§3. Koʻpaytirish sonlar va ularning xossalari. Koʻp tub sonlar – taʼrifi, misollar va xossalari Barcha koʻp tub sonlar
Ushbu maqolada biz umumiy sonlar nima ekanligi haqida gapiramiz. Birinchi xatboshida biz ikki, uch yoki undan ortiq nisbatan tub sonlar uchun ta'riflarni shakllantiramiz, bir nechta misollar keltiramiz va qaysi hollarda ikkita sonni bir-biriga nisbatan tub deb hisoblash mumkinligini ko'rsatamiz. Shundan so'ng biz asosiy xususiyatlar va ularning isbotlarini shakllantirishga o'tamiz. Oxirgi xatboshida biz tegishli tushuncha - juft tub sonlar haqida gapiramiz.
Ko'p sonlar nima
Ikki yoki undan ortiq butun sonlar oʻzaro tub son boʻlishi mumkin. Birinchidan, ikkita sonning ta'rifini kiritamiz, buning uchun bizga ularning eng katta umumiy bo'luvchisi tushunchasi kerak. Agar kerak bo'lsa, unga bag'ishlangan materialni takrorlang.
Ta'rif 1
Bunday ikkita a va b sonlar o'zaro tub bo'ladi, ularning eng katta umumiy bo'luvchisi 1 ga teng, ya'ni. GCD (a , b) = 1 .
Ushbu ta'rifdan ikkita ko'p tub sonning yagona musbat umumiy bo'luvchisi 1 ga teng bo'ladi degan xulosaga kelishimiz mumkin. Faqat ikkita bunday sonning ikkita umumiy bo'luvchisi bor - bitta va minus.
Koʻp tub sonlarga qanday misollar keltirish mumkin? Misol uchun, bunday juftlik 5 va 11 bo'ladi. Ularning faqat bitta umumiy musbat bo'luvchisi 1 ga teng, bu ularning o'zaro soddaligini tasdiqlaydi.
Agar ikkita tub sonni oladigan bo'lsak, u holda ular bir-biriga nisbatan barcha holatlarda o'zaro tub bo'ladi, ammo bunday o'zaro munosabatlar kompozit sonlar orasida ham hosil bo'ladi. Nisbatan tub sonlar juftligidagi bitta son qo‘shma, ikkinchisi esa tub son yoki ikkalasi ham qo‘shma bo‘lgan holatlar mavjud.
Bu gap quyidagi misolda tasvirlangan: 9 va 8 kompozit raqamlari nisbatan tub juftlikni tashkil qiladi. Buni ularning eng katta umumiy bo‘luvchisini hisoblab isbotlaymiz. Buning uchun biz ularning barcha bo'luvchilarini yozamiz (sonning bo'luvchilarini topish haqidagi maqolani qayta o'qishni tavsiya qilamiz). 8 ta uchun bu raqamlar ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 va 9 uchun - ± 1, ± 3, ± 9 bo'ladi. Biz barcha bo'linuvchilardan umumiy va eng katta bo'lganini tanlaymiz - bu birlik. Shuning uchun, agar gcd (8, - 9) = 1 bo'lsa, u holda 8 va - 9 bir-biriga ko'paytiriladi.
Ko'p sonli sonlar 500 va 45 emas, chunki ularning boshqa umumiy bo'luvchisi bor - 5 (5 ga bo'linish mezonlari haqidagi maqolaga qarang). Beshta birdan katta va ijobiy raqam. Boshqa shunga o'xshash juftlik - 201 va 3 bo'lishi mumkin, chunki ularning ikkalasi ham mos keladigan bo'linish belgisi bilan ko'rsatilgandek 3 ga bo'linishi mumkin.
Amalda, ko'pincha ikkita butun sonning nisbiy tubligini aniqlash kerak bo'ladi. Buni topish eng katta umumiy bo'luvchini topish va uni birlik bilan solishtirishga qisqartirilishi mumkin. Keraksiz hisob-kitoblarni amalga oshirmaslik uchun tub sonlar jadvalidan foydalanish ham qulay: agar berilgan raqamlardan biri ushbu jadvalda bo'lsa, u faqat bittaga va o'ziga bo'linadi. Keling, bunday muammoning echimini ko'rib chiqaylik.
1-misol
Holati: 275 va 84 sonlari koʻpaytma ekanligini aniqlang.
Yechim
Ikkala raqam ham bir nechta bo'luvchiga ega, shuning uchun biz ularni nisbatan tub deb atay olmaymiz.
Evklid algoritmi yordamida eng katta umumiy bo'luvchini hisoblaymiz: 275 = 84 3 + 23, 84 = 23 3 + 15, 23 = 15 1 + 8, 15 = 8 1 + 7, 8 = 7 1 + 1, 7 = 7 · 1.
Javob: GCD (84, 275) = 1 bo'lgani uchun, bu raqamlar nisbatan tub bo'ladi.
Yuqorida aytib o'tganimizdek, bunday raqamlarning ta'rifi bizda ikkita emas, balki undan ko'p bo'lgan holatlarga ham kengaytirilishi mumkin.
Ta'rif 2
a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 butun sonlari 1 ga teng eng katta umumiy boʻluvchiga ega boʻlganda oʻzaro tub sonlar boʻladi.
Boshqacha qilib aytganda, agar bizda eng katta musbat bo'luvchi 1 dan katta bo'lgan ba'zi raqamlar to'plami bo'lsa, unda bu raqamlarning barchasi bir-biriga nisbatan o'zaro teskari emas.
Keling, bir nechta misol keltiraylik. Shunday qilib, − 99, 17 va − 27 butun sonlar nisbatan tub sonlardir. 2, 3, 11, 19, 151, 293 va 667 ketma-ketlikda bo'lgani kabi, har qanday tub sonlar populyatsiyaning barcha a'zolariga nisbatan ko'paytiriladi. Ammo 12, - 9, 900 va raqamlari − 72 nisbatan tub bo'lmaydi, chunki ular birlikdan tashqari yana bitta musbat bo'luvchiga 3 ga teng bo'ladi. Xuddi shu narsa 17, 85 va 187 raqamlariga ham tegishli: bittadan tashqari, ularning barchasini 17 ga bo'lish mumkin.
Odatda raqamlarning o'zaro asosiyligi birinchi qarashda aniq emas; Ba'zi sonlarning nisbatan tub ekanligini bilish uchun ularning eng katta umumiy bo'luvchisini topib, uni bitta bilan taqqoslash asosida xulosa chiqarish kerak.
2-misol
Holati: 331, 463 va 733 sonlarining nisbatan tub ekanligini aniqlang.
Yechim
Keling, tub sonlar jadvalini tekshirib ko'ramiz va unda ushbu uchta sonning hammasi borligini aniqlaymiz. Keyin ularning umumiy bo'luvchisi faqat bitta bo'lishi mumkin.
Javob: bu raqamlarning barchasi bir-biriga ko'paytiriladi.
3-misol
Holati:− 14, 105, − 2 107 va − 91 sonlari ko‘paytma emasligiga dalil keltiring.
Yechim
Keling, ularning eng katta umumiy bo'luvchisini aniqlashdan boshlaylik va keyin u 1 ga teng emasligiga ishonch hosil qilamiz. Salbiy sonlar mos keladigan musbat sonlar bilan bir xil bo'luvchilarga ega bo'lgani uchun gcd (− 14, 105, 2 107, − 91) = gcd (14, 105, 2 107, 91) bo'ladi. Biz eng katta umumiy bo'luvchini topish bo'yicha maqolada bergan qoidalarga ko'ra, bu holda gcd etti ga teng bo'ladi.
Javob: yetti birdan katta, demak, bu sonlar nisbatan tub emas.
Koʻp tub sonlarning asosiy xossalari
Bunday raqamlar amalda ba'zilariga ega muhim xususiyatlar. Keling, ularni tartibda sanab o'tamiz va isbotlaymiz.
Ta'rif 3
Agar a va b butun sonlarni ularning eng katta umumiy bo‘luvchisiga mos keladigan songa bo‘lsak, nisbatan tub sonlarni olamiz. Boshqacha qilib aytganda, a: gcd (a, b) va b: gcd (a, b) nisbatan tub bo‘ladi.
Biz bu xususiyatni allaqachon isbotlaganmiz. Dalilni eng katta umumiy bo'luvchining xususiyatlari haqidagi maqolada topish mumkin. Buning yordamida biz nisbatan tub sonlar juftligini aniqlashimiz mumkin: biz faqat ikkita butun sonni olib, GCD ga bo'lishimiz kerak. Natijada, biz umumiy sonlarni olishimiz kerak.
Ta'rif 4
a va b sonlarining o'zaro tubligining zaruriy va yetarli sharti shunday butun sonlarning mavjudligidir. u 0 Va v 0, buning uchun tenglik a · u 0 + b · v 0 = 1 haqiqat bo'ladi.
Dalil 1
Keling, ushbu shartning zarurligini isbotlashdan boshlaylik. Aytaylik, bizda ikkita nisbatan tub son bor, a va b. Keyin, bu tushunchaning ta'rifiga ko'ra, ularning eng katta umumiy bo'luvchisi bittaga teng bo'ladi. gcd xossalaridan a va b butun sonlar uchun Bezout munosabati mavjudligini bilamiz a · u 0 + b · v 0 = GCD (a , b). Undan biz buni olamiz a · u 0 + b · v 0 = 1. Shundan so'ng, biz shartning etarliligini isbotlashimiz kerak. Tenglik bo'lsin a · u 0 + b · v 0 = 1 bu holatda to'g'ri bo'ladi, agar GCD (a, b) ajratadi va a , va b bo'lsa, u ham yig'indini ajratadi a · u 0 + b · v 0, va mos ravishda birlik (buni bo'linuvchanlik xususiyatlariga asoslanib bahslash mumkin). Va bu faqat agar mumkin bo'lsa GCD (a, b) = 1, bu a va b ning o'zaro soddaligini isbotlaydi.
Darhaqiqat, agar a va b ko'paytma bo'lsa, oldingi xususiyatga ko'ra, tenglik to'g'ri bo'ladi a · u 0 + b · v 0 = 1. Ikkala tomonni c ga ko'paytiramiz va buni olamiz a · c · u 0 + b · c · v 0 = c. Biz birinchi atamani ajratishimiz mumkin a · c · u 0 + b · c · v 0 b bilan, chunki bu a · c uchun mumkin va ikkinchi had ham b ga bo'linadi, chunki bizning omillarimizdan biri b ga teng. Bundan shunday xulosaga kelamizki, butun yig‘indini b ga bo‘lish mumkin va bu yig‘indi c ga teng bo‘lgani uchun c ni b ga bo‘lish mumkin.
Ta'rif 5
Agar a va b ikkita butun sonlar koʻp sonli boʻlsa, gcd (a c, b) = gcd (c, b).
Dalil 2
Keling, GCD (a c, b) GCD (c, b) bo'linishini va shundan keyin GCD (c, b) GCD (a c, b) ni ajratishini isbotlaylik, bu GCD tengligining to'g'riligiga dalil bo'ladi. (a · c, b) = GCD (c, b) .
GCD (a · c, b) a · c va b ni ham, GCD (a · c, b) esa b ni ajratganligi sababli, u b · c ni ham ajratadi. Bu shuni anglatadiki, GCD (a c, b) a c va b c ni ham ajratadi, shuning uchun GCD xususiyatlaridan kelib chiqqan holda, u GCD (a c, b c) ni ham ajratadi, bu c GCD (a, b ) = c ga teng bo'ladi. Shuning uchun GCD (a · c, b) b va c ni ham ajratadi, shuning uchun u GCD (c, b) ni ham ajratadi.
Shuni ham aytish mumkinki, GCD (c, b) c va b ni ham ajratadi, demak u c va c ni ham ajratadi. Bu shuni anglatadiki, GCD (c, b) a · c va b ni ham ajratadi, shuning uchun u GCD (a · c, b) ni ham ajratadi.
Shunday qilib, gcd (a c, b) va gcd (c, b) o'zaro bir-birini ajratadi, ya'ni ular tengdir.
Ta'rif 6
Agar raqamlar ketma-ketlikdan bo'lsa a 1 , a 2 , … , a k ketma-ketlik raqamlariga nisbatan nisbatan tub bo'ladi b 1, b 2, …, b m(da tabiiy qadriyatlar k va m), keyin ularning mahsulotlari a 1 · a 2 · … · a k Va b 1 · b 2 · … · b m ham nisbatan ustun, xususan, a 1 = a 2 = … = a k = a Va b 1 = b 2 = … = b m = b, Bu a k Va b m- o'zaro oddiy.
Dalil 3
Oldingi xususiyatga ko'ra, biz quyidagi ko'rinishdagi tengliklarni yozishimiz mumkin: GCD (a 1 · a 2 · … · a k, b m) = GCD (a 2 · … · a k, b m) = … = GCD (a k, b m) = 1. Oxirgi o'tish imkoniyati a k va b m shart bo'yicha nisbatan tub bo'lishi bilan ta'minlanadi. Bu GCD (a 1 · a 2 · … · a k, b m) = 1 ni bildiradi.
a 1 · a 2 · … · a k = A ni belgilaymiz va GCD (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = GCD (b 1 · b 2 · … ·) ni olamiz. b m, A) = GCD (b 2 · … · b · b m, A) = … = GCD (b m, A) = 1. Bu yuqorida tuzilgan zanjirdan oxirgi tenglik tufayli to'g'ri bo'ladi. Shunday qilib, biz GCD (b 1 · b 2 · … · b m, a 1 · a 2 · … · a k) = 1 tengligiga egamiz, bu bilan biz mahsulotlarning o'zaro asosiyligini isbotlashimiz mumkin. a 1 · a 2 · … · a k Va b 1 · b 2 · … · b m
Bularning barchasi biz sizga aytib bermoqchi bo'lgan umumiy sonlarning xususiyatlari.
Juft tub sonlar haqida tushuncha
Koʻp tub sonlar nima ekanligini bilib, biz juft tub sonlar taʼrifini shakllantirishimiz mumkin.
Ta'rif 7
Juftlik tub sonlar a 1 , a 2 , ... , a k butun sonlar ketma-ketligi boʻlib, bunda har bir son boshqalarga nisbatan nisbatan tub boʻladi.
Juft tub sonlar ketma-ketligiga 14, 9, 17 va - 25 ni misol qilib keltirish mumkin. Bu erda barcha juftliklar (14 va 9, 14 va 17, 14 va - 25, 9 va 17, 9 va - 25, 17 va - 25) koʻp tub sonlardir. E'tibor bering, o'zaro tub sonlar uchun o'zaro tub sonlar sharti majburiydir, lekin o'zaro tub sonlar hamma hollarda juft tub sonlar bo'lmaydi. Masalan, 8, 16, 5 va 15 ketma-ketlikda raqamlar bunday raqamlar emas, chunki 8 va 16 nisbatan tub bo'lmaydi.
Shuningdek, ma'lum miqdordagi tub sonlar to'plami tushunchasiga to'xtalib o'tishingiz kerak. Ular har doim ham o'zaro, ham juftlik bilan oddiy bo'ladi. 71, 443, 857, 991 ketma-ketligi misol bo'lishi mumkin. Tut sonlarda o'zaro va juft tub tushunchalar mos keladi.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
±1 dan tashqari.
- 14 va 25 nisbatan asosiy hisoblanadi, chunki ularda umumiy omillar yo'q;
- 15 va 25 umumiy koeffitsienti 5 ga teng bo'lgani uchun ko'p sonli sonlar emas;
Vizual tasvir: agar siz butun koordinatali nuqtalarda nol qalinlikdagi "daraxtlarni" o'rnatib, tekislikda "o'rmon" qursangiz, u holda koordinatalarning boshidan faqat koordinatalari ko'p bo'lgan daraxtlar ko'rinadi, o'ngdagi rasmga qarang. koordinatalari bo'lgan "daraxt" ning ko'rinishiga misol (9 , 4).
Belgilar
Raqamlarning nisbiy tubligini ko'rsatish m (\displaystyle m) Va n (\displaystyle n) ishlatiladigan belgi:
m ⊥ n. (\displaystyle m\perp n.)Biroq, hamma matematiklar ham bu belgini taniy olmaydilar va ishlatmaydilar. Eng ko'p ishlatiladigan so'zlar yoki ekvivalent belgilar gcd (a , b) = 1 (\displaystyle \gcd(a,b)=1), ya'ni: "sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisi a Va b 1" ga teng.
Tegishli ta'riflar
- Agar raqamlar to'plamida bo'lsa har qanday ikkita son ko'paytiriladi, keyin bunday raqamlar chaqiriladi juft-juft koʻrsatkich. Ikkita raqam uchun "coprime" va "pairwise coprime" tushunchalari mos keladi.
Misollar
- 8, 15 oddiy emas, lekin nisbatan oddiy.
- 6, 8, 9 oʻzaro tub sonlar (birgalikda), lekin juft koʻma tub sonlar emas.
- 8, 15, 49 juft boʻlib koʻma tub sonlar.
Xususiyatlari
- Raqamlar a (\displaystyle a) Va b (\displaystyle b) Ekvivalent shartlardan biri bajarilgan taqdirdagina nisbatan asosiy hisoblanadi:
- Har qanday ikkita (turli) tub sonlar koʻpaytiriladi.
- Agar a (\displaystyle a)- mahsulot bo'linuvchisi b c (\displaystyle bc), Va a (\displaystyle a) o'zaro faqat bilan b (\displaystyle b), Bu a (\displaystyle a)- ajratuvchi c (\displaystyle c).
- Agar raqamlar bo'lsa a 1 , … , a n (\displaystyle a_(1),\ldots,a_(n)) u holda juft-juft o'zaro tub sonlardir MOQ(a 1 , … , a n) = | a 1 ⋅ … ⋅ a n | (\displaystyle (a_(1),\ldots,a_(n))=|a_(1)\cdot \ldots \cdot a_(n)|). Masalan, NOC (9 , 11) = 9 ⋅ 11 = 99 (\displaystyle (9,11)=9\cdot 11=99).
- Har qanday bo'lish ehtimoli k (\displaystyle k) tasodifiy tanlangan musbat butun sonlar qachon degan ma'noda ga teng bo'lgan ko'p sonli bo'ladi N → ∞ (\displaystyle N\to \infty ) ehtimolligi k (\displaystyle k) dan kichik musbat butun sonlar N (\ displaystyle (\ textstyle (N)))(va tasodifiy tanlangan) nisbatan asosiy bo'ladi, moyil 1 z (k) (\displaystyle (\dfrac (1)(\zeta (k)))). Bu yerga z (k) (\displaystyle \zeta (k))- Bu
Matematika darsliklarini ba'zan tushunish qiyin. Mualliflarning quruq va tushunarli tilini tushunish har doim ham oson emas. U yerdagi mavzular esa har doim bir-biri bilan bog‘liq va o‘zaro bog‘liqdir. Bitta mavzuni o'zlashtirish uchun siz bir nechta oldingi mavzularni ko'tarishingiz va ba'zan butun darslikni varaqlashingiz kerak. Qiyinmi? Ha. Keling, ushbu qiyinchiliklarni chetlab o'tish xavfini o'z zimmamizga olaylik va mavzuga nostandart yondashuvni topishga harakat qilaylik. Keling, raqamlar mamlakatiga qandaydir ekskursiya qilaylik. Biroq, biz hali ham ta'rifni bir xil qoldiramiz, chunki matematika qoidalarini bekor qilib bo'lmaydi. Demak, koʻp tub sonlar umumiy boʻluvchisi birga teng boʻlgan natural sonlardir. Bu tushunarli? Juda.
Ko'proq vizual misol uchun, keling, 6 va 13 raqamlarini olaylik. Ikkalasi ham bittaga bo'linadi (ko'p sonli). Ammo 12 va 14 raqamlari bunday bo'lishi mumkin emas, chunki ular nafaqat 1 ga, balki 2 ga ham bo'linadi. Quyidagi 21 va 47 raqamlari ham "ikkilamchi sonlar" toifasiga kirmaydi: ularni bo'lish mumkin emas. faqat 1 ga, balki 7 ga ham.
Muqobil sonlar quyidagicha belgilanadi: ( A, y) = 1.
Buni oddiyroq aytish mumkin: bu erda umumiy bo'luvchi (eng katta) birga teng.
Nima uchun bizga bunday bilim kerak? Buning sabablari yetarli.
Ba'zi shifrlash tizimlariga o'zaro kiritilgan. Hill shifrlari yoki Sezarning almashtirish tizimi bilan ishlaydiganlar tushunishadi: bu bilimsiz siz hech qanday joyga erisha olmaysiz. Agar siz generatorlar haqida eshitgan bo'lsangiz, inkor etishga jur'at eta olmaysiz: u erda ham nisbatan tub sonlar qo'llaniladi.
Keling, bunday oddiylarni olish yo'llari haqida gapiraylik, siz tushunganingizdek, ular faqat ikkita bo'linuvchiga ega bo'lishi mumkin: ular o'zlariga va bittaga bo'linadi. Aytaylik, 11, 7, 5, 3 tub sonlar, lekin 9 emas, chunki bu raqam allaqachon 9, 3 va 1 ga bo'linadi.
Va agar A- son tub va da- to'plamdan (1, 2, ... A- 1), keyin kafolatlanadi ( A, da) = 1 yoki umumiy sonlar - A Va da.
Bu, to'g'rirog'i, tushuntirish emas, balki aytilganlarning takrorlanishi yoki xulosasi.
Asosiy raqamlarni olish mumkin, ammo katta raqamlar uchun (masalan, milliardlab) bu usul juda uzun, ammo ba'zida xatoga yo'l qo'yadigan super formulalardan farqli o'laroq, u ishonchliroqdir.
Siz tanlab ishlashingiz mumkin da > A. Buning uchun y tanlanadi, shunda raqam yonadi A baham ko'rmagan. Buning uchun tub son natural songa ko'paytiriladi va miqdor qo'shiladi (yoki aksincha, ayiriladi) (masalan, R), bu kamroq A:
y = R a + k
Agar, masalan, A = 71, R= 3, q=10, keyin mos ravishda, da bu erda u 713 ga teng bo'ladi. Boshqa tanlov mumkin, darajalar bilan.
Kompozit sonlar, nisbatan tub sonlardan farqli o‘laroq, o‘z-o‘zidan, 1 ga va boshqa sonlarga (shuningdek, qoldiqsiz) bo‘linadi.
Boshqacha qilib aytganda, (bittasidan tashqari) qo'shma va oddiyga bo'linadi.
Tub sonlar - notrivial (sonning o'zidan va birlikdan farqli) bo'luvchilari bo'lmagan natural sonlar. Ularning roli bugungi kunda tez rivojlanayotgan zamonaviy kriptografiyada ayniqsa muhimdir, buning natijasida ilgari o'ta mavhum hisoblangan intizom shu qadar talabga aylandi: ma'lumotlarni himoya qilish algoritmlari doimiy ravishda takomillashtirilmoqda.
Eng katta asosiy raqamni 15 mingga yaqin boshqa ishqibozlar bilan birga GIMPS (distributiv hisoblash) loyihasida ishtirok etgan oftalmolog Martin Nowak topdi. Novakning ko'z klinikasida joylashgan ikki yarim o'nlab kompyuterlar jalb qilingan. Titanik mehnat va tirishqoqlik natijasi 7816230 kasrga yozilgan 225964951-1 raqami edi. Aytgancha, eng katta raqam bo'yicha rekord ushbu kashfiyotdan olti oy oldin o'rnatilgan. Va belgilar yarim millionga kam edi.
O'nli kasr belgilarining davomiyligi o'n million belgidan "sakrab" ketadigan raqamni nomlamoqchi bo'lgan daho nafaqat jahon miqyosidagi shon-shuhrat, balki 100 000 dollarni ham olish imkoniyatiga ega. Aytgancha, million raqam chegarasidan o‘tgan raqam uchun Nayan Xayratval kichikroq (50 ming dollar) olgan.
Agar $2$ boʻluvchisi boʻlsa, $p$ tub son deb ataladi: $1$ va oʻzi.
$a$ natural sonining boʻluvchisi asl $a$ sonini qoldiq qoldirmasdan ajratuvchi natural sondir.
1-misol
$6$ sonining boʻluvchilarini toping.
Yechish: Berilgan $6$ soni qoldiqsiz bo‘linadigan barcha sonlarni topishimiz kerak. Bu raqamlar bo'ladi: $1,2,3, 6$. Demak, $6$ sonining boʻluvchisi $1,2,3,6.$ sonlari boʻladi
Javob: $1,2,3,6$.
Demak, sonning bo'luvchilarini topish uchun berilgan son qoldiqsiz bo'linadigan barcha natural sonlarni topish kerak. $1$ soni har qanday natural sonning boʻluvchisi boʻlishini tushunish oson.
Ta'rif 2
Kompozit Ular bitta va o'zidan tashqari boshqa bo'luvchilarga ega bo'lgan raqamni chaqirishadi.
Bosh songa misol $13$, qoʻshma songa misol $14.$ boʻladi.
Eslatma 1
$1$ sonining faqat bitta bo'luvchisi bor - sonning o'zi, shuning uchun u na tub, na kompozit emas.
Koʻpaytirish raqamlari
Ta'rif 3
O'zaro tub sonlar ular gcd $1$ ga teng bo'lgan raqamlardir, bu raqamlar nisbatan tub ekanligini bilish uchun ularning gcd ni topib, $1$ bilan solishtirish kerak.
Juftlik ko‘rsatkichi
Ta'rif 4
Agar raqamlar to'plamida ikkitasi ko'paytirilsa, unda bunday raqamlar chaqiriladi juft-juft koʻrsatkich. Ikkita raqam uchun "coprime" va "pairwise coprime" tushunchalari mos keladi.
2-misol
$8, $15 - oddiy emas, lekin nisbatan oddiy.
$6, 8, 9$ oʻzaro tub sonlar, lekin juftlik koʻma sonlar emas.
$8, 15, 49$ juftlik nisbatan asosiy hisoblanadi.
Ko'rib turganimizdek, sonlarning nisbatan tub ekanligini aniqlash uchun avval ularni tub omillarga ajratish kerak. Keling, buni qanday qilib to'g'ri bajarishga e'tibor beraylik.
Asosiy faktorizatsiya
Masalan, $180$ sonini asosiy omillarga ajratamiz:
$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$
Keling, kuchlar mulkidan foydalanamiz, keyin olamiz,
$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$
Bosh omillarga parchalanishning bu belgisi kanonik deb ataladi, ya'ni. sonni kanonik ko'rinishda faktor qilish uchun kuchlar xususiyatidan foydalanish va sonni turli asoslarga ega bo'lgan kuchlar mahsuloti sifatida ifodalash kerak.
Umumiy shakldagi natural sonning kanonik kengayishi
Umumiy shaklda natural sonning kanonik kengayishi quyidagi shaklga ega:
$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$
Bu erda $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ tub sonlar, ko'rsatkichlar esa natural sonlardir.
Sonni tub to‘plamlarga kanonik parchalanish sifatida ifodalash sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisini topishni osonlashtiradi va ko‘plab tub sonlarning isboti yoki ta’rifi natijasi sifatida ishlaydi.
3-misol
$180$ va $240$ sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisini toping.
Yechish: Kanonik parchalanish yordamida raqamlarni oddiy to‘plamlarga ajratamiz
$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, keyin $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$
$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, keyin $240=2^4\cdot 3\cdot 5$
Endi bu raqamlarning gcd ni topamiz, buning uchun biz bir xil asosli va eng kichik ko'rsatkichli darajalarni tanlaymiz, keyin
$GCD\(180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$
Keling, tuzamiz asosiy omillarga kanonik faktorizatsiyani hisobga olgan holda GCD ni topish algoritmi.
Kanonik kengayish yordamida ikkita sonning eng katta umumiy bo'luvchisini topish uchun sizga kerak:
- omil sonlarini kanonik shaklda tub omillarga aylantirish
- bir xil asosga ega va ushbu raqamlarning kengayishiga kiritilgan vakolatlarning eng kichik ko'rsatkichi bilan kuchlarni tanlang
- 2-bosqichda topilgan raqamlarning ko'paytmasini toping. Olingan son kerakli eng katta umumiy bo'luvchi bo'ladi.
4-misol
$195$ va $336$ sonlar tub, koʻpaytirish sonlar ekanligini aniqlang.
$195=3\cdot 5\cdot 13$
$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$
$GCD\(195;336) =3\cdot 5=15$
Biz bu raqamlarning gcd qiymati $1$ dan farq qilishini ko'ramiz, ya'ni raqamlar nisbatan tub emas. Bundan tashqari, raqamlarning har biri $1$ va raqamning o'zidan tashqari omillarni o'z ichiga olganligini ko'ramiz, ya'ni raqamlar tub emas, balki kompozit bo'ladi.
5-misol
$39$ va $112$ sonlar tub, koʻpaytirish sonlar ekanligini aniqlang.
Yechim: Faktorlarga ajratish uchun kanonik faktorizatsiyadan foydalanamiz:
$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$
$GCD\(39;112)=1$
Bu raqamlarning gcd qiymati $1$ ga teng ekanligini ko'ramiz, bu raqamlar nisbatan tub ekanligini bildiradi. Bundan tashqari, raqamlarning har biri $1$ va raqamning o'zidan tashqari omillarni o'z ichiga olganligini ko'ramiz, ya'ni raqamlar tub emas, balki kompozit bo'ladi.
6-misol
$883$ va $997$ sonlar tub, koʻpaytirish sonlar ekanligini aniqlang.
Yechim: Faktorlarga ajratish uchun kanonik faktorizatsiyadan foydalanamiz:
$883=1\cdot 883$
$997=1\cdot 997$
$GCD\(883;997)=1$
Bu raqamlarning gcd qiymati $1$ ga teng ekanligini ko'ramiz, bu raqamlar nisbatan tub ekanligini bildiradi. Shuningdek, biz har bir raqam faqat $1$ ga teng omillarni va raqamning o'zini o'z ichiga olganligini ko'ramiz, ya'ni raqamlar tub bo'ladi.
Kalit so‘zlar: sonlar nazariyasi, ma'ruzalar, o'zaro tub sonlar.
Ta'rif. Agar (a, b) = 1 bo‘lsa, a va b butun sonlar nisbatan tub sonlar deyiladi.
Ikkita a va b sonlar faqat va faqat au + bv = 1 bo'ladigan u va v butun sonlar mavjud bo'lganda ko'paytiriladi.
X = ( x n | n = 1, 2,...) natural sonlarning ixtiyoriy qatʼiy ortib boruvchi ketma-ketligi boʻlsin (yoki xohlasangiz, X natural sonlarning natural tarzda tartiblangan ixtiyoriy kichik toʻplami boʻlsin). X ketma-ketlikning N dan oshmaydigan hadlar sonini p(N; X) bilan belgilaymiz.
Ta'rif. Bu raqam N to'plamdagi X = (x n | n = 1, 2,...) ketma-ketlikning (yuqori asimptotik) zichligi deb ataladi.
1-misol. X n = 2n, bu erda n N orqali o'tadi, barcha juft sonlar ketma-ketligi bo'lsin. Bu aniq
Aytgancha, bu juft sonlarning yarmi borligi haqidagi intuitiv g'oyalarimizga juda mos keladi.
2-misol. X n =2 n bo'lsin, bu erda n N orqali o'tadi, geometrik progressiya bo'lsin. Tabiiy qatorda bunday sonlar kamligi intuitiv ravishda aniq, chunki tabiiy qatorda o'rmonga qanchalik uzoqqa kirsa, ikkitaning kuchi shunchalik kam uchraydi. Zichlik tushunchasi bu tuyg'uni tasdiqlaydi: p (2 k; ( x n )) = k va buni tekshirish oson.
Zichlik tabiiy qatordan berilgan ketma-ketlikka tegishli sonni tasodifiy tanlash ehtimoli.
Ketma-ketlik zichligi ta'rifiga o'xshab, biz juft natural sonlar to'plamining zichligini aniqlashimiz mumkin. Natural sonlarning tartiblangan juftliklarining ixtiyoriy X toʻplami boʻlsin. X to‘plamdan har bir komponenti N dan oshmaydigan juftlar sonini p (N ; X) bilan belgilaymiz. X to'plamdagi juft raqamlarni koordinata tekisligidagi nuqtalar koordinatalari deb hisoblash foydalidir, u holda p (N; X) shunchaki X to'plamining kvadratga tushadigan nuqtalari soni ((x, y) |. 0< x ≤ N ; 0 < y ≤ N }.
Ta'rif. Raqam
N 2 to'plamdagi X juftlar to'plamining (yuqori asimptotik) zichligi deyiladi.
3-misol. Birinchi komponenti ikkinchisidan qat'iy katta bo'lgan barcha juft natural sonlar to'plami X bo'lsin. X to'plam koordinata tekisligining birinchi choragining y = x bissektrisa ostida yotgan nuqtalariga mos keladi. Bunday to'plamning zichligini hisoblash oson:
X natural sonlarning barcha tartiblangan juftlari (u, v) to'plami bo'lsin, shundayki (u, v) = 1, ya'ni. barcha juft juft sonlar toʻplami.
Teorema (Cesaro). N dan bir juft tub sonni tanlash ehtimoli 6/p 2 ga teng, aniqrog'i Isbot. Darhol faraz qilaylik, tasodifiy tanlab olingan a va b natural sonlarning koʻp sonli boʻlish ehtimoli p. d ∈ N bo'lsin. P(S) odatdagidek S hodisaning ehtimolini bildirsin. Biz sabab: R