Приклади метричних просторів із підтвердженням. Чи можете пояснити максимально простими словами, що таке метрика простору-часу? Запитання для самоконтролю

1. Простір ізольованих точок.

Довільна безліч і

2. Безліч дійсних чисел з відстанню утворює метричний простір.

3. Безліч упорядкованих груп із дійсних чисел називається – мірним арифметичним евклідовим простором.

Доведення.

Щоб довести, що простір є метричним, необхідно перевірити здійсненність аксіом.

Нехай , , .

, , …, , тобто.

А3. Перевіримо, чи виконується аксіома трикутника. Запишемо аксіому у вигляді:

Вважаючи , , отримаємо і .

Для доказу цієї нерівності використовується нерівність Коші-Буняковського.

Справді,

Отже, аксіома трикутника виконана, і множина, що розглядається, із заданою метрикою є метричним простором.

Що й потрібно було довести.

4. Безліч упорядкованих груп із дійсних чисел з . Цей метричний простір позначається.

5. Безліч упорядкованих груп із дійсних чисел з . Цей метричний простір позначається.

Приклади 3, 4 і 5 показують, що той самий запас точок може бути по-різному метризований.

6. Безліч всіх безперервних дійсних функцій, визначених на сегменті з відстанню. Позначають цей метричний простір як і безліч точок простору: . Зокрема замість пишуть .

7. Через позначається метричний простір, точками якого є всілякі послідовності дійсних чисел, що задовольняють умові , і метрика визначається формулою .

Доведення.

Так як, то має сенс за всіх. Тобто. ряд сходиться, якщо і .

Покажемо, що задовольняє аксіоми.

Аксіоми 1, 2 очевидні. Аксіома трикутника набуде вигляду:

Всі ряди є схожими.

Нерівність справедлива для будь-кого (див. приклад 3). При отримуємо нерівність для .

Що й потрібно було довести.

8. Розглянемо сукупність всіх функцій, безперервних на відрізку та . Такий метричний простір позначається і називається простір безперервних функцій з квадратичною метрикою.

9. Розглянемо безліч всіх обмежених послідовностей дійсних чисел. Визначимо. Цей метричний простір позначається.

10. Безліч упорядкованих груп з дійсних чисел з відстанню , де – будь-яке фіксоване число , є метричний простір, що позначається .

Розглянута в цьому прикладі метрика перетворюється на евклідову метрику (див. приклад 3) і в метрику прикладу 4 при . Можна показати, що метрика (див. Приклад 5) є граничним випадком .

11. Розглянемо всілякі послідовності дійсних чисел, які задовольняють умові , де – деяке фіксоване число, а відстань визначається формулою . Маємо метричний простір.

12. Нехай – безліч всіх нескінченних послідовностей – комплексних чисел. Визначимо. Маємо метричний простір.

Визначення: Нехай – метричний простір та – будь-яке підмножина. Тоді з тією ж функцією , яка тепер визначена для , є метричний простір, який називається підпросторомпростору.

Основні поняття

Позначимо метричний простір через .

Визначення: Послідовність, що належить метричному простору, називається фундаментальноїякщо кожному відповідає номер такий, що для будь-яких справедлива нерівність .

Визначення: Послідовність, що належить метричному простору, називається схожійякщо існує такий, що кожному відповідає номер такий, що для всіх справедлива нерівність. Тоді називається межеюпослідовності.

Теорема: Якщо послідовність має межу, він єдиний.

Доведення.

Дійсно, якщо і , то . Оскільки і , те , тобто. .

Теорему доведено.

Визначення: Повним метричним просторомназивається метричний простір, у якому кожна фундаментальна послідовність сходиться.

Теорема: Метрика як два аргументів є безперервної функцією, тобто. якщо і , то .

Доведення:

Нехай , , , .

По нерівності трикутника:

З (1) отримуємо:

З (2) отримуємо:

Так як ,

Позначимо.

У метричний простірможна розглядати різні множини, околиці точок, граничні точки та інші поняття класичного аналізу.

Визначення: Під околицеюточки розуміють безліч, містять відкриту кулю радіусу з центром у точці , тобто.

Визначення: Крапка називається граничною точкоюдля множини, якщо в будь-якій околиці точки міститься хоча б одна точка, відмінна від.

Визначення: Крапка називається внутрішньою точкоюмножини, якщо вона входить у разом з деякою своєю околицею.

Визначення: Безліч називається відкритимякщо воно складається з одних внутрішніх точок. Безліч називається замкнутиму собі, якщо вона містить усі свої граничні точки.

Метричне місце є замкнутим.

Підпростори можуть бути і не замкнутими підмножиною.

Якщо приєднати всі його граничні точки, то отримуємо замикання .

Визначення: Множина , що лежить у метричному просторі називається замкнутим, якщо вона збігається зі своїми замиканням: .

Замкнене множина, є найменша замкнута множина, що містять .

Визначення: Нехай. Безліч називається щільнимв, якщо. Безліч називається всюди щільнимякщо . Безліч називається ніде не щільним у, якщо якою б не була куля , знайдеться інша куля , вільна від точок множини .

Визначення: Простір називається сепарабельним, якщо в ньому існує всюди щільна лічильна множина.

У математичному аналізі важливу роль відіграє властивість повноти числової прямої, тобто той факт, що будь-яка фундаментальна послідовність дійсних чисел сходить до певної межі (Критер збіжності Коші).

Числова пряма є прикладом повним метричних просторів.

Простори ізольованих точок, , , , , , повними метричними просторами.

Простір не повно.

В аналізі широко використовується так звана лема про вкладені відрізки :

Нехай – система вкладених відрізків. Тоді для відрізка маємо.

Це означає, що всі відрізки з множини мають загальну точку .

Теорема метричних просторів аналогічну роль грає теорема про вкладені кулі.

Теорема: Для того, щоб метричний простір був повним, необхідно і достатньо, щоб у ньому будь-яка послідовність вкладених один в одного куль, радіуси яких мала непусте перетин.

Доведення:

Необхідність:

Нехай - повний метричний простір і нехай - послідовність вкладених один в одного замкнутих куль.

Нехай – радіус, а – центр кулі.

Послідовність центрів - фундаментальна, тому що при , а при . Оскільки - повно, то . Припустимо, тоді. Дійсно, куля містить всі точки послідовності , за винятком, можливо точок . Таким чином, точка є точкою дотику (граничною точкою) для кожної кулі . Але оскільки - замкнуте безліч, то .

Достатність:

Нехай – фундаментальна послідовність. Доведемо, що вона має межу. З огляду на фундаментальності можемо вибрати таку точку послідовності, що з усіх . Приймемо крапку за центр замкнутої кулі радіуса. Позначимо цю кулю. , вкладених один в одного, причому куля - деяка замкнута куля радіуса містить деяку точку поповненням

English: Wikipedia is making the site more secure. Ви використовуєте old web browser, який не може бути підключений до Wikipedia в майбутньому. Please update your device or contact your IT administrator.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器、这在将来无法连接维基百科。请更新您的设备または联络您的IT管理员。 ）.

Español: Wikipedia має в своєму розпорядженні el sitio mas seguro. Ви використовуєте навігаційну версію web viejo que no será capaz de connectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacto a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en anglès.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipedia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, що не pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: 위키피디아는 사이트의 보안을 강화하고 있습니다.이용 브라우저는 버전이 오래되어, 향후 위키피디아에 접속할 수 없게 될 가능성이 있습니다.디바이스를 갱신하거나 IT 관리자에게 상담해 주세요.기술면의 상세한 갱신 정보는 아래에 영어로 제공됩니다.

Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft нігт мейр на Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerat oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Для favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Hazznalj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alab olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia і framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Використовується для підтримки програмного забезпечення для TLS protocol versions, особливо TLSv1.0 і TLSv1.1, які ваш браузер використовується для підключення до наших мереж. Це зазвичай пов'язано з зареєстрованими браузерами, або за допомогою Android smartphones. Або це може бути interference від корпоративного або індивідуального "Web Security" software, який в даний час підвищує зв'язок безпеки.

Ви повинні upgrade вашого веб-браузера або іншогоwise fix це issue to access our sites. Цей message буде remain until Jan 1, 2020. Після того, як ваш браузер не може бути встановлений для підключення до наших серверів.

Досі, говорячи про відстань, ми завжди мали на увазі евклідову відстань. Так, відстань між векторами ми визначили як довжину вектора, а саме:

Але відстані можна обчислювати і інакше, використовуючи різні заходи довжини. Наприклад, розглянемо спрощену карту міста у вигляді прямокутної сітки вулиць із двостороннім рухом. Тоді адекватною мірою довжини може бути найкоротша відстань, яку потрібно подолати, щоб дістатися від одного перехрестя до іншого. Іноді таку відстань називають манхеттенською.

Замість того, щоб перераховувати всілякі заходи довжини, більшість з яких нам не знадобиться, ми зараз розглянемо вимоги (аксіоми), яким має задовольняти довільний захід довжини. Усі наступні теореми про відстанях будуть доведені у межах цих аксіом, тобто у найбільш загальному вигляді. У математиці прийнято замість виразу «заходу довжини» використовувати термін метрика.

Метрики.

Метрикою на множині X називається речова функція d(x, у), визначена на творі х і задовольняє наступним аксіомам:

б) тягне

г) для всіх (нерівність трикутника).

Метричним простором називається пара Доказ того, що евклідова відстань задовольняє аксіомам (а), (б) та (в), тривіально. Нерівність трикутника:

ми довели у п. 3.1 (теорема 3.1.2). Таким чином, евклідова відстань є метрикою, яку ми надалі називатимемо евклідовою метрикою.

Розглянемо один важливий клас метрик у просторі, а саме клас-метрик. -метрика є узагальненням евклідової метрики і збігається з нею при . Для p-метрика визначається так:

Ми залишимо без доказу такий факт:

Доказ те, що -метрика справді є метрикою, тобто. задовольняє аксіомам, ми також опускаємо. Частково це питання винесено до вправ.

Зауважимо, що у визначенні метрики ми не вимагали, щоб елементи х і у належали простору . Це дає нам можливість визначити безліч X, як і його елементи х, у і т. д., багатьма різними способами. Наше завдання полягає в тому, щоб вказати, за яких умов фрактальна побудова сходиться. Для цього потрібно вміти вимірювати відстань між компактними множинами, тобто необхідно визначити відповідну метрику.

Теорія множин у метричних просторах.

Нам належить зробити великий крок уперед і поширити теоретикомножественні визначення п. 3.1, які мали на увазі евклідову метрику, на довільні метрики. Відкритий шар в метричному просторі (X, d) визначається наступним чином:

З урахуванням (3.4), ми можемо залишити без змін дані вище за визначення наступних понять:

Наприклад, множина є відкритою множиною тоді і тільки тоді, коли для будь-якого можна вказати відкриту кулю (у сенсі визначення (3.4)), яка міститься в Е. До списку увійшли без змін всі визначення, крім поняття компактності. Суворе визначення компактної множини у довільному метричному просторі дається в дод. Так як нас в основному буде цікавити компактність підмножин простору, то визначення, дане вище (замкнутість і обмеженість) залишається в силі.

Якщо - метрика на множині X, а - взаємно однозначна речова функція, то

також є метрика на X. Аксіоми (а) та (в), очевидно, виконані. задовольняє аксіомі (б), оскільки – взаємно однозначна функція. Аксіома (г) запишеться у вигляді нерівності:

тобто класичної нерівності трикутника для дійсних чисел. Приклад метрики, заданої таким чином:

Кажуть, що дві метрики, , визначені на множині X, еквівалентні, якщо можна вказати такі:

Можна показати, що будь-які дві -метрики в просторі, де еквівалентні (випадок винесений в упр. 3 в кінці цього параграфа). З іншого боку, метрики на множині R не еквівалентні (упр. 4 наприкінці цього параграфа).

Очевидно, основним наслідком еквівалентності метрик для теорії фракталів є те що, що фрактальная розмірність (глава 5) зберігається заміні метрики на еквівалентну. Більше того, якщо безліч відкрито (замкнуто) в одній метриці, воно відкрито (замкнуто) і в будь-якій еквівалентній метриці. Далі, якщо множина обмежена в одній метриці, то вона обмежена і в будь-якій еквівалентній метриці. Те саме стосується і досконалих, зв'язкових і цілком розривних множин.

Збіжність.

Нехай - метрика на множині X. Послідовність точок метричного простору X сходиться до межі в метриці d, якщо послідовність чисел сходиться до нуля у звичному значенні, тобто якщо:

Тут еквівалентність метрик виявляється у наступному. Якщо метрики еквівалентні, то в метриці тоді і тільки тоді, коли в метриці, так як:

Якщо те й навпаки.

Безперервність.

У курсі математичного аналізу функція визначена на X, називається безперервною у точці , якщо.

До Рімана, Лобачевського, Ейнштейна та інших товаришів геометрія будувалася з площин, невидимих ​​точок і нескінченних в обидві сторони прямих. Над плоско-тривимірним світом гордо майорів час, сприйманий нами як процес, квантований для зручності на удари серця і цокання годинника. Все звично, прямолінійно, зрозуміло, діють сили, три координати у просторі можна визначити де завгодно – просто вбий кілочок.

Кінець ідилії настав із приходом математиків, що досліджують на кінчику пера багатовимірні простори. Вони будували складні, багатокоординатні об'єкти та системи, немислимі для людського ока та відчуттів, наприклад, знаменитий чотиривимірний куб, стрічка Мебіуса та інше. Поступово з'ясувалося, що уявне простір необов'язково має складатися з площин і прямих з процесом-часом, він може складатися, наприклад, з неправильної форми згорнутого форми плоского листа, причому час є довжиною осі, проведеної в центрі трубки. Поставлена ​​в такий "неправильний" простір точка вже ніколи не матиме звичних нам трьох координат, тому що вбитий кілочок не допоможе їх виміряти. Положення поставленої точки в неевклідовому просторі потрібно буде представляти у вигляді цілого масиву чисел, який ще й безперервно змінюється відповідно до деяких правил. Самі правила у кожному вигаданому просторі свої. Такий масив чисел називається тензором, він зберігає дані про точки простору приблизно в тому вигляді, в якому зберігає зображення відома іграшка "картинка зі цвяхів": довжина кожного стрижня є вектор, що вказує на точку по одній з координат, їх поєднання дає одне її зображення, єдине та неповторне.

Тензори - об'єкти складні, але в них є одне спільне місце - тензор як масив векторів-стрижнів можна "зрізати впоперек", визначивши так звану матрицю тензора - двомірну таблицю, в якій замість звичайних чисел формули, що описують правила його перетворення. Матриця – простий об'єкт, операції з яким добре розроблені ще сторіччя тому. Голови математиків почали посилено працювати, підставлялися різні формули, будувалися тензоры для точок найнеймовірніших просторів. Зрештою зусиллями Мінковського, Рімана, Лоренца та Ейнштейна були виявлені найпростіші тензори, що описують з достатньою точністю сприйманий нами тривимірний евклідовий простір і час-процес. Їхні матриці і називаються метриками.

Надалі прийшло розуміння того, що через взяту за основу Ейнштейном сталість швидкості світла у вакуумі метрика Мінковського стає незастосовною на дуже великих відстанях між точками, або за дуже високих показників гравітаційної взаємодії. Голови математиків знову запрацювали вже в альянсі з фізиками, які шукали експериментальне підтвердження теорій. Так з'явилася, наприклад, метрика Шварцшильда, яка описує наш світ через перемноження матриць тензорів двовимірної прямокутної площини і двомірної сфери (вона ж усім знайоме коло, але у вигляді цілого простору). Метрика Шварцшильда дозволила описати, чому ми саме так, а чи не інакше, сприймаємо рух об'єктів небесної сфери. Час у ній - постійна величина (!), що вводиться окремо в кожен розрахунок, а відстань від точки до спостерігача - насправді якийсь вектор, що дає опис протяжності простору (часу) між двома не об'єктами, але подіями.