§3. Bilangan koprima dan sifat-sifatnya. Bilangan koprima - definisi, contoh dan sifat-sifat Semua bilangan koprima
Pada artikel kali ini kita akan membahas tentang apa itu bilangan koprima. Pada paragraf pertama, kami merumuskan definisi dua, tiga atau lebih bilangan prima yang relatif, memberikan beberapa contoh dan menunjukkan dalam kasus apa dua bilangan dapat dianggap prima dalam hubungannya satu sama lain. Setelah itu, kita beralih ke rumusan sifat-sifat utama dan pembuktiannya. Di paragraf terakhir kita akan berbicara tentang konsep terkait - bilangan prima berpasangan.
Apa itu bilangan koprima
Dua bilangan bulat atau lebih dapat saling prima. Pertama, mari kita perkenalkan definisi dua bilangan, yang untuk itu kita memerlukan konsep pembagi persekutuan terbesarnya. Jika perlu, ulangi materi yang didedikasikan untuk itu.
Definisi 1
Dua bilangan a dan b akan saling prima, pembagi persekutuan terbesarnya sama dengan 1, yaitu. KPK (sebuah , b) = 1 .
Dari definisi ini kita dapat menyimpulkan bahwa satu-satunya pembagi persekutuan positif dari dua bilangan koprima akan sama dengan 1. Hanya dua bilangan tersebut yang memiliki dua pembagi persekutuan - satu dan minus satu.
Apa saja contoh bilangan koprima? Misalnya, pasangan tersebut adalah 5 dan 11. Mereka hanya mempunyai satu pembagi positif yang sama, sama dengan 1, yang menegaskan kesederhanaan bersama mereka.
Jika kita mengambil dua bilangan prima, maka dalam hubungannya satu sama lain keduanya akan menjadi bilangan prima dalam semua kasus, tetapi hubungan timbal balik seperti itu juga terbentuk antara bilangan komposit. Ada kasus ketika satu bilangan dalam pasangan bilangan prima yang relatif merupakan bilangan komposit, dan bilangan kedua adalah bilangan prima, atau keduanya bilangan komposit.
Pernyataan ini diilustrasikan dengan contoh berikut: bilangan komposit 9 dan 8 membentuk pasangan yang relatif prima. Mari kita buktikan dengan menghitung pembagi persekutuan terbesarnya. Untuk melakukan ini, kami menuliskan semua pembaginya (sebaiknya membaca kembali artikel tentang mencari pembagi suatu bilangan). Untuk 8 angkanya adalah ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, dan untuk 9 – ± 1, ± 3, ± 9. Kami memilih dari semua pembagi yang merupakan pembagi yang umum dan terbesar - ini adalah salah satunya. Oleh karena itu, jika GCD (8, − 9) = 1, maka 8 dan - 9 saling koprima.
Bilangan koprima bukanlah 500 dan 45, karena keduanya mempunyai pembagi persekutuan lainnya - 5 (lihat artikel tentang kriteria habis dibagi 5). Lima lebih besar dari satu dan merupakan bilangan positif. Pasangan serupa lainnya bisa jadi - 201 dan 3, karena keduanya dapat habis dibagi 3, seperti yang ditunjukkan oleh tanda habis dibagi yang sesuai.
Dalam praktiknya, sering kali kita perlu menentukan bilangan prima relatif dari dua bilangan bulat. Mencari tahu hal ini dapat direduksi menjadi mencari pembagi persekutuan terbesar dan membandingkannya dengan kesatuan. Akan lebih mudah juga untuk menggunakan tabel bilangan prima agar tidak membuat perhitungan yang tidak perlu: jika salah satu bilangan yang diberikan ada dalam tabel ini, maka bilangan tersebut hanya habis dibagi satu dan bilangan itu sendiri. Mari kita lihat solusi untuk masalah ini.
Contoh 1
Kondisi: cari tahu apakah bilangan 275 dan 84 merupakan bilangan koprima.
Larutan
Kedua bilangan tersebut jelas mempunyai lebih dari satu pembagi, sehingga kita tidak bisa langsung menyebutnya relatif prima.
Kita menghitung pembagi persekutuan terbesar menggunakan algoritma Euclidean: 275 = 84 3 + 23, 84 = 23 3 + 15, 23 = 15 1 + 8, 15 = 8 1 + 7, 8 = 7 1 + 1, 7 = 7 · 1.
Menjawab: karena GCD (84, 275) = 1, maka bilangan-bilangan tersebut relatif prima.
Seperti yang kami katakan sebelumnya, definisi bilangan tersebut dapat diperluas ke kasus ketika kita tidak memiliki dua bilangan, tetapi lebih.
Definisi 2
Bilangan bulat a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 akan saling prima jika bilangan pembagi persekutuan terbesarnya sama dengan 1 .
Dengan kata lain, jika kita mempunyai himpunan bilangan yang pembagi positif terbesarnya lebih besar dari 1, maka semua bilangan tersebut tidak saling berbanding terbalik.
Mari kita ambil beberapa contoh. Jadi, bilangan bulat − 99, 17 dan − 27 relatif prima. Bilangan prima berapapun akan menjadi koprima terhadap semua anggota populasi, seperti pada barisan 2, 3, 11, 19, 151, 293 dan 667. Tapi angka 12, − 9, 900 dan − 72 tidak akan relatif prima, karena selain kesatuan mereka akan mempunyai satu pembagi positif lagi yang sama dengan 3. Hal yang sama berlaku untuk angka 17, 85 dan 187: kecuali satu, semuanya dapat dibagi 17.
Biasanya keutamaan bilangan tidak terlihat jelas pada pandangan pertama; fakta ini memerlukan bukti. Untuk mengetahui apakah suatu bilangan relatif prima, Anda perlu mencari pembagi persekutuan terbesarnya dan menarik kesimpulan berdasarkan perbandingannya dengan satu.
Contoh 2
Kondisi: tentukan apakah bilangan 331, 463 dan 733 termasuk bilangan prima.
Larutan
Mari kita periksa tabel bilangan prima dan tentukan bahwa ketiga bilangan tersebut ada di dalamnya. Maka pembagi persekutuannya hanya akan menjadi satu.
Menjawab: semua angka-angka ini akan menjadi koprima satu sama lain.
Contoh 3
Kondisi: berikan bukti bahwa bilangan − 14, 105, − 2 107 dan − 91 tidak koprima.
Larutan
Mari kita mulai dengan mengidentifikasi pembagi persekutuan terbesarnya, lalu memastikan bahwa pembaginya tidak sama dengan 1. Karena bilangan negatif mempunyai pembagi yang sama dengan bilangan positif yang bersesuaian, maka gcd (− 14, 105, 2 107, − 91) = gcd (14, 105, 2 107, 91). Menurut aturan yang kami berikan di artikel tentang mencari pembagi persekutuan terbesar, dalam hal ini gcdnya akan sama dengan tujuh.
Menjawab: tujuh lebih besar dari satu, artinya bilangan-bilangan tersebut relatif tidak prima.
Sifat dasar bilangan koprima
Angka-angka tersebut memiliki beberapa praktis properti penting. Mari kita buat daftarnya secara berurutan dan buktikan.
Definisi 3
Jika kita membagi bilangan bulat a dan b dengan bilangan yang sesuai dengan pembagi persekutuan terbesarnya, kita memperoleh bilangan yang relatif prima. Dengan kata lain, a: gcd (a, b) dan b: gcd (a, b) akan relatif prima.
Kami telah membuktikan properti ini. Buktinya dapat ditemukan di artikel tentang sifat-sifat pembagi persekutuan terbesar. Berkat itu, kita dapat menentukan pasangan bilangan prima: kita hanya perlu mengambil dua bilangan bulat dan membaginya dengan GCD. Hasilnya, kita akan mendapatkan bilangan koprima.
Definisi 4
Syarat perlu dan cukup agar bilangan prima a dan b saling menguntungkan adalah adanya bilangan bulat tersebut kamu 0 Dan v 0, untuk kesetaraan yang mana a · kamu 0 + b · v 0 = 1 akan menjadi kenyataan.
Bukti 1
Mari kita mulai dengan membuktikan perlunya kondisi ini. Katakanlah kita mempunyai dua bilangan yang relatif prima, dilambangkan dengan a dan b. Kemudian, menurut definisi konsep ini, pembagi persekutuan terbesarnya akan sama dengan satu. Dari sifat-sifat GCD kita mengetahui bahwa untuk bilangan bulat a dan b terdapat relasi Bezout a · kamu 0 + b · v 0 = gcd (a, b). Dari situ kita mendapatkan itu a · kamu 0 + b · v 0 = 1. Setelah itu, kita perlu membuktikan kecukupan kondisi tersebut. Biarkan kesetaraan a · kamu 0 + b · v 0 = 1 akan benar dalam kasus ini jika simpul (a,b) membagi dan a , dan b , maka jumlahnya juga akan dibagi a · kamu 0 + b · v 0, dan satuan, masing-masing (hal ini dapat diperdebatkan berdasarkan sifat-sifat dapat dibagi). Dan ini hanya mungkin jika KPK (a, b) = 1, yang membuktikan kesederhanaan bersama dari a dan b.
Faktanya, jika a dan b koprima, maka menurut sifat sebelumnya persamaannya benar a · kamu 0 + b · v 0 = 1. Kami mengalikan kedua sisi dengan c dan mendapatkan hasilnya a · c · u 0 + b · c · v 0 = c. Kita bisa membagi suku pertama a · c · kamu 0 + b · c · v 0 oleh b, karena hal ini mungkin terjadi pada a · c, dan suku kedua juga habis dibagi b, karena salah satu faktor kita sama dengan b. Dari sini kita menyimpulkan bahwa seluruh jumlah dapat dibagi dengan b, dan karena jumlah tersebut sama dengan c, maka c dapat dibagi dengan b.
Definisi 5
Jika dua bilangan bulat a dan b koprima, maka gcd (ac, b) = gcd (c, b).
Bukti 2
Mari kita buktikan bahwa GCD (a c, b) akan membagi GCD (c, b), dan setelah itu, GCD (c, b) tersebut akan membagi GCD (a c, b), yang akan menjadi bukti kebenaran persamaan GCD (a · c , b) = KPK (c , b) .
Karena KPK (a · c, b) membagi a · c dan b, dan KPK (a · c, b) membagi b, maka bilangan tersebut juga akan membagi b · c. Artinya GCD (a c, b) membagi a c dan b c, oleh karena itu, karena sifat-sifat GCD, GCD juga membagi GCD (a c, b c), yang akan sama dengan c GCD (a, b ) = c . Oleh karena itu, GCD (a · c, b) membagi b dan c, oleh karena itu, GCD juga membagi (c, b).
Dapat juga dikatakan bahwa karena GCD (c, b) membagi c dan b, maka ia akan membagi c dan a c. Artinya, GCD (c, b) membagi a · c dan b, sehingga juga membagi GCD (a · c, b).
Jadi gcd (a c, b) dan gcd (c, b) saling membagi, artinya keduanya sama.
Definisi 6
Jika angka-angka tersebut berasal dari barisan a 1 , a 2 , … , ak akan relatif prima terhadap bilangan-bilangan barisan tersebut b 1, b 2, …, bm(pada nilai-nilai alam k dan m), lalu hasil kali mereka a 1 · a 2 · … · k Dan b 1 · b 2 · … · b m juga relatif prima, khususnya, a 1 = a 2 = … = a k = a Dan b 1 = b 2 = … = b m = b, Itu sebuah k Dan bm- saling sederhana.
Bukti 3
Berdasarkan sifat-sifat sebelumnya, kita dapat menuliskan persamaan dalam bentuk berikut: FPB (a 1 · a 2 · … · a k, b m) = GCD (a 2 · … · a k, b m) = … = GCD (ak, b m) = 1. Kemungkinan transisi terakhir dijamin oleh fakta bahwa a k dan b m relatif prima berdasarkan kondisi. Artinya KPK (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = 1 .
Mari kita menyatakan a 1 · a 2 · … · a k = A dan diperoleh bahwa FPB (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = GCD (b 1 · b 2 · … · b m , A) = KPK (b 2 · … · b · b m , A) = … = KPK (b m , A) = 1 . Hal ini berlaku karena persamaan terakhir dari rantai yang dibangun di atas. Jadi, kita mempunyai persamaan GCD (b 1 · b 2 · … · b m, a 1 · a 2 · … · a k) = 1, yang dengannya kita dapat membuktikan keutamaan timbal balik dari produk-produk tersebut a 1 · a 2 · … · k Dan b 1 · b 2 · … · b m
Ini semua adalah sifat-sifat bilangan koprima yang ingin kami sampaikan kepada Anda.
Konsep bilangan prima berpasangan
Dengan mengetahui apa itu bilangan koprima, kita dapat merumuskan definisi bilangan prima berpasangan.
Definisi 7
Bilangan prima berpasangan adalah barisan bilangan bulat a 1 , a 2 , ... , a k , yang masing-masing bilangan relatif prima terhadap bilangan lainnya.
Contoh barisan bilangan prima berpasangan adalah 14, 9, 17, dan − 25. Di sini semua pasangan (14 dan 9, 14 dan 17, 14 dan −25, 9 dan 17, 9 dan −25, 17 dan −25) adalah koprima. Perhatikan bahwa kondisi bilangan prima timbal balik adalah wajib untuk bilangan prima berpasangan, tetapi bilangan prima timbal balik tidak akan menjadi bilangan prima berpasangan dalam semua kasus. Misalnya, pada barisan 8, 16, 5, dan 15, bilangan-bilangan tersebut bukanlah bilangan-bilangan tersebut, karena 8 dan 16 tidak relatif prima.
Anda juga harus memikirkan konsep himpunan sejumlah bilangan prima tertentu. Mereka akan selalu sederhana satu sama lain dan berpasangan. Contohnya adalah barisan 71, 443, 857, 991. Dalam kasus bilangan prima, konsep bilangan prima timbal balik dan berpasangan akan bertepatan.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Kecuali ±1.
- 14 dan 25 relatif prima karena tidak memiliki faktor persekutuan;
- 15 dan 25 tidak koprima karena mempunyai faktor persekutuan 5;
Representasi visual: jika Anda membangun “hutan” pada suatu bidang dengan memasang “pohon” yang ketebalannya nol pada titik-titik yang koordinatnya bilangan bulat, maka dari titik asal hanya terlihat pohon yang koordinatnya koprima, lihat gambar di sebelah kanan sebagai contoh penampakan “pohon” dengan koordinat (9, 4).
Sebutan
Untuk menunjukkan keutamaan relatif suatu bilangan m (\gaya tampilan m) Dan n (\gaya tampilan n) sebutan yang digunakan adalah:
m ⊥ n. (\displaystyle m\pelaku n.)Namun tidak semua matematikawan mengenal dan menggunakan notasi ini. Kata-kata atau notasi yang setara yang paling umum digunakan adalah gcd (a , b) = 1 (\displaystyle \gcd(a,b)=1), yang artinya: "pembagi persekutuan terbesar dari suatu bilangan A Dan B sama dengan 1".
Definisi terkait
- Jika dalam satu set angka setiap dua bilangan koprima, maka bilangan-bilangan tersebut disebut koprima berpasangan. Untuk dua bilangan, konsep “coprime” dan “pairwise coprime” bertepatan.
Contoh
- 8, 15 tidak sederhana, tetapi relatif sederhana.
- 6, 8, 9 adalah bilangan koprima (bersama-sama), tetapi bukan bilangan koprima berpasangan.
- 8, 15, 49 berpasangan relatif prima.
Properti
- Angka a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b) relatif prima jika dan hanya jika salah satu kondisi ekuivalen terpenuhi:
- Dua bilangan prima (yang berbeda) adalah koprima.
- Jika a (\gaya tampilan a)- pembagi produk b c (\gaya tampilan bc), Dan a (\gaya tampilan a) timbal balik hanya dengan b (\gaya tampilan b), Itu a (\gaya tampilan a)- pembagi c (\gaya tampilan c).
- Jika angkanya a 1 , … , a n (\displaystyle a_(1),\ltitik ,a_(n)) adalah bilangan prima yang saling berpasangan, lalu NOC(a 1 , … , sebuah n) = | a 1 ⋅ … ⋅ a n | (\displaystyle (a_(1),\ldots ,a_(n))=|a_(1)\cdot \ldots \cdot a_(n)|). Misalnya, NOC (9 , 11) = 9 ⋅ 11 = 99 (\displaystyle (9,11)=9\cdot 11=99).
- Kemungkinannya ada k (\gaya tampilan k) bilangan bulat positif yang dipilih secara acak akan menjadi koprima, sama dengan , dalam arti kapan N → ∞ (\displaystyle N\hingga \infty ) kemungkinan itu k (\gaya tampilan k) bilangan bulat positif kurang dari N (\displaystyle (\textstyle (N)))(dan dipilih secara acak) akan relatif prima, cenderung 1 ζ (k) (\displaystyle (\dfrac (1)(\zeta (k)))). Di Sini ζ (k) (\displaystyle \zeta (k))- Ini
Buku pelajaran matematika terkadang sulit untuk dipahami. Bahasa penulis yang kering dan jelas tidak selalu mudah dimengerti. Dan topik-topik yang ada selalu saling berhubungan dan saling berkonsekuensi. Untuk menguasai satu topik, Anda harus mengangkat beberapa topik sebelumnya, dan terkadang bahkan membuka-buka seluruh buku teks. Sulit? Ya. Mari kita mengambil risiko untuk menghindari kesulitan-kesulitan ini dan mencoba menemukan pendekatan non-standar terhadap topik tersebut. Mari kita melakukan semacam perjalanan ke negeri angka. Namun definisinya tetap sama, karena aturan matematika tidak dapat dibatalkan. Jadi, bilangan koprima adalah bilangan asli yang pembagi persekutuannya sama dengan satu. Itu sudah jelas? Lumayan.
Untuk contoh yang lebih visual, mari kita ambil angka 6 dan 13. Keduanya habis dibagi satu (koprima). Tetapi bilangan 12 dan 14 tidak bisa seperti itu, karena tidak hanya habis dibagi 1, tetapi juga 2. Bilangan berikut, 21 dan 47, juga tidak termasuk dalam kategori “bilangan koprima”: bilangan tersebut tidak dapat habis dibagi hanya pada 1, tetapi juga pada 7.
Bilangan koprima dilambangkan sebagai berikut: ( A, kamu) = 1.
Kita dapat mengatakannya dengan lebih sederhana: pembagi persekutuan (terbesar) di sini sama dengan satu.
Mengapa kita membutuhkan pengetahuan seperti itu? Ada cukup banyak alasan.
Saling disertakan dalam beberapa sistem enkripsi. Mereka yang bekerja dengan cipher Hill atau sistem substitusi Caesar memahami: tanpa pengetahuan ini Anda tidak bisa kemana-mana. Jika Anda pernah mendengar tentang generator, kemungkinan besar Anda tidak akan berani menyangkalnya: bilangan prima juga digunakan di sana.
Sekarang mari kita bicara tentang cara mendapatkan bilangan sederhana, seperti yang Anda pahami, bilangan tersebut hanya dapat memiliki dua pembagi: bilangan tersebut habis dibagi satu dan habis dibagi satu. Katakanlah 11, 7, 5, 3 adalah bilangan prima, tetapi 9 bukan bilangan prima, karena bilangan tersebut sudah habis dibagi 9, 3, dan 1.
Dan jika A- bilangan prima, dan pada- dari himpunan (1, 2, ... A- 1), maka dijamin ( A, pada) = 1, atau bilangan koprima - A Dan pada.
Ini bahkan bukan penjelasan, tetapi pengulangan atau kesimpulan dari apa yang baru saja dikatakan.
Mendapatkan bilangan prima bisa dilakukan; namun, untuk bilangan besar (misalnya miliaran), metode ini terlalu panjang, namun, tidak seperti rumus super, yang terkadang membuat kesalahan, metode ini lebih dapat diandalkan.
Anda dapat bekerja dengan memilih pada > A. Untuk melakukan ini, pilih y sehingga nomornya aktif A tidak berbagi. Untuk melakukan ini, bilangan prima dikalikan dengan bilangan asli dan kuantitas ditambahkan (atau, sebaliknya, dikurangi) (misalnya, R), yang lebih kecil A:
kamu = R a+k
Jika, misalnya, A = 71, R= 3, q=10, maka, pada di sini nilainya akan sama dengan 713. Pilihan lain dimungkinkan, dengan derajat.
Bilangan komposit, tidak seperti bilangan prima, habis dibagi dengan 1, dan dengan bilangan lain (juga tanpa sisa).
Dengan kata lain, (kecuali satu) dibagi menjadi majemuk dan sederhana.
Bilangan prima adalah bilangan asli yang tidak mempunyai pembagi nontrivial (berbeda dengan bilangan itu sendiri dan kesatuan). Peran mereka sangat penting dalam kriptografi yang modern dan berkembang pesat saat ini, berkat disiplin ilmu ini, yang sebelumnya dianggap sangat abstrak, kini menjadi sangat diminati: algoritme perlindungan data terus ditingkatkan.
Bilangan prima terbesar ditemukan oleh dokter mata Martin Nowak, yang berpartisipasi dalam proyek GIMPS (komputasi distributif) bersama sekitar 15 ribu peminat lainnya. Perhitungannya memakan waktu enam tahun. Dua setengah lusin komputer yang terletak di klinik mata Novak terlibat. Hasil kerja keras dan ketekunan yang luar biasa adalah angka 225964951-1 yang ditulis dalam 7816230 desimal. Omong-omong, rekor jumlah terbesar terjadi enam bulan sebelum penemuan ini. Dan jumlah tandanya berkurang setengah juta.
Seorang jenius yang ingin menyebutkan angka yang durasi notasi desimalnya akan “melompati” angka sepuluh juta memiliki peluang untuk menerima tidak hanya ketenaran di seluruh dunia, tetapi juga $100,000. Ngomong-ngomong, untuk nomor yang melewati angka jutaan digit, Nayan Khairatwal menerima jumlah yang lebih kecil ($50.000).
$p$ disebut bilangan prima jika hanya mempunyai pembagi $2$: $1$ dan dirinya sendiri.
Pembagi bilangan asli $a$ adalah bilangan asli yang membagi bilangan asli $a$ tanpa meninggalkan sisa.
Contoh 1
Temukan pembagi angka $6$.
Solusi: Kita perlu mencari semua bilangan yang membagi bilangan $6$ tanpa sisa. Ini akan menjadi angka-angkanya: $1,2,3, 6$. Jadi pembagi bilangan $6$ adalah bilangan $1,2,3,6.$
Jawaban: $1,2,3,6$.
Artinya, untuk mencari pembagi suatu bilangan, Anda perlu mencari semua bilangan asli yang bilangan tersebut habis dibagi tanpa sisa. Sangat mudah untuk melihat bahwa bilangan $1$ akan menjadi pembagi bilangan asli apa pun.
Definisi 2
Gabungan Mereka menyebut suatu bilangan yang mempunyai pembagi lain selain satu dan bilangan itu sendiri.
Contoh bilangan prima adalah bilangan $13$, contoh bilangan komposit adalah $14.$
Catatan 1
Bilangan $1$ hanya mempunyai satu pembagi, yaitu bilangan itu sendiri, jadi bilangan tersebut bukan bilangan prima dan bukan bilangan komposit.
bilangan koprima
Definisi 3
Saling bilangan prima mereka adalah bilangan yang gcdnya sama dengan $1$ Artinya untuk mengetahui apakah bilangan-bilangan tersebut relatif prima, Anda perlu mencari gcdnya dan membandingkannya dengan $1$.
Koprima berpasangan
Definisi 4
Jika dalam suatu himpunan bilangan ada dua bilangan yang koprima, maka bilangan-bilangan tersebut disebut koprima berpasangan. Untuk dua bilangan, konsep “coprime” dan “pairwise coprime” bertepatan.
Contoh 2
$8, $15 - tidak sederhana, tetapi relatif sederhana.
$6, 8, 9$ adalah bilangan koprima, tetapi bukan bilangan koprima berpasangan.
$8, 15, 49$ berpasangan relatif prima.
Seperti yang bisa kita lihat, untuk menentukan apakah suatu bilangan relatif prima, kita perlu memfaktorkannya terlebih dahulu menjadi faktor prima. Mari perhatikan cara melakukannya dengan benar.
Faktorisasi prima
Misalnya, mari kita faktorkan bilangan $180$ menjadi faktor prima:
$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$
Mari kita gunakan properti kekuasaan, lalu kita dapatkan,
$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$
Notasi penguraian menjadi faktor prima ini disebut kanonik, yaitu. untuk memfaktorkan suatu bilangan dalam bentuk kanonik, perlu menggunakan sifat pangkat dan menyatakan bilangan tersebut sebagai hasil kali pangkat dengan basis yang berbeda
Ekspansi kanonik bilangan asli dalam bentuk umum
Perluasan kanonik suatu bilangan asli dalam bentuk umum mempunyai bentuk:
$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \titik \titik ..\cdot p^(nk)_k$
dimana $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ adalah bilangan prima, dan eksponen adalah bilangan asli.
Merepresentasikan suatu bilangan sebagai dekomposisi kanonik menjadi himpunan prima mempermudah pencarian pembagi persekutuan terbesar dari suatu bilangan, dan merupakan konsekuensi dari pembuktian atau definisi bilangan koprima.
Contoh 3
Temukan pembagi persekutuan terbesar dari angka $180$ dan $240$.
Solusi: Mari kita dekomposisi bilangan menjadi himpunan sederhana menggunakan dekomposisi kanonik
$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, lalu $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$
$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, lalu $240=2^4\cdot 3\cdot 5$
Sekarang mari kita cari gcd dari bilangan-bilangan ini, untuk ini kita pilih pangkat dengan basis yang sama dan eksponen terkecil, lalu
$GCD\(180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$
Ayo menulis algoritma untuk mencari GCD dengan mempertimbangkan faktorisasi kanonik menjadi faktor prima.
Untuk mencari pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan menggunakan ekspansi kanonik, Anda perlu:
- bilangan faktor menjadi faktor prima dalam bentuk kanonik
- pilih pangkat dengan basis yang sama dan eksponen pangkat terkecil yang termasuk dalam perluasan bilangan-bilangan ini
- Temukan produk dari angka-angka yang ditemukan pada langkah 2. Angka yang dihasilkan akan menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan.
Contoh 4
Tentukan apakah bilangan $195$ dan $336$ merupakan bilangan prima dan koprima.
$195=3\cdot 5\cdot 13$
$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$
$GCD\(195;336) =3\cdot 5=15$
Kita melihat bahwa gcd bilangan-bilangan ini berbeda dengan $1$, yang berarti bilangan-bilangan tersebut relatif tidak prima. Kita juga melihat bahwa setiap bilangan mengandung faktor, selain $1$ dan bilangan itu sendiri, yang berarti bahwa bilangan-bilangan tersebut bukan bilangan prima, melainkan bilangan komposit.
Contoh 5
Tentukan apakah bilangan $39$ dan $112$ merupakan bilangan prima dan koprima.
Solusi: Mari gunakan faktorisasi kanonik:
$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$
$GCD\(39;112)=1$
Kita melihat bahwa gcd dari bilangan-bilangan ini sama dengan $1$, yang berarti bilangan-bilangan tersebut relatif prima. Kita juga melihat bahwa setiap bilangan mengandung faktor, selain $1$ dan bilangan itu sendiri, yang berarti bahwa bilangan-bilangan tersebut bukan bilangan prima, melainkan bilangan komposit.
Contoh 6
Tentukan apakah bilangan $883$ dan $997$ merupakan bilangan prima dan koprima.
Solusi: Mari gunakan faktorisasi kanonik:
$883=1\cdot 883$
$997=1\cdot 997$
$GCD\(883;997)=1$
Kita melihat bahwa gcd dari bilangan-bilangan ini sama dengan $1$, yang berarti bilangan-bilangan tersebut relatif prima. Kita juga melihat bahwa setiap bilangan hanya menyertakan faktor yang sama dengan $1$ dan bilangan itu sendiri, yang berarti bilangan tersebut adalah bilangan prima.
Kata kunci: teori bilangan, kuliah, bilangan prima.
Definisi. Bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika (a, b) = 1.
Dua bilangan a dan b koprima jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat u dan v sehingga au + bv = 1.
Misalkan X = ( x n | n = 1, 2,...) adalah barisan bilangan asli yang meningkat secara sembarang (atau, jika Anda suka, X adalah himpunan bagian bilangan asli yang berubah-ubah, diurutkan secara alami). Mari kita nyatakan dengan ξ(N; X) banyaknya suku barisan X tidak melebihi N .
Definisi. Bilangan tersebut disebut kerapatan (asimtotik atas) barisan X = (x n | n = 1, 2,...) pada himpunan N.
Contoh 1. Misal x n = 2n, dimana n melewati N, adalah barisan semua bilangan genap. Jelas sekali
Omong-omong, ini sangat sesuai dengan gagasan intuitif kami bahwa ada setengah dari bilangan genap.
Contoh 2. Misal x n =2 n, dimana n melewati N, adalah barisan geometri. Secara intuitif jelas bahwa hanya ada sedikit bilangan seperti itu dalam deret alam, karena semakin jauh ke dalam hutan suatu bilangan dalam deret alam, semakin jarang pangkat dua bilangan tersebut. Konsep massa jenis menegaskan perasaan ini: ξ (2 k; ( x n )) = k, dan mudah untuk memverifikasi bahwa
Kepadatan adalah peluang terambilnya suatu bilangan secara acak dari suatu deret natural yang termasuk dalam deret tertentu.
Mirip dengan definisi massa jenis suatu barisan, kita dapat mendefinisikan massa jenis suatu himpunan pasangan bilangan asli. Misalkan ada himpunan sembarang X dari pasangan bilangan asli terurut. Mari kita nyatakan dengan ξ (N ; X) banyaknya pasangan dari himpunan X, yang masing-masing komponennya tidak melebihi N. Berguna untuk membayangkan pasangan bilangan dari himpunan X sebagai koordinat titik-titik pada bidang koordinat, maka ξ (N; X) hanyalah banyaknya titik dari himpunan X yang masuk ke dalam persegi ((x, y) |< x ≤ N ; 0 < y ≤ N }.
Definisi. Nomor
disebut kerapatan (asimtotik atas) dari himpunan pasangan X dalam himpunan N 2 .
Contoh 3. Misalkan X adalah himpunan semua pasangan bilangan asli yang komponen pertamanya lebih besar dari komponen kedua. Himpunan X sesuai dengan titik-titik pada seperempat bidang koordinat yang terletak di bawah garis-bagi y = x. Kepadatan himpunan tersebut mudah dihitung:
Misalkan X adalah himpunan semua pasangan terurut (u, v) bilangan asli sehingga (u, v) = 1, yaitu himpunan semua pasangan bilangan koprima.
Teorema (Cesaro). Peluang terambilnya pasangan bilangan koprima dari N sama dengan 6/π 2, lebih tepatnya Bukti. Mari kita asumsikan segera bahwa ada kemungkinan p bahwa bilangan asli a dan b yang dipilih secara acak adalah koprima. Misalkan d ∈ N. Misal P(S) menyatakan, seperti biasa, peluang kejadian S. Kami beralasan: R