Дәлелдеулері бар метрикалық кеңістіктердің мысалдары. Кеңістік-уақыт метрикасының не екенін мүмкіндігінше қарапайым сөздермен түсіндіре аласыз ба? Өзін-өзі бақылауға арналған сұрақтар
1. Оқшауланған нүктелердің кеңістігі.
Ерікті жиын және
2. Қашықтығы бар нақты сандар жиыны метрикалық кеңістікті құрайды.
3. c нақты сандардың реттелген топтарының жиыны өлшемді арифметикалық евклидтік кеңістік деп аталады.
Дәлелдеу.
Кеңістіктің метрикалық екенін дәлелдеу үшін аксиомалардың қанағаттандырылуын тексеру қажет.
, , болсын.
, , …, , яғни.
A3. Үшбұрыш аксиомасының орындалатынын тексерейік. Аксиоманы келесі түрде жазайық:
, деп есептей отырып, біз және .
Бұл теңсіздікті дәлелдеу үшін Коши-Буняковский теңсіздігі қолданылады.
Шынымен,
Демек, үшбұрыш аксиомасы орындалады, ал берілген метрикамен қарастырылатын жиын метрикалық кеңістік болып табылады.
Q.E.D.
4. Нақты сандардың реттелген топтары жиыны. Бұл метрикалық кеңістік арқылы белгіленеді.
5. Нақты сандардың реттелген топтары жиыны. Бұл метрикалық кеңістік арқылы белгіленеді.
3, 4 және 5 мысалдар нүктелердің бірдей қорын әртүрлі тәсілдермен өлшеуге болатынын көрсетеді.
6. Қашықтығы бар кесіндіде анықталған барлық үздіксіз нақты функциялардың жиыны. Бұл метрикалық кеңістік кеңістіктегі нүктелердің жиыны ретінде белгіленеді: . Атап айтқанда, олар орнына жазады.
7. Арқылы метрикалық кеңістікті белгілейді, оның нүктелері шартты қанағаттандыратын нақты сандардың барлық мүмкін тізбегі болып табылады және метрика формуламен анықталады.
Дәлелдеу.
Өйткені, бұл әркім үшін мағынасы бар. Анау. Қатар жинақталады, егер және.
Аксиомаларды қанағаттандыратын нәрсені көрсетейік.
1, 2 аксиомалары анық. Үшбұрыш аксиомасы келесі формада болады:
Барлық қатар жинақталған.
Теңсіздік кез келген адам үшін дұрыс (3 мысалды қараңыз). үшін теңсіздікті алған кезде.
Q.E.D.
8. және интервалында үздіксіз болатын барлық функциялар жиынын қарастырайық. Мұндай метрикалық кеңістік белгіленеді және квадрат метрикасы бар үздіксіз функциялар кеңістігі деп аталады.
9. Нақты сандардың барлық шектелген тізбектерінің жиынын қарастырайық. анықтайық. Бұл метрикалық кеңістік арқылы белгіленеді.
10. Қашықтығы бар нақты сандардың реттелген топтарының жиыны, мұндағы кез келген тіркелген сан, арқылы белгіленетін метрикалық кеңістік болып табылады.
Бұл мысалда қарастырылған метрика үшін евклидтік метрикаға (3-мысалды қараңыз) және 4-мысалдың метрикасына айналады. Көрсеткіштің (5-мысалды қараңыз) шекті жағдай екенін көрсетуге болады.
11. Шартты қанағаттандыратын нақты сандардың барлық мүмкін тізбегін қарастырыңыз, мұндағы қандай да бір тұрақты сан, ал қашықтығы формуламен анықталады. Бізде метрикалық кеңістік бар.
12. Күрделі сандардың барлық шексіз тізбектерінің жиыны болсын. анықтайық. Бізде метрикалық кеңістік бар.
Анықтамасы: Метрикалық кеңістік болсын және кез келген ішкі жиын болсын. Содан кейін дәл сол функциямен, ол қазір анықталған, метрикалық кеңістік деп аталады ішкі кеңістікғарыш.
Негізгі ұғымдар
Метрикалық кеңістікті арқылы белгілейік.
Анықтамасы: Метрикалық кеңістікке жататын тізбек деп аталады іргелі, егер әрқайсысы теңсіздік болатындай санға сәйкес келсе.
Анықтамасы: Метрикалық кеңістікке жататын тізбек деп аталады конвергентті, егер теңсіздік барлығы үшін орындалатындай санға сәйкес келетіндей бар болса. Содан кейін ол аталады шектеутізбектер.
Теорема: Егер тізбектің шегі болса, онда ол бірегей.
Дәлелдеу.
Шынында да, егер және болса, онда. бері және , содан кейін , яғни. .
Теорема дәлелденді.
Анықтамасы: Толық метрикалық кеңістікәрбір іргелі реттілік жинақталатын метрикалық кеңістік болып табылады.
Теорема: Екі аргументтің функциясы ретінде метрика үздіксіз функция болып табылады, яғни. егер және болса, онда.
Дәлелдеу:
, , , болсын.
Үшбұрыш теңсіздігі бойынша:
(1)-ден біз аламыз:
(2)-ден біз аламыз:
Өйткені,
белгілейік.
IN метрикалық кеңістікклассикалық талдаудың әртүрлі жиынтықтарын, нүктелерінің маңайларын, шекті нүктелерін және басқа да концепцияларын қарастыруға болады.
Анықтамасы: астында ортанүктелер нүктесінде центрі бар радиусы ашық шар бар жиынды білдіреді, яғни.
Анықтамасы: Нүкте деп аталады шекті нүктежиын үшін, егер нүктенің кез келген маңайында кем дегенде бір нүктеден тұратын болса, әр түрлі.
Анықтамасы: Нүкте деп аталады ішкі нүктеол кейбір көршілерімен бірге қосылған болса, орнатыңыз.
Анықтамасы: Жиын деп аталады ашық, егер ол тек ішкі нүктелерден тұрса. Жиын деп аталады жабықол өзінің барлық шекті нүктелерін қамтыса, өзі.
Метрикалық кеңістік жабық.
Ішкі кеңістіктер жабық ішкі жиындар болмауы мүмкін.
Егер біз оның барлық шекті нүктелерін қоссақ, біз жабыламыз.
Анықтамасы: Метрикалық кеңістікте жататын жиын деп аталады жабық, егер оның жабылуымен сәйкес келсе: .
Жабық жиын - құрамындағы ең кіші жабық жиын.
Анықтамасы: рұқсат етіңіз. Жиын деп аталады тығызішінде, егер. Жиын деп аталады барлық жерде тығыз, Егер . Жиын деп аталады еш жерде тығыз емес, егер қандай доп болса да, жиынның нүктелерінен бос тағы бір доп бар.
Анықтамасы: Кеңістік бөлінетін деп аталады, егер оның құрамында барлық жерде тығыз есептелетін жиын болса.
Математикалық талдауда маңызды рөлді сандар сызығының толықтық қасиеті, яғни нақты сандардың әрбір іргелі тізбегі белгілі бір шекке жинақталуы (Коши жинақтылық критерийі) атқарады.
Сан сызығы толық метрикалық кеңістіктің мысалы ретінде қызмет етеді.
Оқшауланған нүктелердің кеңістіктері, , , , , , болады толық метрикалық кеңістіктер.
Ғарыш толық емес.
Талдауда кеңінен қолданылады кірістірілген сегменттердегі лемма :
Кірістірілген сегменттер жүйесі болсын. Содан кейін сегмент үшін бізде бар.
Бұл жиынның барлық сегменттерінің ортақ нүктесі бар екенін білдіреді.
Метрикалық кеңістіктер теориясында ендірілген шарлар туралы теорема ұқсас рөл атқарады.
Теорема: Метрикалық кеңістік толық болуы үшін онда радиустары бос емес қиылысуы бар бір-біріне енгізілген шарлардың әрбір тізбегі қажет және жеткілікті.
Дәлелдеу:
Қажеттілік:
Толық метрикалық кеңістік болсын және бір-біріне енгізілген жабық шарлар тізбегі болсын.
Доптың радиусы а және центрі болсын.
Орталықтардың тізбегі іргелі, өйткені -де және -де. бері - аяқталды, содан кейін . Олай болса қояйық. Шынында да, шарда мүмкін болатын нүктелерді қоспағанда, тізбектің барлық нүктелері бар. Осылайша нүкте әрбір доп үшін жанасу нүктесі (шектеу нүктесі) болып табылады. Бірақ жабық жиын болғандықтан, .
Сәйкестік:
Негізгі реттілік болсын. Оның шегі бар екенін дәлелдеп көрейік. Іргелілікке байланысты біз барлығына арналған реттіліктегі нүктені таңдай аламыз. Нүктені радиусы жабық шардың центрі деп алайық, осы шарды белгілейік. , бір-біріне ендірілген және доп - радиустың кейбір жабық шарында аяқтау арқылы белгілі бір нүкте бар
Ағылшынша: Wikipedia сайттың қауіпсіздігін арттыруда. Сіз болашақта Уикипедияға қосыла алмайтын ескі веб-шолғышты пайдаланып жатырсыз. Құрылғыңызды жаңартыңыз немесе АТ әкімшісіне хабарласыңыз.
中文: 以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。
Испан: Wikipedia бұл жерде орналасқан. Қолданылған веб-сайтты пайдалану үшін Уикипедия мен болашақта жалғанудың ешқайсысы жоқ. Әкімші ақпаратымен байланысу немесе байланыс орнату. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.
ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.
Француз:Уикипедия және екі қауіпсіздік сайтын кеңейту. Ежелгі веб-навигаторды пайдалану үшін Уикипедияға қосылатын қосқышты пайдалана аласыз. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Қосымша ақпарат, сонымен қатар әдістемелер, сонымен қатар ағылшын тіліндегі ақпарат.
日本語: ???す るか情報は以下に英語で提供しています。
неміс: Wikipedia Sicherheit der Webseite деп аталады. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator және. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise English Sprache тіліндегі Du unten тапты.
Итальяндық: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Веб-шолғышта қалыңыз, болашақта Уикипедияға қосылыңыз. Қажет болса, ақпаратты басқаруға немесе басқаруға болады. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico ағылшын тіліндегі.
Мажар:Біз Уикипедияға кіреміз. A bongésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (анголул).
Свенска: Wikipedia көр sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia мен framtiden. Жаңартулар IT-әкімшімен байланыста болады. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.
हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।
Біз қауіпсіз TLS протоколының нұсқаларына, атап айтқанда, веб-сайттарымызға қосылу үшін шолғыш бағдарламалық құралы сүйенетін TLSv1.0 және TLSv1.1 қолдауын алып тастаймыз. Бұған әдетте ескірген браузерлер немесе ескі Android смартфондары себеп болады. Немесе бұл байланыс қауіпсіздігін шынымен төмендететін корпоративтік немесе жеке «Веб-қауіпсіздік» бағдарламалық құралының кедергісі болуы мүмкін.
Біздің сайттарға кіру үшін веб-шолғышты жаңарту керек немесе бұл мәселені басқа жолмен шешу керек. Бұл хабар 2020 жылдың 1 қаңтарына дейін сақталады. Осы күннен кейін браузеріңіз біздің серверлермен байланыс орната алмайды.
Осы уақытқа дейін қашықтық туралы айтқан кезде біз әрқашан Евклидтік қашықтықты меңзейтінбіз. Сонымен, біз векторлар арасындағы қашықтықты вектордың ұзындығы ретінде анықтадық, атап айтқанда:
Бірақ қашықтықты әртүрлі ұзындық өлшемдерін қолдана отырып, басқа жолмен есептеуге болады. Мысалы, екі жақты көшелердің тікбұрышты торы түріндегі жеңілдетілген қала картасын қарастырайық. Сонда ұзындықтың барабар өлшемі бір қиылыстан екіншісіне жету үшін ең қысқа қашықтық болуы мүмкін. Кейде бұл қашықтықты Манхэттен деп те атайды.
Ұзындықтың барлық мүмкін болатын өлшемдерін тізімдеудің орнына, олардың көпшілігі бізге қажет емес, енді біз ұзындықтың ерікті өлшемі қанағаттандыруға тиіс талаптарды (аксиомаларды) қарастырамыз. Қашықтықтар туралы кейінгі барлық теоремалар осы аксиомалардың шеңберінде, яғни ең жалпы түрде дәлелденетін болады. Математикада «ұзындық өлшемі» деген сөздің орнына метрика терминін қолдану әдеттегідей.
Көрсеткіштер.
Х жиынындағы метрика х туындысында анықталған және келесі аксиомаларды қанағаттандыратын нақты d(x, y) функциясы болып табылады:
б) көздейді
г) барлығы үшін (үшбұрыш теңсіздігі).
Метрикалық кеңістік - бұл евклидтік қашықтықтың (a), (b) және (c) аксиомаларын қанағаттандыратынының дәлелі. Үшбұрыш теңсіздігі:
біз оны 3.1 тарауда дәлелдедік (3.1.2 теорема). Осылайша, Евклидтік қашықтық - бұл метрика, біз оны бұдан былай Евклид метрикасы деп атаймыз.
Кеңістіктегі метриканың бір маңызды класын, атап айтқанда -метрика класын қарастырайық. -метрика Евклид метрикасының жалпылауы болып табылады және онымен сәйкес келеді. p-метрика үшін келесідей анықталады:
Біз келесі фактіні дәлелсіз қалдырамыз:
-метриканың шын мәнінде метрика екенін дәлелдеу, яғни. біз де қалдырған аксиомаларды қанағаттандырады. Бұл сұрақ ішінара жаттығуларға енгізілген.
Метрика анықтамасында x және y элементтерінің кеңістікке жататынын талап етпегенін ескеріңіз. Бұл бізге Х жиынын, сондай-ақ оның х, у және т.б. элементтерін көптеген адамдармен анықтауға мүмкіндік береді әртүрлі жолдар. Біздің міндетіміз - фракталдық құрылыстың қандай жағдайда жақындайтынын көрсету. Ол үшін ықшам жинақтар арасындағы қашықтықты өлшей білу керек, яғни сәйкес метриканы анықтау керек.
Метрикалық кеңістіктердегі жиындар теориясы.
Біз алға үлкен қадам жасап, Евклид метрикасын білдіретін 3.1-бөлімнің жиынтық-теориялық анықтамаларын ерікті метрикаға дейін кеңейтуіміз керек. Метрикалық кеңістіктегі (X, d) ашық шар келесідей анықталады:
(3.4) ескере отырып, келесі ұғымдардың жоғарыдағы анықтамаларын өзгеріссіз қалдыруға болады:
Мысалы, егер біреу үшін ашық шарды (анықтама мағынасында (3.4)) көрсете алатын болса ғана, жиын ашық жиын болып табылады, ол E-де қамтылған. Тізімге өзгертусіз барлық анықтамалар кіреді. жинақылық туралы түсінік. Ерікті метрикалық кеңістіктегі жинақы жиынның қатаң анықтамасы қосымшада келтірілген. Бізді негізінен кеңістіктің ішкі жиындарының жинақылығы қызықтыратындықтан, жоғарыда келтірілген анықтама (тұйықтық пен шектелгендік) күшінде қалады.
Егер X жиынындағы метрика болса және бір-бірден нақты функция болса, онда
Сондай-ақ X бойынша метрика бар. (a) және (c) аксиомалары анық орындалады. аксиоманы (b) қанағаттандырады, өйткені ол бір-бір функция. Аксиома (d) теңсіздік түрінде жазылады:
яғни нақты сандар үшін классикалық үшбұрыш теңсіздігі. Көрсеткіштің мысалы келесі жолмен анықталған:
X жиынында анықталған екі метрика, егер мынаны көрсету мүмкін болса, эквивалентті деп аталады:
Кеңістіктегі кез келген екі -метриканың эквивалент болатынын көрсетуге болады (жағдай осы бөлімнің соңындағы 3-жаттығуда берілген). Екінші жағынан, R жиынындағы көрсеткіштер баламалы емес (осы бөлімнің соңындағы 4-жаттығу).
Шамасы, фрактал теориясы үшін метриканың эквиваленттілігінің негізгі салдары метриканы эквивалентпен ауыстырған кезде фракталдық өлшемнің (5-тарау) сақталуы болып табылады. Сонымен қатар, егер жиын бір метрикада ашық (жабық) болса, онда ол кез келген эквивалентті метрикада ашық (жабық) болады. Одан әрі, егер жиын бір метрикамен шектелсе, онда ол кез келген эквивалентті метрикамен шектеледі. Бұл тамаша, қосылған және толық үзіліссіз жиындарға да қатысты.
Конвергенция.
X жиынындағы метрика болсын. X метрикалық кеңістігінің нүктелерінің тізбегі, егер сандар тізбегі әдеттегі мағынада нөлге жинақталса, d метрикасындағы шекке жиналады, яғни:
Мұнда метриканың эквиваленттілігі келесідей өрнектеледі. Егер көрсеткіштер баламалы болса, онда -метрикада, егер және тек -метрикада болса, өйткені:
Олай болса, керісінше.
Үздіксіздік.
Есептер курсында X-та анықталған функция if нүктесінде үздіксіз деп аталады.
Риман, Лобачевский, Эйнштейн және басқа да кейбір жолдастарға дейін геометрия жазықтықтардан, көрінбейтін нүктелерден және екі бағытта да шексіз түзулерден тұрғызылған. Уақыт біз үшін белгілі бір процесс ретінде қабылданатын, ыңғайлы болу үшін жүрек соғысы мен сағаттың соғуына дейін квантталған жалпақ үш өлшемді әлемде мақтанышпен өтті. Барлығы таныс, қарапайым, түсінікті, күштер әрекет етеді, кеңістіктегі үш координатты кез келген жерде анықтауға болады - тек қазықпен жүргізіңіз.
Идилияның соңы қаламының ұшында көп өлшемді кеңістіктерді зерттейтін математиктердің пайда болуымен келді. Олар адамның көзі мен сезімі елестете алмайтын күрделі, көп координатты объектілер мен жүйелерді, мысалы, әйгілі төрт өлшемді кубты, Мобиус жолағын және т.б. Бірте-бірте елестететін кеңістік процесс-уақыты бар жазықтықтар мен түзу сызықтардан тұруы міндетті емес екені белгілі болды, ол, мысалы, біркелкі емес пішінді түтікке оралған жалпақ парақтан тұруы мүмкін; түтіктің ортасына сызылған ось. Мұндай «дұрыс емес» кеңістікке қойылған нүкте енді ешқашан біз үйренген үш координатқа ие болмайды, өйткені басқарылатын қазық оларды өлшеуге көмектеспейді. Евклидтік емес кеңістіктегі берілген нүктенің орнын сандардың тұтас массиві ретінде көрсету қажет болады, ол да белгілі бір ережелерге сәйкес үздіксіз өзгереді. Әрбір фантастикалық кеңістіктегі ережелердің өзі әртүрлі. Мұндай сандар массиві тензор деп аталады, ол кеңістіктегі нүктелер туралы деректерді шамамен белгілі ойыншық «тырнақтардың суреті» кескінді сақтайтын пішінде сақтайды: әрбір шыбықтың ұзындығы - нүктені көрсететін вектор; координаттардың бірі, олардың комбинациясы оның бір бейнесін береді, жалғыз және жалғыз.
Тензорлар күрделі нысандар, бірақ олардың бір ортақ қасиеті бар – тензорды өзекше векторларының массиві ретінде тензорлық матрицаны – екі өлшемді кестені анықтау арқылы «қиып алуға» болады, онда қарапайым сандар орнына оны түрлендіру ережелерін сипаттайтын формулалар болып табылады. Матрица - бұл амалдар бірнеше ғасыр бұрын жақсы дамыған қарапайым нысан. Математиктердің басшылары көп жұмыс істей бастады, олар әртүрлі формулаларды ауыстырды және ең елестетпейтін кеңістіктердегі нүктелер үшін тензорларды құрастырды. Ақырында, Минковски, Риман, Лоренц және Эйнштейннің күш-жігерінің арқасында біз қабылдайтын үш өлшемді евклидтік кеңістік пен уақыт процесін жеткілікті дәлдікпен сипаттайтын қарапайым тензорлар ашылды. Олардың матрицалары метрика деп аталады.
Кейіннен Эйнштейн негізге алған вакуумдағы жарық жылдамдығының тұрақтылығына байланысты Минковски метрикасы нүктелер арасындағы өте үлкен қашықтықта немесе гравитациялық әсерлесудің өте жоғары жылдамдықтарында қолданылмайтыны түсінілді. Математиктердің басшылары қайтадан жұмыс істей бастады, енді теорияларды эксперименттік растауды іздеген физиктермен одақтаса бастады. Осылайша, мысалы, Шварцшильд метрикасы пайда болды, ол біздің әлемді екі өлшемді тікбұрышты жазықтықтың және екі өлшемді сфераның тензорларының матрицаларының көбейтіндісі арқылы сипаттайды (ол да таныс шеңбер, бірақ түрінде бүкіл кеңістік). Шварцшильд метрикасы аспан сферасындағы заттардың қозғалысын неге басқаша емес, дәл осы жолмен қабылдайтынымызды сипаттауға мүмкіндік берді. Ондағы уақыт – бұл әр есептеуге бөлек енгізілген тұрақты мән(!), ал нүктеден бақылаушыға дейінгі қашықтық шын мәнінде екі объект емес, оқиғалар арасындағы кеңістіктің (уақыттың) көлемін сипаттайтын вектордың бір түрі болып табылады.