Kurva yang luar biasa dan propertinya. Sifat-sifat sikloid Metode untuk menentukan kurva

“Untuk hidangan kedua, disajikan kue berbentuk sikloid…”

Perjalanan J. Swift Gulliver

Bersinggung dan normal pada sikloid

Definisi lingkaran yang paling alami mungkin adalah sebagai berikut: “lingkaran adalah jalur partikel benda tegar yang berputar pada sumbu tetap”. Definisi ini jelas, dari situ mudah untuk menurunkan semua sifat-sifat lingkaran, dan yang paling penting, ia segera menggambar kita sebuah lingkaran sebagai kurva kontinu, yang sama sekali tidak terlihat dari definisi klasik lingkaran sebagai geometri. tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama dari suatu titik.

Mengapa kita mendefinisikan lingkaran di sekolah? ke tempat kedudukan titik? Mengapa mendefinisikan lingkaran menggunakan gerak (rotasi) buruk? Mari kita pikirkan tentang hal ini.

Saat kita mempelajari mekanika, kita tidak membuktikan teorema geometri: kita mengira kita sudah mengetahuinya - kita hanya menyebut geometri sebagai sesuatu yang sudah diketahui.

Jika, ketika membuktikan teorema geometri, kita menyebut mekanika sebagai sesuatu yang sudah diketahui, kita akan membuat kesalahan yang disebut “lingkaran logis (jahat)”: ketika membuktikan suatu proposisi, kita mengacu pada proposisi B, dan kita membenarkan proposisi B dengan bantuan proposisi A Secara kasar, Ivan mengangguk ke arah Peter, dan Peter menunjuk ke arah Ivan. Situasi ini ketika disajikan disiplin ilmu tidak dapat diterima. Oleh karena itu, ketika menyajikan aritmatika, mereka berusaha untuk tidak mengacu pada geometri; ketika menyajikan geometri, tidak mengacu pada mekanika, dll. Pada saat yang sama, ketika menyajikan geometri, seseorang dapat menggunakan aritmatika tanpa rasa takut, tetapi ketika menyajikan mekanika dengan aritmatika dan geometri. , lingkaran logis tidak akan berfungsi.

Definisi sikloid, yang berhasil kami kenali, tidak pernah memuaskan para ilmuwan: bagaimanapun, ini didasarkan pada konsep mekanis - kecepatan, penambahan gerakan, dll. Oleh karena itu, ahli geometri selalu berusaha memberikan sikloid geometri murni. definisi. Tetapi untuk memberikan definisi seperti itu, pertama-tama perlu mempelajari sifat dasar sikloid, dengan menggunakan definisi mekanisnya. Setelah memilih sifat-sifat ini yang paling sederhana dan paling khas, kita dapat menjadikannya dasar definisi geometris.

Mari kita mulai dengan mempelajari garis singgung dan normal sikloid. Apa itu garis singgung garis lengkung, semua orang memahaminya dengan jelas; Definisi yang tepat dari garis singgung diberikan dalam mata kuliah matematika yang lebih tinggi, dan kami tidak akan memberikannya di sini.

Beras. 16. Garis singgung dan normal suatu kurva.

Garis normal adalah garis tegak lurus garis singgung yang dikembalikan pada titik kontak. Pada Gambar. Gambar 16 menunjukkan garis singgung dan normal terhadap kurva AB pada titiknya. Sebuah lingkaran menggelinding sepanjang garis lurus AB.

Misalkan jari-jari vertikal lingkaran, yang pada saat awal melewati titik terbawah sikloid, berhasil berbelok melalui suatu sudut (huruf Yunani “phi”) dan mengambil posisi OM. Dengan kata lain, kami percaya bahwa segmen MST merupakan sebagian kecil dari segmen yang sudutnya 360° (dari satu putaran penuh). Dalam hal ini, intinya sampai pada poin M.

Beras. 17. Bersinggungan dengan sikloid.

Titik M merupakan titik sikloid yang menarik perhatian kita.

Panah OH menggambarkan kecepatan pergerakan pusat lingkaran bergulir. Semua titik pada lingkaran, termasuk titik M, mempunyai kecepatan mendatar yang sama, namun selain itu titik M ikut serta dalam perputaran lingkaran. Kecepatan MC yang diterima titik M pada lingkaran selama rotasi ini diarahkan secara tangensial terhadap lingkaran, yaitu tegak lurus terhadap jari-jari OM. Kita telah mengetahui dari “percakapan antara dua veyusipedist” (lihat halaman 6) bahwa kecepatan MS sama besarnya dengan kecepatan MR (yaitu kecepatan OH). Oleh karena itu, jajar genjang kecepatan dalam kasus gerak kita adalah belah ketupat (berlian MSKR pada Gambar 17). MK diagonal belah ketupat ini akan memberi kita garis singgung ke sikloid.

Sekarang kita bisa menjawab pertanyaan yang diajukan di akhir percakapan antara Sergei dan Vasya (hlm. 7). Segumpal kotoran yang lepas dari roda sepeda bergerak secara tangensial mengikuti lintasan partikel roda tempat ia dipisahkan. Namun lintasannya bukan lingkaran, melainkan sikloid, karena roda tidak hanya berputar, melainkan menggelinding, yaitu melakukan gerak yang terdiri dari gerak translasi dan rotasi.

Semua hal di atas memungkinkan untuk menyelesaikan “masalah konstruksi” berikut: dengan mengetahui garis pengarah AB dari sikloid, jari-jari lingkaran pembangkit dan titik M milik sikloid (Gbr. 17).

Diperlukan untuk membuat garis singgung MC ke sikloid.

Dengan mempunyai titik M, kita dapat dengan mudah membuat lingkaran pembangkit, pada posisinya ketika sebuah titik pada lingkaran jatuh ke dalam M. Untuk melakukannya, pertama-tama kita cari pusat O menggunakan jari-jarinya (titik O harus terletak pada garis lurus yang sejajar dengan AB pada jarak darinya). Kemudian kita membuat segmen MR dengan panjang sembarang, sejajar dengan garis panduan. Selanjutnya kita buat garis lurus yang tegak lurus OM. Pada garis lurus tersebut kita letakkan ruas MC sama dengan MR dari titik M. Di MC dan MR, seperti di samping, kita membuat belah ketupat. Diagonal belah ketupat ini bersinggungan dengan sikloid di titik M.

Konstruksi ini murni geometris, meskipun kami memperolehnya dengan menggunakan konsep mekanika. Sekarang kita bisa mengucapkan selamat tinggal pada mekanik dan mendapatkan konsekuensi lebih lanjut tanpa bantuannya. Mari kita mulai dengan teorema sederhana.

Teorema 1. Sudut antara garis singgung sikloid (pada titik sembarang) dan garis pengarah sama dengan penjumlahan 90° dari setengah sudut rotasi jari-jari lingkaran pembangkit.

Dengan kata lain, pada gambar kita. 17 sudut KLT sama dengan atau . Kami sekarang akan membuktikan kesetaraan ini. Untuk mempersingkat pidatonya, kami sepakat untuk menyebut sudut rotasi jari-jari lingkaran pembangkit sebagai "sudut utama". Artinya sudut MOT pada Gambar. 17 - sudut utama. Kami akan menganggap sudut utama sebagai sudut lancip. Pembaca sendiri yang akan mengubah alasan kasus tersebut sudut tumpul, yaitu untuk kasus ketika lingkaran bergulir membuat lebih dari seperempat putaran penuh.

Mari kita pertimbangkan sudut SMR. Sisi CM tegak lurus OM (garis singgung lingkaran tegak lurus jari-jari). Sisi MR (horizontal) tegak lurus dengan PL (vertikal). Namun sudut MOT, menurut konvensi, adalah lancip (kami sepakat untuk mempertimbangkan seperempat belokan pertama), dan sudut SMR adalah tumpul (mengapa?). Artinya sudut MOT dan SMR berjumlah 180° (sudut yang sisi-sisinya saling tegak lurus, salah satunya lancip dan yang lainnya tumpul).

Jadi, sudut CMR sama dengan Tapi, seperti yang Anda ketahui, diagonal belah ketupat membagi sudut di titik sudut menjadi dua.

Oleh karena itu, sudut inilah yang perlu dibuktikan.

Sekarang mari kita mengalihkan perhatian kita ke normal ke sikloid. Kita telah mengatakan bahwa garis normal kurva adalah tegak lurus terhadap garis singgung yang ditarik pada titik kontak (Gbr. 16). Mari kita gambarkan sisi kiri Gambar. 17 lebih besar, dan kita akan menggambar garis normal (lihat Gambar 18).

Dari Gambar. 18 maka sudut EMR sama dengan selisih antara sudut KME dan KMR, yaitu sama dengan 90° - KMR.

Beras. 18. Untuk Teorema 2.

Tapi kita baru saja membuktikan bahwa sudut KMR itu sendiri sama dengan . Jadi kita mendapatkan:

Kami telah membuktikan teorema sederhana namun berguna. Mari kita berikan rumusannya:

Teorema 2. Sudut antara garis normal ke sikloid (di titik mana pun) dan garis pengarah sama dengan setengah “sudut utama”.

(Ingat bahwa “sudut primer” adalah sudut rotasi jari-jari lingkaran bergulir)

Sekarang mari kita hubungkan titik M (titik “arus” dari sikloid) dengan titik “bawah” (T) dari lingkaran pembangkit (dengan titik singgung lingkaran pembangkit dan garis pengarah - lihat Gambar 18).

Segitiga MOT jelas sama kaki (OM dan OT adalah jari-jari lingkaran pembangkit). Jumlah sudut alas segitiga adalah , dan masing-masing sudut alas adalah setengah dari jumlah tersebut. Jadi,

Mari kita perhatikan sudut RMT. Besarnya sama dengan selisih sudut OMT dan OMR. Kita sekarang telah melihat bahwa besarnya sama dengan 90° - sedangkan untuk sudut OMR, tidak sulit untuk mengetahui besarnya. Bagaimanapun, sudut OMP sama dengan sudut DOM (sudut melintang bagian dalam jika sejajar).

Beras. 19. Sifat dasar garis singgung dan normal suatu sikloid.

Jelas sekali bahwa itu sama dengan . Cara, . Jadi kita mendapatkan:

Hasil yang luar biasa diperoleh: sudut RMT ternyata sama dengan sudut RME (lihat Teorema 2). Oleh karena itu, langsung AKU dan MT akan bergabung! Nasi kami. 18 tidak dilakukan dengan benar! Lokasi garis yang benar ditunjukkan pada Gambar. 19.

Bagaimana merumuskan hasil yang diperoleh? Kita rumuskan dalam bentuk Teorema 3.

Teorema 3 (sifat dasar pertama sikloid). Garis normal sikloid melewati titik “bawah” lingkaran pembangkit.

Teorema ini memiliki akibat yang sederhana. Sudut antara garis singgung dan garis normal menurut definisinya adalah garis lurus. Ini adalah sudut yang tertulis dalam lingkaran

Oleh karena itu, ia harus bertumpu pada diameter lingkaran. Jadi, adalah diameternya, dan merupakan titik “atas” dari lingkaran pembangkit. Mari kita rumuskan hasil yang diperoleh.

Akibat wajar (properti utama kedua dari sikloid). Garis singgung sikloid melewati titik “atas” lingkaran pembangkit.

Sekarang mari kita mereproduksi konstruksi sikloid dengan titik-titik, seperti yang kita lakukan pada Gambar. 6.

Beras. 20. Cycloid - selubung garis singgungnya.

Pada Gambar. 20 alas sikloid dibagi menjadi 6 bagian yang sama besar; Semakin besar jumlah pembagiannya, maka gambarnya akan semakin akurat, seperti yang kita ketahui. Pada setiap titik sikloid yang telah kita buat, kita menggambar garis singgung yang menghubungkan titik kurva dengan titik “atas” lingkaran pembangkit. Dalam gambar kita, kita mempunyai tujuh garis singgung (dua di antaranya vertikal). Sekarang menggambar sikloid dengan tangan, kita akan memastikan bahwa itu benar-benar menyentuh setiap garis singgung ini: ini akan meningkatkan keakuratan gambar secara signifikan. Dalam hal ini, sikloid itu sendiri akan membengkokkan semua garis singgung ini

Mari menggambar pada gambar yang sama. 20 normal di semua titik sikloid yang ditemukan. Akan ada total lima normal, tidak termasuk panduannya. Anda dapat membuat pembengkokan normal ini dengan tangan bebas.

Jika kita mengambil 12 atau 16 titik pembagian, bukan enam, maka akan ada lebih banyak garis normal pada gambar, dan amplop akan terlihat lebih jelas. Selubung semua garis normal ini memainkan peran penting dalam mempelajari sifat-sifat garis lengkung apa pun. Dalam kasus sikloid, fakta menarik terungkap: selubung normal sikloid adalah sikloid yang persis sama, hanya bergeser 2a ke bawah dan 2a ke kanan. Kita harus menghadapi hasil yang aneh ini, yang merupakan karakteristik khusus dari sikloid.

Sifat-sifat garis singgung dan normal suatu sikloid pertama kali diuraikan oleh Toricelli (1608-1647) dalam bukunya Geometrical Works (1644). Toricelli menggunakan penambahan gerakan. Beberapa waktu kemudian, namun lebih lengkap, Roberval (nama samaran matematikawan Perancis Gilles Personne, 1602-1672) meneliti pertanyaan-pertanyaan ini. Sifat-sifat garis singgung sikloid juga dipelajari oleh Descartes; dia mempresentasikan hasilnya tanpa menggunakan mekanik.

LEMNICAT
Persamaan dalam koordinat kutub:
r 2 = a 2 cos2θ

(x 2 + kamu 2) 2 = a 2 (x 2 - kamu 2)

Sudut antara AB" atau A"B dan sumbu x = 45 o

Luas satu lingkaran = a 2 /2

Sikloid

Luas satu busur = 3πa 2

Panjang busur satu lengkungan = 8a

Ini adalah kurva yang digambarkan oleh titik P pada lingkaran berjari-jari a, yang menggelinding sepanjang sumbu x.

HYPOCYCLOIDS DENGAN EMPAT JARI
Persamaan dalam koordinat persegi panjang:
x 2/3 + kamu 2/3 = a 2/3

Persamaan dalam bentuk parametrik:

Luas yang dibatasi kurva = 3πa 2 /8

Panjang busur seluruh kurva = 6a

Ini adalah kurva yang digambarkan oleh titik P pada lingkaran berjari-jari a/4, yang menggelinding di dalam lingkaran berjari-jari a.

KARDIOID
Persamaan: r = a(1 + cosθ)

Luas yang dibatasi kurva = 3πa 2 /2

Panjang busur kurva = 8a

Merupakan kurva yang digambarkan oleh titik P pada lingkaran berjari-jari a, yang menggelinding ke luar lingkaran berjari-jari a. Kurva ini juga merupakan kasus khusus dari siput Pascal.

GARIS RANTAI
Persamaannya:
y = a(e x/a + e -x/a)/2 = acosh(x/a)

Ini adalah kurva di mana sebuah rantai akan digantung secara vertikal dari titik A ke B.

TIGA KELOMPOK MAWAR
Persamaan: r = acos3θ

Persamaan r = acos3θ mirip dengan kurva yang diperoleh dengan memutar berlawanan arah jarum jam sepanjang kurva 30 o atau π/6 radian.

Secara umum r = acosnθ atau r = asinnθ mempunyai n kelopak jika n ganjil.

EMPAT MAWAR PETALE
Persamaan: r = acos2θ

Persamaan r = asin2θ mirip dengan kurva yang diperoleh dengan memutar berlawanan arah jarum jam sepanjang kurva 45 o atau π/4 radian.

Secara umum r = acosnθ atau r = asinnθ mempunyai 2n kelopak jika n genap.

EPICYCLOID
Persamaan parametrik:

Merupakan kurva yang digambarkan oleh titik P pada lingkaran berjari-jari b yang menggelinding di luar lingkaran berjari-jari a. Cardioid adalah kasus khusus episikloid.

HIPOSIKLOID UMUM
Persamaan parametrik:

Merupakan kurva yang digambarkan oleh titik P pada lingkaran berjari-jari b yang menggelinding di luar lingkaran berjari-jari a.

Jika b = a/4, kurvanya adalah hiposikloid dengan empat titik.

TROKHOID
Persamaan parametrik:

Ini adalah kurva yang digambarkan oleh titik P pada jarak b dari pusat lingkaran berjari-jari a yang menggelinding sepanjang sumbu x.
Jika b adalah sikloid yang diperpendek.
Jika b > a, maka kurva tersebut berbentuk seperti pada Gambar. 11-11 dan dipanggil pejalan.
Jika b = a, kurvanya adalah sikloid.

TRAKTRIK
Persamaan parametrik:

Ini adalah kurva yang digambarkan oleh titik ujung P dari tali yang diregangkan dengan panjang PQ ketika ujung Q yang lain digerakkan sepanjang sumbu x.

VERZIERA (VERZIERA) AGNEZI (TERKADANG CURL AGNEZI)
Persamaan koordinat persegi panjang: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2)

Persamaan parametrik:

B. Pada gambar, garis variabel OA memotong y = 2a dan sebuah lingkaran berjari-jari a yang masing-masing berpusat (0,a) di A dan B. Setiap titik P pada "ikal" ditentukan dengan membuat garis yang sejajar dengan sumbu x dan y, masing-masing melalui B dan A, dan menentukan titik potong P.

DESCARTES DAUN
Persamaan dalam koordinat persegi panjang:
x 3 + kamu 3 = 3aksi

Persamaan parametrik:

Luas lingkaran 3a 2 /2

Persamaan asimtot: x + y + a = 0.

LINGKARAN TERLIBAT
Persamaan parametrik:

Ini adalah kurva yang digambarkan oleh titik ujung P tali ketika tali tersebut terlepas dari lingkaran berjari-jari a.

ELLIPSE TERLIBAT
Persamaan dalam koordinat persegi panjang:
(kapak) 2/3 + (oleh) 2/3 = (a 2 - b 2) 2/3

Persamaan parametrik:

Kurva ini merupakan garis normal amplop terhadap elips x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

OVAL CASSINI
Persamaan kutub: r 4 + a 4 - 2a 2 r 2 cos2θ = b 4 .

Ini adalah kurva yang digambarkan oleh sebuah titik P sedemikian rupa sehingga hasil kali jaraknya dari dua titik tetap [jarak 2a ke samping] adalah sebuah konstanta b 2 .

Kurva seperti pada gambar di bawah ini ketika b a masing-masing.

Jika b = a, kurvanya adalah lemniscate

Siput PASCAL
Persamaan kutub: r = b + acosθ

Misalkan OQ adalah garis yang menghubungkan pusat O dengan sembarang titik Q pada lingkaran berdiameter a yang melalui O. Maka kurva tersebut merupakan fokus semua titik P sehingga PQ = b.

Kurva ditunjukkan pada gambar di bawah ketika b > a atau b

CISSOID DIOCLES
Persamaan koordinat persegi panjang: y 2 = x 3 /(2a - x)

Persamaan parametrik:

Ini adalah kurva yang digambarkan oleh titik P sehingga jarak OP = jarak RS. Digunakan dalam tugas menggandakan kubus, yaitu mencari sisi kubus yang volumenya dua kali volume kubus tertentu

SPIRAL ARCHIMEDES
Persamaan kutub: r = aθ

5. Persamaan parametrik sikloid dan persamaan dalam koordinat kartesius

Misalkan kita diberi sebuah sikloid yang dibentuk oleh lingkaran berjari-jari a yang berpusat di titik A.

Jika kita memilih sebagai parameter penentu posisi titik sudut t=∟NDM yang melaluinya jari-jari yang mempunyai posisi vertikal AO pada awal penggulungan berhasil berputar, maka koordinat x dan y titik M akan diungkapkan sebagai berikut:

x= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

kamu= FM = NG = ND – GD = a – a biaya t

Jadi persamaan parametrik sikloid berbentuk:

Ketika t berubah dari -∞ menjadi +∞, akan diperoleh kurva yang terdiri dari cabang-cabang yang jumlahnya tak terhingga seperti yang ditunjukkan pada gambar ini.

Selain persamaan parametrik sikloid, ada juga persamaannya dalam koordinat Cartesian:

Dimana r adalah jari-jari lingkaran pembentuk sikloid.

6. Soal mencari bagian-bagian sikloid dan bangun-bangun yang dibentuk oleh sikloid

Tugas No.1. Temukan luas bangun yang dibatasi oleh satu busur sikloid yang persamaannya diberikan secara parametrik

dan sumbu Sapi.

Larutan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, kita akan menggunakan fakta-fakta yang kita ketahui dari teori integral, yaitu:

Luas sektor melengkung.

Pertimbangkan beberapa fungsi r = r(ϕ) yang didefinisikan pada [α, β].

ϕ 0 ∈ [α, β] berhubungan dengan r 0 = r(ϕ 0) dan, oleh karena itu, titik M 0 (ϕ 0 , r 0), di mana ϕ 0,

r 0 - koordinat kutub suatu titik. Jika ϕ berubah, “menjalani” seluruh [α, β], maka titik variabel M akan menggambarkan beberapa kurva AB, diberikan

persamaan r = r(ϕ).

Definisi 7.4. Bidang lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh dua sinar ϕ = α, ϕ = β dan kurva AB yang didefinisikan dalam kutub

koordinat dengan persamaan r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Berikut ini adalah kebenarannya

Dalil. Jika fungsi r(ϕ) > 0 dan kontinu pada [α, β], maka luasnya

sektor lengkung dihitung dengan rumus:

Teorema ini telah dibuktikan sebelumnya pada topik integral tentu.

Berdasarkan teorema di atas, tugas kita mencari luas bangun yang dibatasi oleh satu busur sikloid, yang persamaannya diberikan oleh parameter parametrik x= a (t – sin t), y= a (1 – biaya t), dan sumbu Ox, direduksi menjadi solusi berikut.

Larutan. Dari persamaan kurva dx = a(1−cos t) dt. Busur pertama sikloid berhubungan dengan perubahan parameter t dari 0 menjadi 2π. Karena itu,

Tugas No.2. Temukan panjang salah satu busur sikloid

Teorema berikut dan akibat wajarnya juga dipelajari dalam kalkulus integral.

Dalil. Jika kurva AB diberikan oleh persamaan y = f(x), dimana f(x) dan f ’ (x) kontinu pada , maka AB dapat disearahkan dan

Konsekuensi. Biarkan AB diberikan secara parametrik

L AB = (1)

Misalkan fungsi x(t), y(t) terdiferensiasi kontinyu pada [α, β]. Kemudian

rumus (1) dapat ditulis sebagai berikut

Mari kita ubah variabel pada integral ini x = x(t), maka y’(x)= ;

dx= x'(t)dt dan oleh karena itu:

Sekarang mari kita kembali menyelesaikan masalah kita.

Larutan. Kami punya, dan karena itu

Tugas No.3. Kita perlu mencari luas permukaan S yang terbentuk dari rotasi salah satu busur sikloid

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – biaya), 0≤ t ≤ 2π)

Dalam kalkulus integral, terdapat rumus berikut untuk mencari luas permukaan benda revolusi di sekitar sumbu x suatu kurva yang ditentukan secara parametrik pada suatu ruas: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)

Menerapkan rumus ini pada persamaan sikloid, kita mendapatkan:

Tugas No.4. Temukan volume benda yang diperoleh dengan memutar lengkungan sikloid

Sepanjang sumbu Sapi.

Dalam kalkulus integral, ketika mempelajari volume, ada pernyataan berikut:

Jika kurva yang membatasi trapesium lengkung diberikan oleh persamaan parametrik dan fungsi-fungsi dalam persamaan tersebut memenuhi syarat teorema perubahan variabel dalam integral tertentu, maka volume benda revolusi trapesium di sekitar sumbu Ox adalah dihitung dengan rumus

Mari kita gunakan rumus ini untuk mencari volume yang kita butuhkan.

Masalah terpecahkan.

Kesimpulan

Jadi, dalam pekerjaan ini, sifat dasar sikloid diklarifikasi. Kami juga mempelajari cara membuat sikloid dan mengetahui arti geometris dari sikloid. Ternyata, cycloid itu memiliki ukuran yang sangat besar penggunaan praktis tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam perhitungan teknologi, dalam fisika. Namun cycloid memiliki kelebihan lain. Ini digunakan oleh para ilmuwan abad ke-17 ketika mengembangkan teknik untuk mempelajari garis lengkung - teknik yang pada akhirnya mengarah pada penemuan kalkulus diferensial dan integral. Ini juga merupakan salah satu “batu ujian” di mana Newton, Leibniz dan para peneliti awal mereka menguji kekuatan metode matematika baru yang kuat. Terakhir, masalah brachistochrone mengarah pada penemuan kalkulus variasi, yang sangat diperlukan bagi fisikawan masa kini. Dengan demikian, sikloid ternyata terkait erat dengan salah satu periode paling menarik dalam sejarah matematika.

literatur

1. Berman G.N. Sikloid. – M., 1980

2. Verov S.G. Brachistochrone, atau rahasia lain dari cycloid // Quantum. – 1975. - Nomor 5

3. Verov S.G. Rahasia sikloid // Quantum. – 1975. - Nomor 8.

4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Penerapan integral tertentu. Pedoman dan tugas individu untuk mahasiswa tahun 1 Fakultas Fisika. -Rostov tidak ada: UPL RSU, 1994.

5. Gindikin S.G. Usia bintang sikloid // Quantum. – 1985. - Nomor 6.

6. Fikhtengolts G.M. Mata kuliah kalkulus diferensial dan integral. T.1. – M., 1969

Baris ini disebut “amplop”. Setiap garis lengkung merupakan selubung dari garis singgungnya.

Materi dan gerak, serta metode yang mendasarinya, memungkinkan setiap orang menyadari potensinya dalam pengetahuan tentang kebenaran. Mengembangkan metodologi untuk pengembangan bentuk pemikiran dialektis-materialistis dan penguasaan metode kognisi serupa merupakan langkah kedua menuju pemecahan masalah pengembangan dan realisasi kemampuan Manusia. Peluang Fragmen XX...

Dalam situasi ini, orang dapat mengembangkan neurasthenia - suatu neurosis, yang gambaran klinisnya didasarkan pada keadaan asthenic. Baik dalam kasus neurasthenia maupun dalam kasus dekompensasi psikopati neurasthenic, esensi pertahanan mental (psikologis) tercermin dalam penarikan diri dari kesulitan menjadi kelemahan yang mudah tersinggung dengan disfungsi vegetatif: baik orang tersebut secara tidak sadar “melawan” serangan itu lebih banyak. ..

Berbagai jenis kegiatan; pengembangan imajinasi spasial dan konsep spasial, pemikiran figuratif, spasial, logis, abstrak anak sekolah; mengembangkan kemampuan menerapkan pengetahuan dan keterampilan geometri dan grafik untuk memecahkan berbagai masalah terapan; pengenalan isi dan urutan tahapan kegiatan proyek di bidang teknik dan...

Busur. Spiral juga merupakan lengkungan dari kurva tertutup, misalnya lengkungan lingkaran. Nama-nama beberapa spiral diberikan berdasarkan kemiripan persamaan polarnya dengan persamaan kurva koordinat kartesius, misalnya: · spiral parabola (a - r)2 = bj, · spiral hiperbolik: r = a/j. · Batang: r2 = a/j · si-ci-spiral yang persamaan parametriknya berbentuk: , )