemet vårt.

Løsning. Vi har, og derfor

Oppgave nr. 3. Vi må finne overflatearealet S dannet fra rotasjonen av en bue av cykloiden

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – kostnad), 0≤ t ≤ 2π)

I integralregning er det følgende formel for å finne overflatearealet til et omdreiningslegeme rundt x-aksen til en kurve definert parametrisk på et segment: x=φ(t), y=ψ(t) (t) 0 ≤t ≤t 1)

Ved å bruke denne formelen på cykloidligningen vår får vi:

Oppgave nr. 4. Finn volumet av kroppen oppnådd ved å rotere cykloidbuen

Langs okseaksen.

I integralregning, når man studerer volumer, er det følgende bemerkning:

Hvis kurven som avgrenser en krumlinjet trapes er gitt av parametriske ligninger og funksjonene i disse ligningene tilfredsstiller betingelsene for teoremet om endring av variabel i et visst integral, vil volumet til omdreiningslegemet til trapeset rundt okseaksen beregnes med formelen

La oss bruke denne formelen for å finne volumet vi trenger.

Problemet er løst.

Konklusjon

Så i løpet av dette arbeidet ble de grunnleggende egenskapene til cykloiden avklart. Vi lærte også hvordan man bygger en cykloid og fant ut den geometriske betydningen av en cykloid. Som det viste seg, har cycloid en enorm praktisk bruk ikke bare i matematikk, men også i teknologiske beregninger, i fysikk. Men sykloiden har andre fordeler. Det ble brukt av forskere på 1600-tallet når de utviklet teknikker for å studere buede linjer - de teknikkene som til slutt førte til oppfinnelsen av differensial- og integralregning. Det var også en av "berøringssteinene" som Newton, Leibniz og deres tidlige forskere testet kraften til kraftige nye matematiske metoder. Til slutt førte problemet med brachistochrone til oppfinnelsen av variasjonsregningen, som er så nødvendig for fysikere i dag. Dermed viste sykloiden seg å være uløselig knyttet til en av de mest interessante periodene i matematikkens historie.

Litteratur

1. Berman G.N. Cycloid. – M., 1980

2. Verov S.G. Brachistochrone, eller en annen hemmelighet av cycloid // Quantum. – 1975. - Nr. 5

3. Verov S.G. Secrets of the cycloid // Quantum. – 1975. - Nr. 8.

4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Anvendelser av en bestemt integral. Retningslinjer og individuelle oppgaver for 1.årsstudenter ved Det fysiske fakultet. - Rostov n/a: UPL RSU, 1994.

5. Gindikin S.G. Stjernealderen til sykloiden // Quantum. – 1985. - Nr. 6.

6. Fikhtengolts G.M. Forløp for differensial- og integralregning. T.1. – M., 1969

Denne linjen kalles "konvolutten". Hver buet linje er en konvolutt av dens tangenter.

Materie og bevegelse, og metoden de utgjør, gjør alle i stand til å realisere sitt potensial i kunnskap om sannhet. Å utvikle en metodikk for utvikling av en dialektisk-materialistisk form for tenkning og mestre en lignende metode for erkjennelse er det andre trinnet mot å løse problemet med utvikling og realisering av menneskelige evner. Fragment XX Opportunities...

I denne situasjonen kan folk utvikle neurasteni - en nevrose, grunnlaget for det kliniske bildet som er en astenisk tilstand. Både når det gjelder nevrasteni og når det gjelder dekompensasjon av nevrastenisk psykopati, gjenspeiles essensen av mentalt (psykologisk) forsvar i tilbaketrekning fra vanskeligheter til irritabel svakhet med vegetative dysfunksjoner: enten "bekjemper" personen ubevisst angrepet mer. ..

Forskjellige typer aktiviteter; utvikling av romlig fantasi og romlige konsepter, figurativ, romlig, logisk, abstrakt tenkning av skolebarn; utvikle evnen til å anvende geometriske og grafiske kunnskaper og ferdigheter for å løse ulike anvendte problemer; kjennskap til innholdet og rekkefølgen av stadier prosjektaktiviteter innen teknisk og...

Buer. Spiraler er også involutter av lukkede kurver, for eksempel involutten til en sirkel. Navnene på noen spiraler er gitt av likheten mellom deres polare ligninger med kurvelikningene i kartesiske koordinater, for eksempel: · parabolsk spiral (a - r)2 = bj, · hyperbolsk spiral: r = a/j. · Stang: r2 = a/j · si-ci-spiral, hvis parametriske ligninger har formen: , )