Izvanredne krivulje i njihova svojstva. Svojstva cikloide. Metode definiranja krivulja

“Za drugo jelo poslužena je pita u obliku cikloide...”

J. Swift Gulliverova putovanja

Tangenta i normala na cikloidu

Najprirodnija definicija kruga bila bi možda sljedeća: “krug je putanja čestice krutog tijela koja rotira oko fiksne osi”. Ova definicija je jasna, iz nje se lako izvode sva svojstva kruga, a što je najvažnije, ona nam odmah crta kružnicu kao kontinuiranu krivulju, što iz klasične definicije kružnice kao geometrijske nije nimalo jasno. geometrijsko mjesto točaka na ravnini jednako udaljenoj od jedne točke.

Zašto u školi definiramo krug? na geometrijsko mjesto točaka? Zašto je definiranje kruga pomoću kretanja (rotacije) loše? Razmislimo o tome.

Kada proučavamo mehaniku, ne dokazujemo geometrijske teoreme: mislimo da ih već znamo - jednostavno se pozivamo na geometriju kao na nešto već poznato.

Ako se pri dokazivanju geometrijskih teorema pozivamo na mehaniku kao na nešto već poznato, napravit ćemo pogrešku koja se zove “logički (začarani) krug”: pri dokazivanju tvrdnje pozivamo se na tvrdnju B, a tvrdnju B opravdavamo pomoću prijedloga A Grubo rečeno, Ivan kima glavom prema Petru, a Petar pokazuje prema Ivanu. Ova situacija kada se prezentira znanstvenih disciplina neprihvatljivo. Stoga, kada se prikazuje aritmetika, oni se trude da se ne pozivaju na geometriju; kada se prikazuje geometrija, ne pozivaju se na mehaniku, itd. U isto vrijeme, kada se prikazuje geometrija, može se bez straha koristiti aritmetika, ali kada se prikazuje mehanika i s aritmetikom i geometrijom , logički krug neće funkcionirati.

Definicija cikloide, s kojom smo se uspjeli upoznati, nikada nije zadovoljila znanstvenike: na kraju krajeva, ona se temelji na mehaničkim konceptima - brzini, zbrajanju kretanja itd. Stoga su geometri uvijek nastojali dati cikloidi čisto geometrijski definicija. Ali da bi se dala takva definicija, potrebno je prije svega proučiti osnovna svojstva cikloide, koristeći se njenom mehaničkom definicijom. Odabravši najjednostavnije i najkarakterističnije od ovih svojstava, možemo ga staviti u temelj geometrijske definicije.

Počnimo s proučavanjem tangente i normale na cikloidu. Što je tangenta na krivu crtu, svatko sasvim jasno razumije; Precizna definicija tangente data je u kolegijima više matematike i ovdje je nećemo davati.

Riža. 16. Tangenta i normala na krivulju.

Normala je okomica na tangentu, obnovljena u točki dodira. Na sl. Slika 16 prikazuje tangentu i normalu na krivulju AB u njenoj točki. Promotrimo cikloidu (slika 17). Kružnica se kotrlja po ravnoj liniji AB.

Pretpostavimo da se vertikalni radijus kružnice, koja je u početnom trenutku prolazila kroz donju točku cikloide, uspio okrenuti za kut (grčko slovo “phi”) i zauzeti položaj OM. Drugim riječima, vjerujemo da MST segment čini takav dio segmenta kao što je kut od 360° (od punog kruga). U ovom slučaju stvar je došla do točke M.

Riža. 17. Tangenta na cikloidu.

Točka M je točka cikloide koja nas zanima.

Strelica OH prikazuje brzinu kretanja središta kotrljajućeg kruga. Sve točke kružnice, uključujući točku M, imaju istu horizontalnu brzinu, ali osim toga, točka M sudjeluje u rotaciji kružnice. Brzina MC, koju točka M na kružnici dobiva pri toj rotaciji, usmjerena je tangencijalno na kružnicu, tj. okomito na polumjer OM. Već znamo iz "razgovora između dva veyusipedista" (vidi stranicu 6) da je brzina MS jednaka veličini brzini MR (tj. brzini OH). Stoga će paralelogram brzina u slučaju našeg gibanja biti romb (romb MSKR na sl. 17). Dijagonala MK ovog romba će nam dati tangentu na cikloidu.

Sada možemo odgovoriti na pitanje postavljeno na kraju razgovora između Sergeja i Vasje (str. 7). Gruda prljavštine odvojena od kotača bicikla kreće se tangencijalno na putanju čestice kotača od koje se odvojila. Ali putanja neće biti kružnica, već cikloida, jer kotač ne samo da rotira, već se kotrlja, odnosno čini kretanje koje se sastoji od translatornog gibanja i rotacije.

Sve navedeno omogućuje rješavanje sljedećeg “konstruktivnog problema”: zadana je pravac AB cikloide, polumjer generirajuće kružnice i točka M koja pripada cikloidi (slika 17).

Potrebno je konstruirati tangentu na MC na cikloidu.

Imajući točku M, možemo lako konstruirati generirajuću kružnicu, u njenom položaju kada točka na kružnici padne u M. Da bismo to učinili, prvo pronalazimo središte O pomoću radijusa (točka O mora ležati na ravnoj liniji paralelnoj s AB na udaljenosti od njega). Zatim gradimo segment MR proizvoljne duljine, paralelan s vodećom linijom. Zatim gradimo ravnu liniju okomitu na OM Na ovoj ravnoj liniji odložimo segment MC jednak MR iz točke M. Na MC i MR, kao i na stranama, gradimo romb. Dijagonala ovog romba će tangentirati cikloidu u točki M.

Ova konstrukcija je čisto geometrijska, iako smo je dobili korištenjem pojmova mehanike. Sada možemo reći zbogom mehanici i dobiti daljnje posljedice bez njezine pomoći. Počnimo s jednostavnim teoremom.

Teorem 1. Kut između tangente na cikloidu (u proizvoljnoj točki) i smjernice jednak je dodatku 90° polovice kuta rotacije polumjera tvorne kružnice.

Drugim riječima, u našem sl. 17 kut KLT jednak je ili . Sada ćemo dokazati ovu jednakost. Da skratimo govor, složit ćemo se da kut rotacije polumjera generirajuće kružnice nazovemo "glavni kut". To znači da kut MOT na sl. 17 - glavni kut. Glavni kut smatrat ćemo šiljastim. Čitatelj će sam modificirati obrazloženje slučaja tupi kut, tj. za slučaj kada kotrljajući krug napravi više od četvrtine punog okretaja.

Razmotrimo SMR kut. Stranica CM je okomita na OM (tangenta na kružnicu je okomita na polumjer). MR strana (horizontalna) je okomita na OT (vertikalna). Ali MOT kut, prema konvenciji, je oštar (složili smo se da ćemo uzeti u obzir prvu četvrtinu kruga), a SMR kut je tup (zašto?). To znači da kutovi MOT i SMR zbrojeno iznose 180° (kutovi s međusobno okomitim stranicama od kojih je jedna šiljasta, a druga tupa).

Dakle, kut CMR je jednak Ali, kao što znate, dijagonala romba dijeli kut na vrhu na pola.

Dakle, kut je ono što je trebalo dokazati.

Obratimo sada pažnju na normalu na cikloidu. Već smo rekli da je normala na krivulju okomica na tangentu povučenu u točki dodira (slika 16). Prikažimo lijevu stranu sl. 17 je veći, a mi ćemo nacrtati normalu (vidi sl. 18).

Od sl. 18 proizlazi da je kut EMR jednak razlici kutova KME i KMR, tj. jednak je 90° - KMR.

Riža. 18. Na teorem 2.

Ali upravo smo dokazali da je sam kut KMR jednak . Tako dobivamo:

Dokazali smo jednostavan, ali koristan teorem. Navedimo njegovu formulaciju:

Teorem 2. Kut između normale na cikloidu (u bilo kojoj točki) i smjernice jednak je polovici “glavnog kuta”.

(Zapamtite da je "primarni kut" kut rotacije radijusa kotrljajućeg kruga)

Spojimo sada točku M (“trenutačnu” točku cikloide) s “donjom” točkom (T) tvorne kružnice (s točkom dodira tvorne kružnice i usmjeravajućeg pravca – vidi sl. 18).

Trokut MOT je očito jednakokračan (OM i OT su polumjeri tvorne kružnice). Zbroj kutova na bazi ovog trokuta je jednak , a svaki od kutova na bazi je polovica tog zbroja. Tako,

Obratimo pozornost na RMT kut. Jednaka je razlici kutova OMT i OMR. Sada smo vidjeli da je jednak 90° - što se tiče OMR kuta, nije teško saznati čemu je jednak. Uostalom, kut OMP jednak je kutu DOM (unutarnji poprečni kutovi kada su paralelni).

Riža. 19. Osnovna svojstva tangente i normale na cikloidu.

Odmah je vidljivo da je jednak . Znači,. Tako dobivamo:

Dobiva se izvanredan rezultat: ispada da je kut RMT jednak kutu RME (vidi teorem 2). Stoga će se direct ME i MT spojiti! Naša riža. 18 nije urađeno baš kako treba! Točan položaj linija prikazan je na sl. 19.

Kako formulirati dobiveni rezultat? Formuliramo ga u obliku teorema 3.

Teorem 3 (prvo osnovno svojstvo cikloide). Normala na cikloidu prolazi kroz "donju" točku generirajuće kružnice.

Ovaj teorem ima jednostavan korolar. Kut između tangente i normale je po definiciji pravac. Ovo je kut upisan u krug

Stoga mora počivati ​​na promjeru kruga. Dakle, je promjer i "gornja" točka generirajućeg kruga. Formulirajmo dobiveni rezultat.

Korolar (drugo glavno svojstvo cikloide). Tangenta na cikloidu prolazi kroz "gornju" točku generirajuće kružnice.

Reproducirajmo sada konstrukciju cikloide po točkama, kao što smo učinili na sl. 6.

Riža. 20. Cikloida - omotnica svojih tangenti.

Na sl. 20 osnovica cikloide podijeljena je na 6 jednakih dijelova; Što je veći broj podjela, točniji će crtež biti, kao što znamo. U svakoj točki cikloide koju smo konstruirali povlačimo tangentu koja spaja točku krivulje s "gornjom" točkom generirajuće kružnice. Na našem crtežu imamo sedam tangenti (dvije su okomite). Sada crtajući cikloidu rukom, pazit ćemo da ona stvarno dodiruje svaku od ovih tangenti: to će značajno povećati točnost crteža. U ovom slučaju, sama cikloida će se saviti oko svih ovih tangenti

Nacrtajmo istu figuru. 20 normala u svim pronađenim točkama cikloide. Bit će ukupno pet normala, ne računajući vodiča. Možete napraviti slobodno savijanje ovih normala.

Da smo uzeli 12 ili 16 točaka dijeljenja umjesto šest, tada bi na crtežu bilo više normala, a omotnica bi bila jasnije ocrtana. Ova ovojnica svih normala igra važnu ulogu u proučavanju svojstava bilo koje zakrivljene linije. U slučaju cikloide otkriva se zanimljiva činjenica: ovojnica normala cikloide je potpuno ista cikloida, samo pomaknuta 2a dolje i 2a udesno. Morat ćemo se pozabaviti ovim čudnim rezultatom, karakterističnim upravo za cikloidu.

Svojstva tangente i normale na cikloidu prvi je opisao Toricelli (1608-1647) u svojoj knjizi Geometrijski radovi (1644). Toricelli se poslužio dodavanjem pokreta. Nešto kasnije, ali potpunije, Roberval (pseudonim francuskog matematičara Gillesa Personnea, 1602.-1672.) ispitao je ova pitanja. Svojstva tangente na cikloidu proučavao je i Descartes; predstavio je svoje rezultate bez pribjegavanja mehanici.

LEMNICATE
Jednadžba u polarnim koordinatama:
r 2 = a 2 cos2θ

(x 2 + y 2) 2 = a 2 (x 2 - y 2)

Kut između AB" ili A"B i x-osi = 45 o

Površina jedne petlje = a 2 /2

CIKLOIDA

Površina jednog luka = ​​3πa 2

Duljina luka jednog luka = ​​8a

Ovo je krivulja opisana točkom P na kružnici polumjera a, koja se kotrlja duž osi x.

HIPOCIKLOID SA ČETIRI KRAKA
Jednadžba u pravokutnim koordinatama:
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3

Jednadžbe u parametarskom obliku:

Površina obuhvaćena krivuljom = 3πa 2 /8

Duljina luka cijele krivulje = 6a

Ovo je krivulja opisana točkom P na kružnici polumjera a/4, koja se kotrlja unutar kružnice polumjera a.

KARDIOID
Jednadžba: r = a(1 + cosθ)

Površina obuhvaćena krivuljom = 3πa 2 /2

Duljina luka krivulje = 8a

To je krivulja opisana točkom P na kružnici polumjera a, koja se kotrlja izvan kružnice polumjera a. Ova krivulja je također poseban slučaj Pascalovog puža.

LANAC LINIJA
jednadžba:
y = a(e x/a + e -x/a)/2 = acosh(x/a)

Ovo je krivulja duž koje bi lanac visio kada bi visio okomito od točke A do točke B.

RUŽA S TRI LATICE
Jednadžba: r = acos3θ

Jednadžba r = acos3θ slična je krivulji dobivenoj rotacijom u smjeru suprotnom od kazaljke na satu duž krivulje od 30 o ili π/6 radijana.

Općenito, r = acosnθ ili r = asinnθ ima n režnjeva ako je n neparan.

RUŽA S ČETIRI LATICE
Jednadžba: r = acos2θ

Jednadžba r = asin2θ slična je krivulji dobivenoj rotacijom u smjeru suprotnom od kazaljke na satu duž krivulje od 45 o ili π/4 radijana.

Općenito r = acosnθ ili r = asinnθ ima 2n latica ako je n paran.

EPICIKLOID
Parametarske jednadžbe:

To je krivulja opisana točkom P na kružnici polumjera b dok se kotrlja duž vanjske strane kružnice polumjera a. Kardioida je poseban slučaj epicikloide.

OPĆI HIPOCIKLOD
Parametarske jednadžbe:

To je krivulja opisana točkom P na kružnici polumjera b dok se kotrlja duž vanjske strane kružnice polumjera a.

Ako je b = a/4, krivulja je hipocikloida s četiri točke.

TROHOIDNI
Parametarske jednadžbe:

Ovo je krivulja opisana točkom P na udaljenosti b od središta kruga polumjera a dok se kotrlja duž osi x.
Ako je b skraćena cikloida.
Ako je b > a, krivulja ima oblik prikazan na sl. 11-11 i zove se šetač.
Ako je b = a, krivulja je cikloida.

TRAKTRICE
Parametarske jednadžbe:

To je krivulja opisana krajnjom točkom P rastegnute niti duljine PQ kada se drugi kraj Q pomiče duž x osi.

VERZIERA (VERZIERA) AGNEZI (PONEKAD CURL AGNEZI)
Jednadžba u pravokutnim koordinatama: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2)

Parametarske jednadžbe:

B. Na slici promjenjivi pravac OA siječe y = 2a i kružnicu polumjera a sa središtem (0,a) u točkama A odnosno B. Bilo koja točka P na "zavoju" određena je konstruiranjem linija paralelnih s osi x i y, odnosno kroz B i A, te definiranjem točke presjeka P.

DESCARTESOV LIST
Jednadžba u pravokutnim koordinatama:
x 3 + y 3 = 3axy

Parametarske jednadžbe:

Površina petlje 3a 2 /2

Jednadžba asimptote: x + y + a = 0.

KRUG INVOLVENTAN
Parametarske jednadžbe:

Ovo je krivulja opisana krajnjom točkom P niti dok se odmotava iz kruga polumjera a.

ELIPSA INVOLVENTNA
Jednadžba u pravokutnim koordinatama:
(ax) 2/3 + (po) 2/3 = (a 2 - b 2) 2/3

Parametarske jednadžbe:

Ova krivulja je omotnica normalna na elipsu x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

CASSINIJEVI OVALNI
Polarna jednadžba: r 4 + a 4 - 2a 2 r 2 cos2θ = b 4.

To je krivulja opisana točkom P tako da je umnožak njezine udaljenosti od dviju fiksnih točaka [udaljenost 2a na stranu] konstanta b 2 .

Krivulja kao na slikama ispod kada je b a.

Ako je b = a, krivulja je lemniskata

PASCALOV PUŽ
Polarna jednadžba: r = b + acosθ

Neka je OQ pravac koji povezuje središte O s bilo kojom točkom Q na kružnici promjera a koja prolazi kroz O. Tada je krivulja žarište svih točaka P tako da je PQ = b.

Krivulja prikazana na slikama ispod kada je b > a ili b

CISSOID DIOKLA
Jednadžba u pravokutnim koordinatama: y 2 = x 3 /(2a - x)

Parametarske jednadžbe:

Ovo je krivulja opisana točkom P tako da je udaljenost OP = udaljenost RS. Koristi se u zadatku udvostručenje kocke, tj. pronalaženje stranice kocke koja ima dvostruko veći volumen od zadane kocke

ARHIMEDOVA SPIRALA
Polarna jednadžba: r = aθ

5. Parametarska cikloidna jednadžba i jednadžba u Kartezijevim koordinatama

Pretpostavimo da nam je dana cikloida koju čini kružnica polumjera a sa središtem u točki A.

Ako kao parametar koji određuje položaj točke odaberemo kut t=∟NDM za koji se polumjer, koji je na početku kotrljanja imao vertikalni položaj AO, uspio zarotirati, tada će x i y koordinate točke M izraziti na sljedeći način:

x= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Dakle, parametarske jednadžbe cikloide imaju oblik:

Kada se t promijeni od -∞ do +∞, dobit će se krivulja koja se sastoji od beskonačnog broja grana kao što su one prikazane na ovoj slici.

Također, osim parametarske jednadžbe cikloide, postoji i njena jednadžba u Kartezijevim koordinatama:

Gdje je r radijus kruga koji tvori cikloidu.

6. Zadaci pronalaženja dijelova cikloide i likova koje cikloida tvori

Zadatak br. 1. Odredite površinu lika omeđenog jednim lukom cikloide čija je jednadžba dana parametarski

i osi Ox.

Otopina. Za rješavanje ovog problema koristit ćemo se činjenicama koje poznajemo iz teorije integrala, a to su:

Područje zakrivljenog sektora.

Promotrimo neku funkciju r = r(ϕ) definiranu na [α, β].

ϕ 0 ∈ [α, β] odgovara r 0 = r(ϕ 0) i, prema tome, točki M 0 (ϕ 0 , r 0), gdje je ϕ 0,

r 0 - polarne koordinate točke. Ako se ϕ mijenja, "prolazeći" cijelim [α, β], tada će varijabilna točka M opisivati ​​neku krivulju AB, zadanu

jednadžba r = r(ϕ).

Definicija 7.4. Zakrivljeni sektor je lik omeđen dvjema zrakama ϕ = α, ϕ = β i krivuljom AB definiranom u polarnoj

koordinate jednadžbom r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Istina je sljedeće

Teorema. Ako je funkcija r(ϕ) > 0 i kontinuirana je na [α, β], tada površina

krivuljasti sektor izračunava se po formuli:

Ovaj je teorem ranije dokazan u temi određenog integrala.

Na temelju gornjeg teorema, naš problem pronalaženja površine figure ograničene jednim lukom cikloide, čija je jednadžba dana parametarskim parametrima x= a (t – sin t), y= a (1 – cos t) i osi Ox, svodi se na sljedeće rješenje .

Otopina. Iz jednadžbe krivulje dx = a(1−cos t) dt. Prvi luk cikloide odgovara promjeni parametra t od 0 do 2π. Stoga,

Zadatak br. 2. Odredite duljinu jednog luka cikloide

Sljedeći teorem i njegov korolar također su proučavani u integralnom računu.

Teorema. Ako je krivulja AB dana jednadžbom y = f(x), gdje su f(x) i f ’ (x) kontinuirani na , tada je AB ispravljajuća i

Posljedica. Neka je AB zadan parametrički

L AB = (1)

Neka su funkcije x(t), y(t) kontinuirano diferencijabilne na [α, β]. Zatim

formula (1) može se napisati na sljedeći način

Napravimo promjenu varijabli u ovom integralu x = x(t), tada je y’(x)= ;

dx= x’(t)dt i prema tome:

Sada se vratimo na rješavanje našeg problema.

Otopina. Imamo, i stoga

Zadatak br. 3. Trebamo pronaći površinu S koja nastaje rotacijom jednog luka cikloide

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – trošak), 0≤ t ≤ 2π)

U integralnom računu postoji sljedeća formula za pronalaženje površine tijela rotacije oko x-osi krivulje definirane parametarski na segmentu: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)

Primjenom ove formule na našu cikloidnu jednadžbu dobivamo:

Zadatak br. 4. Nađi volumen tijela dobivenog rotacijom luka cikloide

Duž osi Ox.

U integralnom računu, kada se proučavaju volumeni, postoji sljedeća napomena:

Ako je krivulja koja omeđuje zakrivljeni trapez dana parametarskim jednadžbama i funkcije u tim jednadžbama zadovoljavaju uvjete teorema o promjeni varijable u određenom integralu, tada će volumen tijela rotacije trapeza oko osi Ox izračunati po formuli

Upotrijebimo ovu formulu da pronađemo volumen koji nam je potreban.

Problem je riješen.

Zaključak

Dakle, tijekom ovog rada razjašnjena su osnovna svojstva cikloide. Također smo naučili graditi cikloidu i saznali geometrijsko značenje cikloide. Kako se pokazalo, cikloid ima ogroman praktična primjena ne samo u matematici, već iu tehnološkim proračunima i fizici. Ali cikloida ima druge zasluge. Koristili su ga znanstvenici 17. stoljeća kada su razvijali tehnike za proučavanje zakrivljenih linija - one tehnike koje su u konačnici dovele do izuma diferencijalnog i integralnog računa. To je također bio jedan od "kamena ispitivanja" na kojem su Newton, Leibniz i njihovi rani istraživači testirali moć moćnih novih matematičkih metoda. Konačno, problem brahistokrone doveo je do izuma varijacijskog računa, koji je toliko potreban današnjim fizičarima. Tako se pokazalo da je cikloida neraskidivo povezana s jednim od najzanimljivijih razdoblja u povijesti matematike.

Književnost

1. Berman G.N. Cikloida. – M., 1980

2. Verov S.G. Brachistochrone, ili druga tajna cikloide // Quantum. – 1975. - br.5

3. Verov S.G. Tajne cikloide // Quantum. – 1975. - br.8.

4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Primjene određenog integrala. Smjernice te individualni zadaci za studente 1. godine Fizičkog fakulteta. - Rostov n/a: UPL RSU, 1994.

5. Gindikin S.G. Zvjezdano doba cikloide // Quantum. – 1985. - br.6.

6. Fikhtengolts G.M. Tečaj diferencijalnog i integralnog računa. T.1. – M., 1969

Ova se linija naziva "omotnica". Svaka zakrivljena linija je omotnica svojih tangenti.

Materija i kretanje, te metoda koju oni sačinjavaju, omogućuju svakome da ostvari svoj potencijal u spoznaji istine. Razvijanje metodologije za razvoj dijalektičko-materijalističkog oblika mišljenja i ovladavanje sličnim načinom spoznaje drugi je korak prema rješavanju problema razvoja i ostvarivanja ljudskih sposobnosti. Fragment XX mogućnosti...

U ovoj situaciji ljudi mogu razviti neurasteniju - neurozu, čija je osnova kliničke slike astenično stanje. I u slučaju neurastenije i u slučaju dekompenzacije neurastenične psihopatije bit mentalne (psihološke) obrane ogleda se u povlačenju od teškoća u razdražljivu slabost s vegetativnim poremećajima: ili se osoba nesvjesno više "odbija" od napada. ..

Razne vrste aktivnosti; razvoj prostorne mašte i prostornih pojmova, figurativnog, prostornog, logičkog, apstraktnog mišljenja školaraca; razvijanje sposobnosti primjene geometrijsko-grafičkih znanja i vještina za rješavanje različitih primijenjenih problema; upoznavanje sa sadržajem i redoslijedom faza projektne aktivnosti u području tehničkih i...

lukovi Spirale su također evolvente zatvorenih krivulja, na primjer evolventa kružnice. Imena nekih spirala dobivaju po sličnosti njihovih polarnih jednadžbi s jednadžbama krivulja u Kartezijevim koordinatama, npr.: · parabolička spirala (a - r)2 = bj, · hiperbolička spirala: r = a/j. · Štap: r2 = a/j · si-ci-spirala, čije parametarske jednadžbe imaju oblik: , )