Примери за метрични пространства с доказателство. Можете ли да обясните с възможно най-прости думи какво представлява пространствено-времевата метрика? Въпроси за самоконтрол

1. Пространство от изолирани точки.

Произволен набор и

2. Множеството от реални числа с разстояние образува метрично пространство.

3. Множеството от подредени групи от реални числа c се нарича размерно аритметично евклидово пространство.

Доказателство.

За да се докаже, че едно пространство е метрично, е необходимо да се провери изпълнимостта на аксиомите.

Позволявам , , .

, , …, , т.е.

A3. Нека проверим дали аксиомата за триъгълника е в сила. Нека запишем аксиомата във формата:

Ако приемем, , получаваме и .

За доказване на това неравенство се използва неравенството на Коши-Буняковски.

Наистина ли,

Следователно аксиомата на триъгълника е изпълнена и разглежданото множество с дадена метрика е метрично пространство.

Q.E.D.

4. Множеството от подредени групи от реални числа с . Това метрично пространство се означава с .

5. Множеството от подредени групи от реални числа с . Това метрично пространство се означава с .

Примери 3, 4 и 5 показват, че един и същ запас от точки може да бъде измерен по различни начини.

6. Множеството от всички непрекъснати реални функции, дефинирани на отсечка с разстояние . Това метрично пространство се обозначава като набор от точки в самото пространство: . По-специално те пишат вместо .

7. Чрез обозначава метричното пространство, чиито точки са всички възможни последователности от реални числа, които отговарят на условието, а метриката се определя от формулата.

Доказателство.

Тъй като има смисъл за всички. Тези. серията се сближава, ако и .

Нека покажем какво отговаря на аксиомите.

Аксиоми 1, 2 са очевидни. Аксиомата на триъгълника ще приеме формата:

Всички серии са сходни.

Неравенството е вярно за всеки (вижте пример 3). Когато получим неравенството за .

Q.E.D.

8. Разгледайте множеството от всички функции, които са непрекъснати на интервала и . Такова метрично пространство се обозначава и нарича пространство на непрекъснати функции с квадратична метрика.

9. Разгледайте множеството от всички ограничени поредици от реални числа. Да дефинираме. Това метрично пространство се означава с .

10. Множеството от подредени групи от реални числа с разстояние , където е всяко фиксирано число, е метрично пространство, обозначено с .

Метриката, разглеждана в този пример, се превръща в евклидова метрика за (вижте пример 3) и в метрика от пример 4 за . Може да се покаже, че метриката (вижте пример 5) е ограничаващ случай.

11. Разгледайте всички възможни поредици от реални числа, които отговарят на условието , където е някакво фиксирано число, а разстоянието се определя по формулата . Имаме метрично пространство.

12. Нека е множеството от всички безкрайни последователности от комплексни числа. Да дефинираме. Имаме метрично пространство.

определение: Позволявам е метрично пространство и е всяко подмножество на . След това със същата функция, която сега е дефинирана за, се нарича метрично пространство подпространствопространство.

Основни понятия

Нека означим метричното пространство с .

определение: Поредица, принадлежаща на метрично пространство, се нарича фундаментален, ако всеки съответства на число, така че неравенството .

определение: Поредица, принадлежаща на метрично пространство, се нарича конвергентен, ако съществува такова, че всеки да съответства на число, така че неравенството да е валидно за всички. Тогава се нарича лимитпоследователности.

Теорема: Ако една последователност има ограничение, тя е уникална.

Доказателство.

Наистина, ако и , тогава . Тъй като и , тогава , т.е. .

Теоремата е доказана.

определение: Пълно метрично пространствое метричното пространство, в което всяка фундаментална последователност се събира.

Теорема: Метриката като функция на два аргумента е непрекъсната функция, т.е. ако и , тогава .

Доказателство:

Позволявам , , , .

По неравенството на триъгълника:

От (1) получаваме:

От (2) получаваме:

защото,

Нека обозначим .

IN метрично пространствомогат да се разглеждат различни множества, околности на точки, гранични точки и други концепции на класическия анализ.

определение: Под заобикалящата средаточки означават набор, съдържащ отворена топка с радиус с център в точката, т.е.

определение: Точката се нарича гранична точказа набор, ако всяка околност на точка съдържа поне една точка от , различна от .

определение: Точката се нарича вътрешна точказададено, ако е включено в заедно с част от неговия квартал.

определение: Комплектът се нарича отворен, ако се състои само от вътрешни точки. Комплектът се нарича затворенв себе си, ако съдържа всичките си гранични точки.

Метричното пространство е затворено.

Подпространствата не могат да бъдат затворени подмножества.

Ако добавим всичките му гранични точки към, получаваме затваряне.

определение: Множество, лежащо в метрично пространство, се нарича затворен, ако съвпада със затварянето му: .

Затворено множество е най-малкото затворено множество, съдържащо .

определение: Позволявам . Комплектът се нарича стегнатив , ако . Комплектът се нарича гъсто навсякъде, Ако . Комплектът се нарича никъде гъсто, ако каквато и да е топката, има друга топка, свободна от точките на комплекта.

определение: Едно пространство се нарича разделимо, ако съдържа навсякъде плътно изброимо множество.

В математическия анализ важна роля играе свойството за пълнота на числовата линия, т.е. фактът, че всяка фундаментална последователност от реални числа се сближава до определена граница (критерий за конвергенция на Коши).

Числовата линия служи като пример за пълно метрично пространство.

Пространствата на изолирани точки, , , , , , са пълни метрични пространства.

пространство не е пълен.

Анализът широко използва т.нар лема за вложени сегменти :

Нека е система от вложени сегменти. Тогава за сегмента имаме .

Това означава, че всички сегменти от множеството имат обща точка.

В теорията на метричните пространства подобна роля играе теоремата за вградените топки.

Теорема: За да бъде едно метрично пространство пълно, е необходимо и достатъчно в него всяка последователност от вградени една в друга топки, чиито радиуси , да имат непразно пресичане.

Доказателство:

Необходимост:

Нека е пълно метрично пространство и нека е последователност от затворени топки, вградени една в друга.

Нека е радиусът и а е центърът на топката.

Последователността на центровете е фундаментална, тъй като при , и при . Тъй като - пълен, тогава . Да го поставим тогава. Наистина, топката съдържа всички точки от редицата, с възможното изключение на точките . Така точката е допирната точка (лимитната точка) за всяка топка. Но тъй като е затворено множество, тогава .

Адекватност:

Нека е фундаментална последователност. Нека докажем, че има граница. Поради фундаменталност можем да изберем точка в последователността така, че за всички . Нека вземем точката за център на затворена топка с радиус. Нека означим тази топка . , вградени една в друга, и топката - някаква затворена топка с радиус съдържа определена точка по завършеност

Английски: Wikipedia прави сайта по-сигурен. Използвате стар уеб браузър, който няма да може да се свързва с Wikipedia в бъдеще. Моля, актуализирайте вашето устройство или се свържете с вашия ИТ администратор.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，请更新IT ）。

испански: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrator informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Френски: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires плюс техники et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: IT情報は以下に英語で提供しています。

Немски: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät or sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

италиански: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Останете в уеб браузъра, който не ви позволява да свържете Wikipedia в бъдеще. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

маджарски: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

шведска: Wikipedia отидете на тази страница. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia in framtiden. Актуализирайте din enhet или contacta din IT-administrator. Det finns en längre och mer tehnicsk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Премахваме поддръжката за несигурни версии на протокол TLS, по-специално TLSv1.0 и TLSv1.1, на които софтуерът на вашия браузър разчита, за да се свърже с нашите сайтове. Това обикновено се причинява от остарели браузъри или по-стари смартфони с Android. Или може да е намеса от корпоративен или личен софтуер за „Уеб сигурност“, който всъщност намалява сигурността на връзката.

Трябва да надстроите вашия уеб браузър или по друг начин да коригирате този проблем, за да получите достъп до нашите сайтове. Това съобщение ще остане до 1 януари 2020 г. След тази дата вашият браузър няма да може да установи връзка с нашите сървъри.

Досега, когато говорехме за разстояние, винаги имахме предвид Евклидово разстояние. Така дефинирахме разстоянието между векторите като дължината на вектора, а именно:

Но разстоянията могат да бъдат изчислени по друг начин, като се използват различни мерки за дължина. Например, помислете за опростена карта на града под формата на правоъгълна мрежа от двупосочни улици. Тогава адекватна мярка за дължина може да бъде най-късото разстояние, което трябва да се измине, за да се стигне от едно кръстовище до друго. Понякога това разстояние се нарича Манхатън.

Вместо да изброяваме всички възможни мерки за дължина, повечето от които няма да ни трябват, сега ще разгледаме изискванията (аксиомите), на които трябва да отговаря една произволна мярка за дължина. Всички следващи теореми за разстоянията ще бъдат доказани в рамките на тези аксиоми, тоест в най-общ вид. В математиката е обичайно да се използва терминът метрика вместо израза „мярка за дължина“.

Метрика.

Метрика на множество X е реална функция d(x, y), дефинирана върху продукта x и удовлетворяваща следните аксиоми:

б) води след себе си

г) за всички (неравенство на триъгълник).

Метричното пространство е двойка Доказателството, че евклидовото разстояние удовлетворява аксиоми (a), (b) и (c) е тривиално. Неравенство на триъгълник:

ние го доказахме в раздел 3.1 (теорема 3.1.2). По този начин евклидовото разстояние е метрика, която оттук нататък ще наричаме евклидова метрика.

Нека разгледаме един важен клас метрики в пространството, а именно класа -метрики. -метрика е обобщение на Евклидовата метрика и съвпада с нея за . За p-метрика се определя, както следва:

Ще оставим следния факт без доказателство:

Доказателство, че -метриката наистина е метрика, т.е. удовлетворява аксиомите, които също пропускаме. Отчасти този въпрос е включен в упражненията.

Имайте предвид, че в дефиницията на метриката не изискваме елементите x и y да принадлежат на пространството. Това ни дава възможност да дефинираме множеството X, както и неговите елементи x, y и т.н. различни начини. Нашата задача е да посочим при какви условия фракталната конструкция се сближава. За да направите това, трябва да можете да измервате разстоянието между компактните комплекти, тоест трябва да определите подходящата метрика.

Теория на множествата в метричните пространства.

Трябва да направим голяма крачка напред и да разширим дефинициите на теорията на множествата от раздел 3.1, който предполага Евклидовата метрика, до произволни метрики. Отворена топка в метрично пространство (X, d) се дефинира, както следва:

Като вземем предвид (3.4), можем да оставим горните дефиниции на следните понятия непроменени:

Например, едно множество е отворено множество тогава и само ако за всяко едно може да се посочи отворена топка (по смисъла на дефиниция (3.4)), която се съдържа в E. Списъкът включва всички дефиниции без промени, с изключение на концепция за компактност. В приложението е дадено строго определение на компактно множество в произволно метрично пространство. Тъй като ще се интересуваме основно от компактността на подмножествата на пространството, дефиницията, дадена по-горе (затвореност и ограниченост), остава в сила.

Ако е метрика на множество X и е реална функция едно към едно, тогава

има и метрика на X. Аксиомите (a) и (c) очевидно са изпълнени. удовлетворява аксиома (b), тъй като е функция едно към едно. Аксиома (d) ще бъде записана като неравенство:

това е класическото неравенство на триъгълника за реални числа. Пример за показател, дефиниран по този начин:

Две метрики, дефинирани в набор X, се наричат ​​еквивалентни, ако е възможно да се определи така, че:

Може да се покаже, че всеки две -метрики в пространството са еквивалентни (случаят е представен в Упражнение 3 в края на този раздел). От друга страна, метриките на множеството R не са еквивалентни (упражнение 4 в края на този раздел).

Очевидно основното следствие от еквивалентността на метриките за теорията на фракталите е фактът, че фракталната размерност (глава 5) се запазва при замяната на метриката с еквивалентна. Освен това, ако наборът е отворен (затворен) в една метрика, тогава той е отворен (затворен) във всяка еквивалентна метрика. Освен това, ако наборът е ограничен в една метрика, тогава той е ограничен във всяка еквивалентна метрика. Същото важи и за съвършените, свързани и напълно прекъснати множества.

Конвергенция.

Нека е метрика на множество X. Поредица от точки на метрично пространство X се сближава до граница в метриката d, ако поредицата от числа се сближава към нула в обичайния смисъл, тоест ако:

Тук еквивалентността на показателите се изразява по следния начин. Ако показателите са еквивалентни, тогава в -метрика ако и само ако в -метрика, тъй като:

Ако е така, обратното.

Приемственост.

В курса по смятане функция, дефинирана върху X, се нарича непрекъсната в точката if.

Преди Риман, Лобачевски, Айнщайн и някои други другари, геометрията е изградена от равнини, невидими точки и прави линии, безкрайни в двете посоки. Времето гордо се носеше над плоския триизмерен свят, възприеман от нас като определен процес, квантован за удобство в сърдечни удари и тиктакане на часовник. Всичко е познато, ясно, разбираемо, действат сили, три координати в пространството могат да бъдат определени навсякъде - просто забийте колче.

Краят на идилията дойде с появата на математиците, изследващи многоизмерни пространства на върха на писалката си. Те изградиха сложни, многокоординатни обекти и системи, които бяха немислими за човешкото око и сетива, например известният четириизмерен куб, лентата на Мьобиус и т.н. Постепенно стана ясно, че не е задължително въображаемото пространство да се състои от равнини и прави линии с процес-време; то може да се състои например от плосък лист, навит на тръба с неправилна форма, като времето е дължината на ос, начертана в центъра на тръбата. Точка, поставена в такова „погрешно“ пространство, никога повече няма да има трите координати, с които сме свикнали, тъй като забито колче няма да помогне за измерването им. Позицията на дадена точка в неевклидовото пространство ще трябва да бъде представена като цял масив от числа, който също непрекъснато се променя в съответствие с определени правила. Самите правила във всяко измислено пространство са различни. Такъв масив от числа се нарича тензор; той съхранява данни за точки в пространството приблизително във формата, в която добре познатата играчка „картина на пирони“ съхранява изображение: дължината на всяка пръчка е вектор, сочещ към точка по една от координатите, тяхната комбинация дава един образ за нея, единствената.

Тензорите са сложни обекти, но имат едно общо нещо - тензорът като масив от пръчковидни вектори може да бъде "разрязан" чрез дефиниране на така наречената тензорна матрица - двумерна таблица, в която вместо обикновени числа има са формули, описващи правилата за неговото преобразуване. Матрицата е прост обект, операциите с който са били добре развити преди векове. Главите на математиците започнаха да работят усилено, те замениха различни формули и конструираха тензори за точки в най-невъобразимите пространства. В крайна сметка, чрез усилията на Минковски, Риман, Лоренц и Айнщайн, бяха открити най-простите тензори, които описват с достатъчна точност триизмерното евклидово пространство и времеви процес, които възприемаме. Техните матрици се наричат ​​метрики.

Впоследствие се разбра, че поради постоянството на скоростта на светлината във вакуум, взето за основа от Айнщайн, метриката на Минковски става неприложима при много големи разстояния между точки или при много високи скорости на гравитационно взаимодействие. Ръководителите на математиците започнаха да работят отново, сега в съюз с физици, които търсеха експериментално потвърждение на теориите. Така например се появи метриката на Шварцшилд, която описва нашия свят чрез умножаване на матрици от тензори на двумерна правоъгълна равнина и двумерна сфера (това също е познат кръг, но под формата на цялото пространство). Метриката на Шварцшилд даде възможност да се опише защо възприемаме движението на обекти в небесната сфера по този конкретен начин, а не по друг начин. Времето в него е постоянна стойност(!), въведена отделно във всяко изчисление, а разстоянието от точка до наблюдател всъщност е вид вектор, който описва степента на пространство (време) между два не обекта, а събития.