Чудові криві та їх властивості. Властивості циклоїди Способи завдання кривих

«На друге було подано пиріг у формі циклоїди..»

Дж. Свіфт Подорожі Гулівера

Стосовна та нормаль до циклоїди

Найбільш природним визначенням кола буде, мабуть, наступне: "колом називається шлях частинки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі". Це визначення наочно, з нього легко вивести всі властивості кола, а головне, воно відразу малює нам коло як безперервну криву, чого зовсім не видно з класичного визначення кола, як геометричного місця точок площини, рівновіддалених від однієї точки.

Чому ж у школі ми визначаємо коло, до? геометричне місце точок? Чим погане визначення кола за допомогою руху (обертання)? Подумаємо про це.

Коли ми вивчаємо механіку, ми не займаємось доказом геометричних теорем: ми вважаємо, що вже знаємо їх – ми просто посилаємося на геометрію, як на щось відоме.

Якщо і при доказі геометричних теорем ми будемо посилатися на механіку, як на щось уже відоме, то зробимо помилку, яка називається «логічний (порочний) коло»: при доказі пропозиції ми посилаємося на пропозицію, а саму пропозицію обгрунтовуємо за допомогою пропозиції А . Грубо кажучи, Іван киває на Петра, а Петро на Івана. Таке становище під час викладу наукових дисципліннеприпустимо. Тому намагаються, викладаючи арифметику, не посилатися на геометрію, викладаючи геометрію, не посилатися на механіку і т. д. При цьому можна при викладі геометрії безбоязно користуватися арифметикою, а при викладі механіки та арифметикою, і геометрією, логічного кола не вийде.

Визначення циклоїди, з яким ми встигли познайомитися, ніколи не задовольняло вчених: адже воно спирається на механічні поняття – швидкості, складання рухів тощо. Але для того, щоб дати таке визначення, потрібно насамперед вивчити основні властивості циклоїди, користуючись її механічним визначенням. Вибравши найбільш просте і характерне з цих властивостей, можна покласти його в основи) геометричного визначення.

Почнемо з вивчення дотичної та нормалі до циклоїди. Що таке щодо кривої лінії, кожен уявляє собі досить ясно; точно визначення дотичної дається в курсах вищої математики, і ми його наводити тут не будемо.

Мал. 16. Дотична та нормаль до кривої.

Нормаллю називається перпендикуляр до дотичної, відновлений у точці дотику. На рис. 16 зображено дотичну та нормаль до кривої АВ у її точці Розглянемо циклоїду (рис. 17). Гурток котиться по прямій АВ.

Припустимо, що вертикальний радіус кола, що проходив у початковий момент через нижню точку циклоїди, встиг обернутися на кут (грецька літера «фі») і зайняв положення ОМ. Іншими словами, ми вважаємо, що відрізок МСТ становить таку частку відрізка, яку кут становить від 360° (від повного обороту). При цьому точка прийшла до точки М.

Мал. 17. Дотична до циклоїди.

Точка М і є цікава для нас точка циклоїди.

Стрілочка ВІН зображує швидкість руху центру кола, що котиться. Такою самою горизонтальною швидкістю володіють всі точки кола, у тому числі і точка М. Але, крім того, точка М бере участь у обертанні кола. Швидкість МС, яку точка М на колі отримує при цьому обертанні, спрямована по дотичній до кола, тобто перпендикулярно до радіусу ОМ. Ми вже знаємо з «розмови двох веюсипедистів» (див. стор. 6), що швидкість МС за величиною дорівнює швидкості МР (тобто швидкості ВІН). Тому паралелограм швидкостей у разі нашого руху буде ромбом (ромб МСКР на рис. 17). Діагональ МК цього ромба якраз і дасть нам дотичні до циклоїди.

Тепер ми можемо відповісти на запитання, поставлене наприкінці розмови Сергія та Васі (стор. 7). Грудка, що відірвалася від велосипедного колеса, рухається по дотичній до траєкторії тієї частинки колеса, від якої він відокремився. Але траєкторією буде не коло, а циклоїда, тому що колесо не просто обертається, а котиться, тобто здійснює рух, що складається з поступального руху та обертання.

Все сказане дає можливість вирішити наступну «завдання на побудову»: дана напрямна пряма АВ циклоїди, радіус колу, що виробляє, і точка М, що належить циклоїді (рис. 17).

Потрібно побудувати дотичну МК до циклоїди.

Маючи точку М, ми легко будуємо виробляє коло, у тому його становищі, коли точка на колі потрапляє у М, Для цього попередньо знайдемо центр Про з допомогою радіусу (точка Про повинна лежати на прямий, паралельної АВ з відривом від неї). Потім будуємо відрізок МР довільної довжини, паралельний напрямної прямої. Далі будуємо пряму перпендикулярну до ЗМ На цій прямій відкладаємо від точки М відрізок МС, що дорівнює МР. На МС та МР, як на сторонах, будуємо ромб. Діагональ цього ромба і буде стосуватися циклоїди в точці М.

Ця побудова – чисто геометрична, хоча отримали ми її, використовуючи поняття механіки. Тепер ми можемо попрощатися з механікою та подальші наслідки отримувати без її допомоги. Почнемо із простої теореми.

Теорема 1. Кут між дотичною до циклоїди (у довільній точці) і напрямною прямий дорівнює доповненню до 90° половини кута повороту радіусу кола.

Іншими словами, на нашому рис. 17 кут KLT дорівнює або . Цю рівність ми тепер доведемо. Для скорочення мови умовимося кут повороту радіуса кола, що виробляє, називати «основним кутом». Отже, кут МОП на рис. 17 – основний кут. Вважатимемо основний кут гострим. Читач сам видозмінить міркування для випадку тупого кута, Тобто для випадку, коли коло, що котиться, зробить більше чверті повного обороту.

Розглянемо кут БМР. Сторона РМ перпендикулярна до ОМ (дотична до кола перпендикулярна до радіусу). Сторона МР (горизонталь) перпендикулярна до ВІД (вертикалі). Але кут МОП, за умовою, гострий (ми домовилися розглядати першу чверть обороту), а кут БМР – тупий (чому?). Значить, кути МОП і БМР становлять у сумі 180° (кути із взаємно перпендикулярними сторонами, з яких один гострий, а інший - тупий).

Отже, кут БМР дорівнює Але, як відомо, діагональ ромба ділить кут при вершині навпіл.

Отже, кут що й потрібно було довести.

Звернімо тепер увагу на нормаль до циклоїди. Ми вже говорили, що нормаллю до кривої називається перпендикуляр до дотичної, проведений у точці дотику (рис. 16). Зобразимо ліву частину рис. 17 більший, причому проведемо нормаль (див. рис. 18).

З рис. 18 слід, що кут ЕМР дорівнює різниці кутів КМЕ і КМР, тобто дорівнює 90 ° - К. КМР.

Мал. 18. До теореми 2.

Але ми щойно довели, що сам кут КМР дорівнює . Таким чином, отримуємо:

Ми довели просту, але корисну теорему. Дамо її формулювання:

Теорема 2. Кут між нормаллю до циклоїди (у будь-якій її точці) і напрямної прямої дорівнює половині «основного кута».

(Згадаймо, що «основним кутом» називається кут повороту радіуса кола, що котиться)

З'єднаємо тепер точку М («поточну» точку циклоїди) з «нижньою» точкою (Т) кола, що виробляє (з точкою торкання виробляючого кола і напрямної прямої - див. рис. 18).

Трикутник МОП, очевидно, рівнобедрений (ОМ та ВІД - радіуси виробляючого кола). Сума кутів на підставі цього трикутника дорівнює , а кожен із кутів на підставі - половині цієї суми. Отже,

Звернімо увагу на кут РМТ. Він дорівнює різниці кутів ОМТ та ЗМР. Ми бачили зараз, що дорівнює 90 ° - що стосується кута ЗМР, то неважко з'ясувати, чому він дорівнює. Адже кут ОМР дорівнює куту DOM (внутрішні навхрест лежать кути при паралельних).

Мал. 19. Основні властивості дотичної та нормалі до циклоїди.

Очевидно, що дорівнює . Отже, . Таким чином, отримуємо:

Виходить чудовий результат: кут РМТ виявляється рівним куту РМЕ (див. теорему 2). Отже, прямі ME та МТ зіллються! Наш рис. 18 зроблено не зовсім правильно! Правильне розташування ліній дано на рис. 19.

Як сформулювати отриманий результат? Ми сформулюємо його як теореми 3.

Теорема 3 (перша основна властивість циклоїди). Нормаль до циклоїди проходить через «нижню» точку кола, що виробляє.

З цієї теореми виходить просте слідство. Кут між дотичною та нормаллю, за визначенням, - прямий. Це кут, вписаний у коло

Тому він має спиратися на діаметр кола. Отже, - діаметр, і - «верхня» точка кола, що виробляє. Сформулюємо отриманий результат.

Наслідок (друга основна властивість циклоїди). Дотична до циклоїди проходить через «верхню» точку кола, що виробляє.

Відтворимо тепер побудову циклоїди по точках, як ми це робили на рис. 6.

Мал. 20. Циклоїда - огинаюча своїх дотичних.

На рис. 20 основа циклоїди розділена на 6 рівних частин; чим кількість поділів буде більше, тим, як ми знаємо, креслення вийде точніше. У кожній точці циклоїди, побудованої нами, проведемо дотичну, з'єднуючи точку кривої з «верхньою» точкою кола, що виробляє. На нашому кресленні вийшло сім дотичних (з них дві – вертикальні). Проводячи тепер циклоїду від руки, дбатимемо, щоб вона справді стосувалася кожної з цих дотичних: це значно збільшить точність креслення. При цьому сама циклоїда огинатиме всі ці дотичні

Проведемо на тому ж рис. 20 нормалі у всіх знайдених точках циклоїди. Усього буде, крім напрямної, п'ять нормалей. Можна побудувати від руки що згинає цих нормалей.

Якби ми замість шести взяли 12 або 16 точок поділу, то нормалей на кресленні було б більше, і огинаюча намітилася б ясніше. Така огинаюча всіх нормалей відіграє важливу роль при вивченні властивостей будь-якої кривої лінії. У разі циклоїди виявляється цікавий факт: огинаючої нормалей циклоїди служить така сама циклоїда, тільки зрушена на 2а вниз і на праворуч. З цим цікавим результатом, характерним саме для циклоїди, нам ще доведеться мати справу.

Властивості дотичної та нормалі до циклоїди були вперше викладені Торічеллі (1608-1647) у його книзі «Геометричні роботи» (1644 рік). Торічеллі використовував при цьому складання рухів. Дещо пізніше, але повніше, розібрав ці питання Роберваль (псевдонім французького математика Жілля Персонна, 1602-1672). Властивості щодо циклоїди вивчав також Декарт; він виклав свої результати, не вдаючись до допомоги механіки.

ЛЕМНИСКАТИ
Рівняння у полярних координатах:
r 2 = a 2 cos2θ

(x 2 + y 2) 2 = a 2 (x 2 - y 2)

Кут між AB" або A"B та віссю x = 45 o

Площа однієї петлі = a 2 /2

ЦИКЛОЇДА

Площа однієї дуги = 3πa 2

Довжина дуги однієї арки = 8a

Це крива, що описується точкою Р на колі радіусом а, яка котиться вздовж осі х.

ГІПОЦИКЛОЇДИ З ЧОТИМРЯМ ГОРІЯМИ
Рівняння у прямокутних координатах:
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3

Рівняння у параметричній формі:

Площа, обмежена кривою = 3πa 2 /8

Довжина дуги цілої кривої = 6a

Це крива, що описується точкою Р на колі радіусом a/4, яка котиться всередині кола радіусом a.

Кардіоїда
Рівняння: r = a(1 + cosθ)

Площа, обмежена кривою = 3πa 2 /2

Довжина дуги кривої = 8a

Це крива, що описується точкою Р на колі радіусом a, яка котиться зовні кола радіусом a. Ця крива також є окремим випадком равлика Паскаля.

Ланцюгова лінія
Рівняння:
y = a(e x/a + e-x/a)/2 = acosh(x/a)

Це крива, по якій би завис ланцюг, підвішений вертикально від точки А до В.

Трьохлепісткова троянда
Рівняння: r = acos3θ

Рівняння r = acos3θ подібно до кривої, отриманої обертанням проти годинникової стрілки по кривій 30 o або π/6 радіан.

Загалом, r = acosnθ або r = asinnθ має n пелюсток, якщо n є непарним.

ЧОТИРЕХЛЕПЕСТКОВА ТРОЯНДА
Рівняння: r = acos2θ

Рівняння r = asin2θ подібно до кривої, отриманої обертанням проти годинникової стрілки по кривій 45 o або π/4 радіан.

Загалом r = acosnθ або r = asinnθ має 2n пелюсток, якщо n - парне.

Епіциклоіда
Параметричні рівняння:

Це крива, що описується точкою Р на колі радіуса b, коли вона котиться по зовнішній стороні кола радіусом а. Кардіоїда є окремим випадком епіциклоїди.

ЗАГАЛЬНА ГІПОЦИКЛОЇДА
Параметричні рівняння:

Це крива, що описується точкою Р на колі радіуса b, коли вона котиться по зовнішній стороні кола радіусом а.

Якщо b = a/4, крива є гіпоциклоїдою з чотирма вістрями.

ТРОХОЇДА
Параметричні рівняння:

Це крива, що описується точкою Р на дистанції b від центру кола з радіусом а, коли вона котиться по осі x.
Якщо b укороченою циклоїдою.
Якщо b > a, крива має форму, показану на рис. 11-11 і називається триодою.
Якщо b = a, крива є циклоїдою.

ТРАКТРИСА
Параметричні рівняння:

Це крива, що описується кінцевою точкою Р натягнутої струни довжиною PQ, коли інший кінець Q переміщається вздовж осі х.

ВЕРЗЬЄРА (ВЕРЗІЄРА) АНЬЄЗІ (ІНОГДА ЛОКОН АНЬЄЗІ)
Рівняння у прямокутних координатах: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2)

Параметричні рівняння:

В. На малюнку змінна лінія OA перетинає y = 2a і коло з радіусом a з центром (0,a) A і B відповідно. Будь-яка точка P на "локоні" визначається побудовою ліній, паралельних до осей x і y, і через B і A відповідно та визначають точку перетину P.

ДЕКАРТІВ ЛИСТ
Рівняння у прямокутних координатах:
x 3 + y 3 = 3axy

Параметричні рівняння:

Площа петлі 3a 2 /2

Рівняння асимптоти: x + y + a = 0.

ЕВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТІ
Параметричні рівняння:

Ця крива описана кінцевою точкою P струни, коли вона розмотується з кола з радіусом a.

ЕВОЛЬВЕНТА ЕЛЛІПСУ
Рівняння у прямокутних координатах:
(ax) 2/3 + (by) 2/3 = (a 2 - b 2) 2/3

Параметричні рівняння:

Ця крива є оминаючої нормаллю до еліпсу x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

ОВАЛИ КАСИНІ
Полярне рівняння: r 4 + a 4 - 2a 2 r 2 cos2θ = b 4 .

Це крива, що описується такою точкою P, що добуток її відстані від двох фіксованих точок [відстань 2a у бік] є постійною b 2 .

Крива, як на фігурах унизу, коли b a відповідно.

Якщо b = a, крива є лемніскату

СЛИМАК ПАСКАЛЯ
Полярне рівняння: r = b + acosθ

Нехай OQ буде лінією, що з'єднує центр O з будь-якою точкою Q на колі діаметром a проходить через O. Тоді крива є фокусом усіх точок P, таких, що PQ = b.

Крива, показана на малюнках внизу, коли b > a або b

ЦИСОЇДА ДІОКЛУ
Рівняння у прямокутних координатах: y2 = x3/(2a - x)

Параметричні рівняння:

Це крива, що описується такою точкою P, що відстань OP = відстані RS. Використовується в задачі подвоєння куба, Тобто. знаходження сторони куба, який має подвоєний обсяг заданого куба

СПІРАЛЬ АРХІМЕДА
Полярне рівняння: r = aθ

5. Параметричне рівняння циклоїди та рівняння в декартових координатах

Припустимо, що в нас дана циклоїда, утворена колом радіусу, а з центром у точці А.

Якщо вибрати як параметр, що визначає положення точки, кут t=∟NDM на який встиг повернутися радіус, що мав на початку кочення вертикальне положення АТ, то координати х і у точки М виразяться наступним чином:

х = OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

y = FM = NG = ND - GD = a - a cos t

Отже параметричні рівняння циклоїди мають вигляд:

При зміні t від -∞ до +∞ вийде крива, що складається з незліченної множини таких гілок, яка зображена на цьому малюнку.

Також, крім параметричного рівняння циклоїди, існує і її рівняння в декартових координатах:

Де r – радіус кола, що утворює циклоїду.

6. Завдання на знаходження частин циклоїди та фігур, утворених циклоїдою

Завдання №1. Знайти площу фігури, обмеженої однією аркою циклоїди, рівняння якої встановлено параметрично

та віссю Ох.

Рішення. Для вирішення цього завдання, скористаємося відомими нам фактами з теорії інтегралів, а саме:

Площа криволінійного сектора.

Розглянемо деяку функцію r = r(ϕ), визначену [α, β].

ϕ 0 ∈ [α, β] відповідає r 0 = r(ϕ 0) і, отже, точка M 0 (ϕ 0 , r 0), де 0 ,

r 0 – полярні координати точки. Якщо буде змінюватися, «пробігаючи» весь [α, β], то змінна точка M опише деяку криву AB, задану

рівнянням r = r(ϕ).

Визначення 7.4. Криволінійним сектором називається фігура, обмежена двома променями ϕ = α, ϕ = β та кривою AB, заданою в полярних

координати рівнянням r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Справедлива наступна

Теорема. Якщо функція r(ϕ) > 0 і безперервна на [α, β], то площа

криволінійного сектора обчислюється за такою формулою:

Ця теорема була доведена раніше у темі певного інтеграла.

Виходячи з наведеної вище теореми, наше завдання про знаходження площі фігури, обмеженої однією аркою циклоїди, рівняння якої задано параметричні x = a (t - sin t), y = a (1 - cos t), і віссю Ох, зводиться до наступного рішення .

Рішення. З рівняння кривої dx = a(1−cos t) dt. Перша арка циклоїди відповідає зміні параметра від 0 до 2π. Отже,

Завдання №2. Знайти довжину однієї арки циклоїди

Так само в інтегральному численні вивчалася наступна теорема і слідство з неї.

Теорема. Якщо крива AB задана рівнянням y = f(x), де f(x) і f ' (x) безперервні на , то AB є спрямовується і

Слідство. Нехай AB задана параметрично

L AB = (1)

Нехай функції x(t), y(t) безперервно диференційовані на [α, β]. Тоді

формулу (1) можна записати так

Зробимо заміну змінних у цьому інтегралі x = x(t), тоді y'(x)=;

dx= x'(t)dt і, отже:

А тепер повернемось до вирішення нашого завдання.

Рішення. Маємо, а тому

Завдання №3. Потрібно знайти площу поверхні S, утвореної від обертання однієї арки циклоїди

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – cost), 0≤ t ≤ 2π)

В інтегральному численні існує наступна формула для знаходження площі поверхні тіла обертання навколо осі х кривої, заданої на відрізку параметрично: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)

Застосовуючи цю формулу для нашого рівняння циклоїди отримуємо:

Завдання №4. Знайти об'єм тіла, отриманого під час обертання арки циклоїди

Уздовж осі Ох.

В інтегральному обчисленні щодо обсягів є таке зауваження:

Якщо крива, що обмежує криволінійну трапецію задана параметричними рівняннями і функції в цих рівняннях задовольняють умовам теореми про заміну змінної в певному інтегралі, то об'єм тіла обертання трапеції навколо осі Ох буде обчислюватися за формулою

Скористайтеся цією формулою для знаходження потрібного нам обсягу.

Завдання вирішено.

Висновок

Отже, під час виконання цієї роботи було з'ясовано основні властивості циклоїди. Також навчилися будувати циклоїду, з'ясувала геометричний зміст циклоїди. Як виявилося, циклоїда має величезне практичне застосуванняу математиці, а й у технологічних розрахунках, у фізиці. Але циклоїди є й інші заслуги. Нею користувалися вчені XVII століття розробки прийомів дослідження кривих ліній, - тих прийомів, які призвели зрештою до винаходу диференціального і інтегрального обчислень. Вона ж була одним із «пробних каменів», на яких Ньютон, Лейбніц та їхні перші дослідники випробовували силу нових потужних математичних методів. Нарешті, завдання про брахистохрон привела до винаходу варіаційного обчислення, настільки потрібного фізикам сьогоднішнього дня. Таким чином, циклоїда виявилася нерозривно пов'язаною з одним із найцікавіших періодів в історії математики.

Література

1. Берман Г.М. Циклоїда. - М., 1980

2. Вєров С.Г. Брахистохрона, чи ще одна таємниця циклоїди // Квант. - 1975. - №5

3. Вєров С.Г. Таємниці циклоїди// Квант. - 1975. - №8.

4. Гаврилова Р.М., Говорухіна А.А., Карташева Л.В., Костецька Г.С., Радченко Т.М. Програми певного інтеграла. Методичні вказівкита індивідуальні завдання для студентів 1 курсу фізичного факультету. - Ростов н/Д: УПЛ РГУ, 1994.

5. Гіндікін С.Г. Зоряний вік циклоїди // Квант. - 1985. - №6.

6. Фіхтенгольц Г.М. Курс диференціального та інтегрального обчислення. Т.1. - М., 1969

Така лінія і називається «огинаючою». Будь-яка крива лінія є огинаючою своїх дотичних.

Матерія і рух, і той спосіб, що вони становлять, дають можливість кожному реалізувати свої потенційні можливості у пізнанні істини. Розробка методики розвитку діалектико-матеріалістичної форми мислення та оволодіння аналогічним йому методом пізнання є другим кроком на шляху вирішення проблеми розвитку та реалізації можливостей Людини. Фрагмент XX Можливості...

Обстановці можуть захворіти на неврастенію – невроз, основу клінічної картини якого становить астенічне стан. І у разі неврастенії, і у разі декомпенсації неврастенічної психопатії істота душевного (психологічного) захисту позначається уникненням труднощів у дратівливу слабкість з вегетативними дисфункціями: або від нападу людина несвідомо «відбивається» більше...

різних видівдіяльності; розвитку просторової уяви та просторових уявлень, образного, просторового, логічного, абстрактного мислення школярів; формуванні умінь застосовувати геометро-графічні знання та вміння для вирішення різних прикладних завдань; ознайомлення зі змістом та послідовністю етапів проектної діяльностів галузі технічного та...

Дуги. Спіралями є також евольвенти замкнутих кривих, наприклад, евольвента кола. Назви деяким спіралям дано за подібністю їх полярних рівнянь з рівняннями кривих в декартових координатах, наприклад: параболічна спіраль (а - r)2 = bj, гіперболічна спіраль: r = а/j. · Жезл: r2 = a/j · si-ci-cпіраль, параметричні рівняння якої мають вигляд: , )